數(shù)字波束形成遞推最小二乘算法研究+源代碼

1、數(shù)字波束形成遞推最小二乘算法研究摘要：數(shù)字波束形成(DBF)是一門新興的陣列天線技術(shù)，自適應(yīng)波束形成(ADBF)針對復(fù)雜信號環(huán)境對波束形成的一個(gè)很好的補(bǔ)充。自適應(yīng)技術(shù)的核心思想是優(yōu)化理論，常用的最佳準(zhǔn)則有最小均方誤差(MMSE)，最大信噪比(MaxSNR)，線性約束最小方差(LCMv)，最大似然(ML)，最小二乘法(LS)等；本問主要對遞推最小二乘算法(RLS)進(jìn)行了包括了流程設(shè)計(jì)、性能分析和仿真評價(jià)。關(guān)鍵字：DBF、ADBF、RLS、一 數(shù)字波束形成簡介數(shù)字波束形成 (DBF)1是隨著數(shù)字信號處理方法的發(fā)展而建立起來的一門新 技術(shù)，這種技術(shù)不僅能充分保留陣列天線上收集的信息，而且能利用復(fù)雜的

2、數(shù)字 信號信號處理方法對信息進(jìn)行處理，因此它具有一般雷達(dá)不具有的超低分辨率和 低副瓣的性能，波束掃描，自適應(yīng)波束控制等。由于采用了先進(jìn)的數(shù)字信號處理 方法和自適應(yīng)技術(shù)，DBF雷達(dá)不僅性能優(yōu)越，而且非常靈活，被認(rèn)為是下代雷達(dá) 系統(tǒng)中廣泛使用的一項(xiàng)新技術(shù)。相對于一般模擬波束形成技術(shù)，數(shù)字波束形成技術(shù)具有非常多的優(yōu)點(diǎn)，比如 超低分辨率，超低副瓣，抗電子干擾，掃描迅速，多目標(biāo)處理，高性能并行數(shù)字 處理等。自適應(yīng)波束形成(ADBF)針對復(fù)雜信號環(huán)境對波束形成的一個(gè)很好的補(bǔ)充。 它的核心思想是采用各種優(yōu)化算法和自適應(yīng)算法，根據(jù)陣列對不同環(huán)境的響應(yīng)， 產(chǎn)生不同的加權(quán)系數(shù)，己取得最好的信號特征。自適應(yīng)波束形成

3、可以實(shí)現(xiàn)自適應(yīng) 的空一時(shí)處理，進(jìn)行各種非線性處等，波束靈活，抗干擾強(qiáng)，具有較好的自校正和 自適應(yīng)能力。陣列信號處理是現(xiàn)代信號處理2的一個(gè)分支，其本質(zhì)是利用空間分散排列的傳 感器陣列和多通道接收機(jī)來獲取信號的時(shí)域和空域等多維信息，以達(dá)到檢測信號 和提取其參數(shù)的目的。陣列信號處理的主要內(nèi)容可分為波束形成技術(shù)，空間譜估計(jì)等方面技術(shù)，他們都是基于對信號進(jìn)行空間采樣的的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，因此這些技術(shù)是相互滲透和相互關(guān)聯(lián)的。二 數(shù)字波束形成原理和典型波束形成準(zhǔn)則2.1 數(shù)字波束形成原理假設(shè)接收天線為N陣元均勻直線陣3，目標(biāo)的來波方向?yàn)?，第k個(gè)波束指向?yàn)閗，相鄰陣元間距為d，信號波長為，且各陣元都是各向同性的，

4、對K陣元的加權(quán)分別為w1k，w2k,wNK，信號是窄帶信號。簡單地講，數(shù)字多波束形成器就是一個(gè)乘加器，如圖2-1所示。i表示第i陣的接收信號經(jīng)過A/D變換和數(shù)字正交后的復(fù)數(shù)字信號。加權(quán)系數(shù)wik=aiexp(-jk)，其中k=2dsink表示提供的陣內(nèi)相位補(bǔ)償值，ai表示降低天線副瓣所需的幅度加權(quán)。進(jìn)行相位和幅度補(bǔ)償后，并對各陣列的輸出信號相加，即可得：Fk=i=0N-1wikxi (2-1)對式(2-1)進(jìn)行求模，就可以得到第K個(gè)波束的天線方向圖函數(shù)。天線的方向圖不是唯一的，根據(jù)要求，相同的數(shù)據(jù)可以用不同方法加權(quán)(改變權(quán)因子)，以便形成不同形式的波束和任意多的波束。通過數(shù)字波束合成后輸出的信

5、號(如信號確實(shí)投射在該波束內(nèi))可以大幅度的提高信號的SNR。最后得到的復(fù)輸出信號再直接送入后續(xù)處理單元。圖2-1 自適應(yīng)數(shù)字波束形成原理圖表示成矩陣形式如下：Fk=wkTXk(其中wk為權(quán)矢量，Xk為數(shù)據(jù)矢量，T表示轉(zhuǎn)置，它們都為列矢量。2.2 自適應(yīng)數(shù)字波束形成的原理DBF技術(shù)是當(dāng)代雷達(dá)的熱點(diǎn)技術(shù)之一，對于陣列信號處理來說，它往往和自 適應(yīng)技術(shù)相互聯(lián)系。因?yàn)槊鎸Ψ浅?fù)雜的環(huán)境時(shí)候，惡化的工作環(huán)境將會(huì)使不具 備自我適應(yīng)，自我調(diào)整能力的DBF雷達(dá)的性能急劇下降。因此，為了提高DBF系 統(tǒng)的抗干擾能力，必須求助于自適應(yīng)數(shù)字波束形成(ADBF)技術(shù)，自適應(yīng)陣列是實(shí)現(xiàn)ADBF的基礎(chǔ)。自適應(yīng)陣列的結(jié)構(gòu)框

6、圖如圖2-1示。從圖中可以看出自適應(yīng)陣列是由按一定空間排列的多個(gè)陣單元構(gòu)成，是一種在實(shí)際環(huán)境下自行控制其方向圖的天線系統(tǒng)。它能實(shí)時(shí)地對外界未知的干擾環(huán)境作出反應(yīng)，在干擾的到達(dá)方向形成零點(diǎn)或降低此方向的副瓣電平，這樣便可以保證 接收所需信號與干擾噪聲的信噪比有一個(gè)最佳值。自適應(yīng)陣列正是利用這種空間 特性，改善了陣列輸出SNR，抑制了強(qiáng)干擾。自適應(yīng)技術(shù)的核心思想是優(yōu)化理論4，我們熟悉的優(yōu)化理論有拉格朗日求極值函數(shù)的變分法，最陡下降法，最小二乘法等。 目前常用的最佳準(zhǔn)則有最小均方誤差(MMSE)，最大信噪比(MaxSNR)，線性約束最小方差(LCMv)，最大似然(ML)，最小二乘法(LS)等，下面簡

7、單介紹幾種較常使用的準(zhǔn)則。2.3 最小均方誤差準(zhǔn)則(MMSE)最小均方誤差準(zhǔn)則就是使陣列輸出Fk=wkTXk(K代表K時(shí)刻)與參考信號d(k)的均方誤差最小，均方誤差為：E2k=Edk2-2wrTr+WkTRWk (2-2)其中r=E(d(k)Xk),R=E(XXH),一般地將R稱為互相關(guān)矩陣5。將式（2-4）對于權(quán)向量求梯度，得到梯度算子：WE2k=-2r+2RWk 令梯度算子為零，得到最小均方誤差準(zhǔn)則下的最佳權(quán)向量：woptR-1r2.4 最大信噪比原則（MaxSNR）最大信噪比原則是基于期望信號的功率與噪聲功率之比的最大的準(zhǔn)則，假設(shè)期望信號為S，且Rt=E（ssH），RW=E(uuH),

8、其中u表示噪聲，則有：s2=EWHs2=WHRsW u2=EWHu2=WHRuW這時(shí)，輸出的信噪比SNR為：SNR=s2u2=WHRsWWHRuW經(jīng)計(jì)算，使得輸出信噪比最大的最佳權(quán)向量是對應(yīng)于矩陣Ru-1Rs的最大特征值的特征值的特征向量，得到的最佳權(quán)系數(shù)滿足：Ru-1RsWopt=maxWopt2.5 線性約束最小方差準(zhǔn)則（LCMV）在已知期待信號的來波方向和參考信號的條件下，最小方差準(zhǔn)則是通過最小化陣列輸出的噪聲方差，來取得對信號S的較好的增益。經(jīng)權(quán)重后的波束形成器的輸出為:yt=WTXt=WTs+WTu 為保證波束形成對信號S增益，必須對波束形成器的權(quán)向量加以限制，使其在信號S的方向產(chǎn)生

9、一定的增益，即：WHa=g其中，a為期望信號的方向矢量，則最佳權(quán)重可以表示為：Wopt=gRu-1aaHRu-1a三 遞推最小二乘算法（RLS）3.1 自適應(yīng)算法簡介自適應(yīng)算法所采用的最優(yōu)準(zhǔn)則有最小均方誤差(LMS)準(zhǔn)則6，最小二乘(LS)準(zhǔn)則、最大信嗓比準(zhǔn)則和統(tǒng)計(jì)檢測準(zhǔn)則等，其中最小均方誤差(LMS)準(zhǔn)則和遞推最小二乘法(LS)準(zhǔn)則是目前最為流行的自適應(yīng)算法準(zhǔn)則。LMS算法和RLS算法由于采用的最優(yōu)準(zhǔn)則不同，因此這兩種算法在性能，復(fù)雜度等方面均有許多差別。對于某個(gè)自適應(yīng)算法，衡量其算法性能的指標(biāo)主要為以下幾個(gè)：（1）算法的收斂速度。用算法達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài) (即與最優(yōu)值的接近程度達(dá)到一定值) 需要

10、迭代的次數(shù)表示。（2）算法的跟蹤性能。它指信道發(fā)生變化時(shí)，算法自適應(yīng)跟蹤信道的能力。（3）算法的穩(wěn)健性。只當(dāng)輸入病態(tài)的情況下算法能否正常工作。（4）算法計(jì)算的復(fù)雜程度。自適應(yīng)波束形成算法可有多種分類方式，一般的分類方法根據(jù)算法是否需要顯式的訓(xùn)練序列，可分為非盲算法和盲算法兩類，另外，根據(jù)權(quán)值作用于陣元或波束，還可分為陣元空間和波束空間兩類。盲算法一般利用調(diào)制信號本身固有的、與具體承載的信息比特?zé)o關(guān)的一些特征，如恒模 、子空間、有限符號集和高階統(tǒng)計(jì)量等。與非盲算法相比，它無需發(fā)送已知符號，故可節(jié)省系統(tǒng)頻譜資源。其缺點(diǎn)是一般收斂速度較慢，且存在相位模糊問題。非盲算法相對盲算法而言，通常誤差較小，收

11、斂速度也較快，但需要占用一定的系統(tǒng)資源用于傳送參考信號、訓(xùn)練序列等。即使非盲算法收斂速度快，但仍然跟不上快衰落變化的速率要求。對于通信而言，算法的收斂速度是很重要的一個(gè)性質(zhì)。所以本文主要介紹非盲算法中的RLS算法。非盲算法主要包括最小均方誤差算法LMS、采樣矩陣求逆法SMI和迭代最小二乘算法RLS。LMS 算法由于其收斂速度很慢，因此在信號環(huán)境變化很快時(shí)其性能不是很好，且算法性能對陣列信號協(xié)方差矩陣的特征值散布度很敏感，當(dāng)散布度很大時(shí)，很難收斂。 SMI算法收斂速度比LMS快，但是算法復(fù)雜了不少，而且在硬件實(shí)現(xiàn)中的有限字長效應(yīng)會(huì)給求逆運(yùn)算帶來數(shù)值上的不穩(wěn)定。RLS算法是基于使每一快拍的陣列輸出

12、平方和最小的準(zhǔn)則，即最小二乘（LS）準(zhǔn)則。它利用了從算法初始化后得到的所有陣列數(shù)據(jù)信息，用遞推方法來完成矩陣的求逆運(yùn)算，因而收斂速度快，對特征值的散布度不敏感，且能實(shí)現(xiàn)收斂速度與計(jì)算復(fù)雜性之間的折衷。一般在大信噪比的情況下，RLS 比LMS的收斂速度快一個(gè)數(shù)量級。3.2遞推最小二乘算法(RLS)RLS算法是SMI算法的迭代過程，該算法的性能準(zhǔn)則是使參考信號和陣列輸出信號之間的加權(quán)均方誤差最小。與LMS不同的是，RLS算法的性能量度準(zhǔn)則是使信號的加權(quán)平方誤差和最小化。RLS算法在權(quán)值迭代調(diào)整過程中用一個(gè)與信號相關(guān)的附加矩陣代替LMS算法中的步長，從而提高了收斂速度。RLS算法的權(quán)向量迭代式為：

13、（3-17） （3-18）其中表示參考信號，為迭代過程中的過渡矩陣，其中稱為遺忘因子()。引入遺忘因子的作用是讓離n時(shí)刻較近的誤差有較大的權(quán)重，距離較遠(yuǎn)的擁有降低的權(quán)重，確保以前觀測到的數(shù)據(jù)被漸漸“遺忘”，從而使濾波器工作在一個(gè)平穩(wěn)狀態(tài)下。下面是算法推導(dǎo)：設(shè)：則：令：則：其中 為增益向量，又： 所以式中：先驗(yàn)誤差3.3 總結(jié)RLS算法的步驟1、初始化：w(0)=0, R(0)=I,2、更新：對于n=1、2計(jì)算：希望相關(guān)矩陣初始值R(0)在R(n)中占很小的比重，因此設(shè)R(0)=I。一般取0.001。對RLS算法的總體評價(jià)：1、RLS算法對非平穩(wěn)信號的適應(yīng)性好。2、RLS算法收斂速度快，估計(jì)精度

14、高穩(wěn)定性好。3、遺忘因子越大，越不易遺忘，效果越好。4、RLS算法計(jì)算復(fù)雜度高，不利于實(shí)時(shí)性處理。四 遞推最小二乘法(RLS)仿真結(jié)果及分析仿真實(shí)驗(yàn)使用的是的Matlab軟件，MATLAB是由美國Math Works公司推出的用于數(shù)值計(jì)算和圖形處理的科學(xué)計(jì)算系統(tǒng)環(huán)境。MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩陣實(shí)驗(yàn)室)的縮寫，它集中了日常數(shù)學(xué)處理中的各種功能，包括高效的數(shù)值計(jì)算、矩陣運(yùn)算、信號處理和圖形生成功能。MATLAB是一個(gè)功能強(qiáng)大的系統(tǒng)，它集數(shù)值計(jì)算、矩陣運(yùn)算、信號處理和圖形生成功能為一體，另外，MATLAB還具有很強(qiáng)的功能擴(kuò)展能力，可以配置各種各樣的工具箱，以完成一些特

15、定的任務(wù)，同時(shí)，用戶還可以根據(jù)自己的工作任務(wù)，開發(fā)自己的工具箱。在MATLAB環(huán)境下，可以集成地進(jìn)行程序設(shè)計(jì)、數(shù)值計(jì)算、圖形繪制、輸入輸出、文件管理等各項(xiàng)操作。4.1 遞推最小二乘法(RLS)算法性能仿真分析圖4.1 圖4.2圖4.1和圖4.2所示為RLS在不同的遺忘因子取值下的收斂速度曲線。圖4.1為=0.4時(shí)的收斂速度，圖4.2所示的是=0.98時(shí)的收斂速度。從曲線中可以看出遺忘因子的取值越大，收斂速度越慢。圖 4.3圖 4.4圖4.3和圖4.4所示為RLS在不同的遺忘因子取值下誤差的估計(jì)值。圖4.3為=0.4時(shí)的誤差估計(jì)值，圖4.4所示的是=0.98時(shí)的誤差估計(jì)值。圖片顯示遺忘因子越大，

16、誤差越大，穩(wěn)定性越差。如果遺忘因子很小，則信號對期望信號的依賴性就會(huì)很大，所以，輸出信號就很接近期望信號，這就導(dǎo)致了如果期望信號是錯(cuò)誤的，那么輸出信號也是錯(cuò)誤的。所以綜合考慮，遺忘因子應(yīng)該取在0.95和0995之間。4.2 遞推最小二乘法(RLS)應(yīng)用于數(shù)字波束形成的仿真分析按照給定要求，天線陣元數(shù)16個(gè)，輻射源5個(gè)，在遺傳因子為0.95，預(yù)設(shè)有用信號角度為30度，干擾信號角度分別為-80，0，60，80.預(yù)子圖誤差的對比101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101

17、010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010首先是單次運(yùn)算均方誤差和100次均方誤差的仿真對比圖圖 4.4由圖4.4可見，在單次和100次運(yùn)算下的均方誤差相差不大。圖 4.5由圖4.5可見，該算法生成的方向圖滿足要求，在覆蓋180度的方位面內(nèi)，產(chǎn)生了一個(gè)波束，波束指向?yàn)?0度，為有用信號角度；同時(shí)對干擾方向-80，0 ，60，80都有一

18、定程度的置零；另外對雜波信號進(jìn)行了壓制，主瓣波束變窄。圖 4.6圖4.6表示的是輸入輸出信號的對比圖，可以見到通過該算法有效的還原了有用信號，并且對噪聲和干擾信號都有了較好的抑制。五 總結(jié)自適應(yīng)數(shù)字波束形成算法在陣列天線技術(shù)中起著至關(guān)重要的做用，本文通過先介紹了數(shù)字波束形成簡介及其原理，后比較了幾個(gè)常用的數(shù)字波束形成準(zhǔn)則，然后引入了遞推最小二乘算法(RLS)，對其進(jìn)行算法描述和推導(dǎo)，最后對算法性能和應(yīng)用于算法的性能進(jìn)行了仿真分析。六 參考文獻(xiàn) 1吳偉陵.移動(dòng)通信中的關(guān)鍵技術(shù)M.北京郵電大學(xué)出版社，2000:256-268.2石新智,王高峰.修正MUSCI算法對非線性陣列適用性的討論.電子學(xué)報(bào)J

19、,2004,32(1) :15-18.3龔耀寰編著.自適應(yīng)濾波時(shí)域自適應(yīng)濾波和智能天線M.北京電子工業(yè)出版社，2003:217-307.4劉君,廖桂生.信源數(shù)目過估計(jì)和欠估計(jì)下MUSIC算法分析J.2004,26(2)：123-137.5 Harry LVan Trees.Optimum array processing.Publication by John Wiley and sons LtdM.2002:710-916.6S Bellofiore,J F Balanis.Smart-Antenna Systems for mobile Comm Networks Park Beamfor

20、ming andNetwork Throughput. IEEE antennas and Propagation MagazineJ.2002,44(4):106-114. 附錄1算法性能測試代碼：M=15;%均衡濾波器階數(shù)為2*M+1Lb=10;%信道b長度為L+1%Lb=2;%信道c長度為L+1%hb=0.4070.8150.407;%離散時(shí)間信道chb=0.04-0.050.07-0.210.500.720.360.000.210.030.07;%離散時(shí)間信道bHb=zeros(2*M+1,2*M+Lb+1);fork=1:2*M+1;%信道b的信道矩陣 Hb(k,k:1:k+Lb)=

21、hb;end%產(chǎn)生伯努利序列和加性白噪聲，構(gòu)建均衡濾波器的輸入數(shù)據(jù)矩陣sigma=1e-3;%加性白高斯噪聲的方差N=2000;%迭代次數(shù)s=randsrc(2*M+Lb+N,1);%伯努利序列vn=sqrt(sigma)*randsrc(2*M+Lb+N,1);S=zeros(2*M+Lb+1,N);%發(fā)射信號矩陣SV=zeros(2*M+1,N);%加性白高斯噪聲矩陣Vfork=1:NS(:,k)=s(2*M+Lb+k:-1:k);V(:,k)=vn(2*M+k:-1:k);endUb=Hb*S+V;%均衡濾波器輸入數(shù)據(jù)矩陣Ub%RLS迭代算法dn=S(M+Lb+1,:);%期望信號lam

22、bda=0.990;%RLS遺忘因子delta=0.004;%RLS調(diào)整參數(shù)wb_RLS=zeros(2*M+1,N+1);wb_RLS(M+1,1)=1;%權(quán)向量初始值epsilon=zeros(N,1);%先驗(yàn)估計(jì)誤差P1=eye(2*M+1)/delta;%相關(guān)矩陣逆的初始值fork=1:N%RLS算法迭代過程 PIn=P1*Ub(:,k);deno=lambda+Ub(:,k)*PInkn=PIn/deno;epsilon(k)=dn(k)-wb_RLS(:,k)*Ub(:,k);wb_RLS(:,k+1)=wb_RLS(:,k)+kn*conj(epsilon(k);P1=P1/la

23、mbda-kn*Ub(:,k)*P1/lambda;endMSEB_RLS=abs(epsilon).2;%單次實(shí)驗(yàn)均方誤差MSEB_RLSn=1:2000;plot(n,MSEB_RLS)title(RLS算法學(xué)習(xí)曲線)xlabel(迭代次數(shù)n)ylabel(MSEB_RLS)axis(020001e-31e+2);附錄2波束形成算法代碼：Clc,clear all,close all;M=16;%陣元數(shù)%d=bochang/2;%陣元間距為信號波長的一半N=1000;%快拍數(shù)theta_signal=30;%有用信號的方向theta_interfere1=0;%干擾信號1的方向theta_

24、interfere2=80;%干擾信號2的方向theta_interfere3=-80;%干擾信號3的方向theta_interfere4=60;%干擾信號4的方向snr=10;%所有信號的信噪比均為此值linear_snr=10(snr/10);%線性信噪比值t=1:N; f0=2e7;%參考信號的頻率s0=5*cos(2*pi*f0*t/(N*f0);%目標(biāo)信號for i=1:M fai0(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_signal/180);%有用信號的相位 fai1(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere

25、1/180);%干擾信號1的相位 fai2(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere2/180);%干擾信號2的相位 fai3(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere3/180);%干擾信號3的相位 fai4(i,1)=exp(j*(i-1)*pi*sin(pi*theta_interfere4/180);%干擾信號2的相位endpower=0;for t=1:N power=power+s0(t)2;endpower_signal=power/N;%有用信號功率power_noise=power_sig

26、nal/linear_snr;%噪聲功率power_interfere1=power_noise*linear_snr;%干擾信號1的功率power_interfere2=power_noise*linear_snr;%干擾信號2的功率power_interfere3=power_noise*linear_snr;%干擾信號2的功率power_interfere4=power_noise*linear_snr;%干擾信號2的功率s1=normrnd(0,sqrt(power_interfere1/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere1/2),1,N)

27、;%干擾信號1的隨機(jī)包絡(luò)s2=normrnd(0,sqrt(power_interfere2/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere2/2),1,N);%干擾信號2的隨機(jī)包絡(luò)s3=normrnd(0,sqrt(power_interfere3/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere3/2),1,N);%干擾信號3的隨機(jī)包絡(luò)s4=normrnd(0,sqrt(power_interfere4/2),1,N)+j*normrnd(0,sqrt(power_interfere4/2),1,N);%干擾信號4的隨機(jī)包絡(luò)X0=; noise=tco_wgn(M,N,0.2,2);for t=1:N x=s0(t)*fai0+s1(t)*fai1+s2(t)*fai2+s3(t)*fai3+s4(t)*fai4+noise(:,t); %陣列對信號的完整響應(yīng),x為M*1 X0=X0;x;%X0為N*Mend%*RLS算法*%w=zeros(M,1);%權(quán)矢量初始化lamda=1;%遺忘因子lamdadelta=10;c=delta*eye(M,M);%接收信號樣本自相關(guān)矩陣的逆矩陣初始化pingjunzhi=zeros(1,N); mse1=;f