全國高考理科數(shù)學(xué)試題

1、普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號(hào)內(nèi).方程2%、9的解是(A 九二1g 把復(fù)數(shù)1 + i對應(yīng)的向量按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)y，所得到的向量對應(yīng)的 復(fù)數(shù)是CA)上昌士招 22(B)士4士返 22CC) Zll +J】 22CD) 必 + Zlzi 22(3)如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是 S,那么圓柱的體積等于(4)方程sin2x=sinx在區(qū)間(0,2冗)內(nèi)的解的個(gè)數(shù)是(A)1(B)2(C)3(D)4 (5)己知上圖是函數(shù)y =之點(diǎn)門磬況+中乂 | (p I v 4)的圖象，那么2(a) 

2、9; -1071，牛二一116(B)-叱116(C) CD = 2沖=y6(D)=2,cp =6(6)函數(shù)¥ =平+山+昌+胭的值域是|smx| cos 芯 |tgx| ctgx(A)-2,4(B)-2,0,4(C)-2,0,2,4 (D)-4,-2,0,4那么(7)如果直線y=ax + 2與直線y=3x b關(guān)于直線y = x對稱,(A)a = ； ,b = 6(B)a = ； ,b = -6(C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6C8)極坐標(biāo)方程4Psi/S =詠示的曲線是 2(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線的一支(D)拋物線(9)設(shè)全集I = Ge, y)k，y eR,集合M =

3、 M，/=嘰 x- 2N = (曲y)|y H耳+1那么面國等于(B)(2,3)(C)(2,3)(D)(x, y) I y=x+1 (10)如果實(shí)數(shù)見y滿足等式值 .2)2+/ =3,那么上的最大值是(嗎*T (D)75如果E、F分別為(11)如圖，正三棱錐S ABC的側(cè)棱與底面邊長相等SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于(A)900 (B)60° (C)45° (D)30°(12)已知h>0.設(shè)命題甲為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足| a- b | <2h;命題乙為：兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b滿足I a 1 | <八且| b-1 | <h.那么

4、(A)甲是乙的充分條件， (B)甲是乙的必要條件， (C)甲是乙的充分條件 (D)甲不是乙的充分條件 (13)A, B, C,但不是乙的必要條件但不是乙的充分條件,也不是乙的必要條件D,E五人并排站成一排如果B必須站在A的右邊(A,B可以不相鄰)，那么不同的排法共有(A)24種(B)60種(C)90種(D)120種(14)以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有(A)70個(gè)(B)64個(gè)(C)58個(gè)(D)52個(gè)(15)設(shè)函數(shù)y=arctgx的圖象沿x軸正方向平移2個(gè)單位所得到的圖象為C.又設(shè)圖象C，與C關(guān)于原點(diǎn)對稱， 那么C，所對應(yīng)的函數(shù)是(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-

5、2)(C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2)二、填空題：把答案填在題中橫線上.。6)雙曲線1的準(zhǔn)線方程是(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展開式中，x2的系數(shù)等于 (18)已知an是公差不為零的等差數(shù)列， 如果Sn是an的前n項(xiàng)的和么也等于N s S(19)函數(shù) y=sinxcosx+sinx+cosx 的最大值是-(20)如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EB1C1F將三棱柱分成體積為Vi、V2的兩部分，那么Vi:V2Ci三、解答題.7(21)有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比

6、數(shù)列， 并且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16,第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和是12求這四個(gè)數(shù).(22)已知 sina + sin3 ncosa; + cos。=，求tg(cd 十的值就(23)如圖， 在三棱錐S ABC中， SAL底面ABC, ABLBC.DE垂直平 分SC,且分別交AC、SC于D、E.又SA = AB,SB= BC.求以BD為棱,以BDE與BDC為面的二面角的度數(shù).(24)設(shè)a> 0,在復(fù)數(shù)集C中解方程z2+2 | z | = a.Q5)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在x軸上，離心率曰=，已知點(diǎn)P(0=) 2u到這個(gè)桶圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)S巨離是"求這個(gè)橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)

7、p 的距離等于步的點(diǎn)的坐標(biāo)。(26)寅耳)二Igl十一十十(口一1廣十口,其中&是實(shí)數(shù)，n是任意自然數(shù)且 nn>2.(1)如果收)當(dāng)乂(-00,1時(shí)有意義， 求a的取值范圍；(11)如果2 (0,1,證明 2f(x)<f(2x)當(dāng)xw0時(shí)成立.參考答案一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算.(1)A (2)B (3)D (4)C (5)C (6)B (7)A (8)D (9)B (10)D (11)C (12)B (13)B (14)C(15)D、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算(IQy =(17)-20(18)2(19)-4-72(20)7:5三、解答題.(21)本小題

8、考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和運(yùn)用方程(組)解決問題的能力 解法一：設(shè)四個(gè)數(shù)依次為亂-&機(jī)& + *包或a ,4(a + d)2”依題意，有(a-d) + = 16.a + (a += 12.由式得 d=12-2a.將式代入式得(12- 2叨+ 竺曳-=16, a整理得 a2-13a+36=0解得a1=4,a2=9.代入式得di=4,d2=-6.從而得所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3,1.解法二:設(shè)四個(gè)數(shù)依次為x,y, 12-y,16-x 依題意，有卜+ (12-y) = 2y5 ty(16-x) = (12-y)2由式得 x=3y-12.將式代入式得 y(16-3y

9、+12)=(12-y)2,整理得 y2-13y+36=0.解得y1 =4,y2=9.代入式得x1=0,x2=15.1.從而得所求四個(gè)數(shù)為0,4,8,16或15,9,3, (22)本小題考查三角公式以及三角函數(shù)式的恒等變形和運(yùn)算能力解法一：由已知得sma+sin p = 2 sincosOt + casP = 2cos兩式相除獴2? = ：.所以解法三:由題設(shè)得4(sin a +sin 0 )=3(cosa +cos0 ).將上式變形為(氧n at-；cosct= cosB-口 設(shè) coscp- -,sin Cp -2電tg(a + p)=1- tg解法二:如圖，不妨設(shè)0& a <

10、 B < 2兀，且點(diǎn)A的坐標(biāo)是(COS a ,sin a ),點(diǎn)B的坐標(biāo)是(cos。, sin。)， 則點(diǎn)A, B在單位圓x2+y2=1AB港C是AB的中點(diǎn)心題設(shè)知點(diǎn)時(shí)坐標(biāo)是 上.連結(jié)連結(jié)OC, 于是OCLAB, 若設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是(1,OB, 則有0),再連結(jié)OA,ZDOA =n/DOE = &ZDOC = -2 從而電 B tg£DQC - -y-=.21462tq 2x2所以陪(Ct+B)= 241-儲(chǔ)將式代入式, 可得 sin( a -尸sin(- 0 ).于是 a = (2k+1) ”(- B )(k Z),或 a -=2k 兀 +(- B )(k Z).若 a

11、 -=(2k+1)兀-(-B )(k C Z), 則 a = B + (2k+1)兀(k C Z).于是 sina=-sinB, 即sin a+sin 0 =0.這與已知條件sina+sinP=工矛盾4由止匕可知a -=2k兀+(- B )(k Z),即 a + B = 2+2k:t (kCZ).由式得謔P=-A所以2 x §,、 2tgcp24tg (ot+13) = tg 2cp = -j-=/、 = z1-tg J；7I4J(23)本小題考查直線和平面，直線和直線的位置關(guān)系，二面角等基本知識(shí)，以及邏輯推理能力和空間想象能力.解法一：由于SB=BC,且E是SC的中點(diǎn)，因此BE是等

12、腰三角形SBC的底邊SC的中線，所以SC, BE.又已知 SCXDE, BEADE = E,SC± 面 BDE,SC± BD.又;SA，底面ABC,BD在底面ABC上，,.SAXBD.而SCn SA=S,.BD，面 SAC.DE=WSAC n 面 BDE,DC=WSAC n 面 BDC,.BDXDE, BDXDC.丁./EDC是所求的二面角的平面角.- SA，底面 ABC, SA，AB,SAX AC.設(shè) SA= a,則 AB = m,BC = 5B = J又因?yàn)锳BBC,所UUc=島9區(qū) 1在 RtZXSAC 中,tg/AC3= =一AC J3f- ./ACS = 30&#

13、176; .又已知DESC,所以/EDC=60° ,即所求的二面角等于60S解法二：由于SB=BC,且E是SC的中點(diǎn)，因此BE是等腰三角形SBC的底邊SC的中線，所以SC, BE.又已知 SCLDE,BEnDE = E/.SC±WBDE,.-.SC± BD.由于SAL底面ABC, 且A是垂足， 所以AC是SC在平面ABC上的射影.由 三垂線定理的逆定理得 BD XAC;又因E C SC, AC是SC在平面ABC上的射 影， 所以E在平面ABC上的射影在AC上， 由于DC AC, 所以DE在平 面ABC上的射影也在AC上， 根據(jù)三垂線定理又得BDXDE.- DE-面

14、 BDE,DC-WBDC,丁. / EDC是所求的二面角的平面角.以下同解法一.(24)本小題考查復(fù)數(shù)與解方程等基本知識(shí)以及綜合分析能力.解法一:設(shè)z = x+yi,代入原方程得x2 y2 + 2不' 十尸 + 2zyi = a于是原方程等價(jià)于方程組一/+2舊十丁 = a,2xy = 0,由式得y=0或x=0.由此可見，若原方程有解，則其解或?yàn)閷?shí)數(shù)， 或?yàn)榧兲摂?shù).下面分別加以討論.情形1.若y=0,即求原方程的實(shí)數(shù)解z=x.此時(shí)，式化為x2+2 | x | =a.(I )令乂0,方程變?yōu)閤2 + 2x=a.解方程得x = -1 士. %/1 + a .由此可知：當(dāng)a=0時(shí)，方程無正根；

15、當(dāng)a 。時(shí)，方程有正根乂 = -1 + 71 +a.(n )令乂0,方程變?yōu)閤2-2x=a.解方程得笈=1土 ,VT+a .由此可知：當(dāng)a=0時(shí)，方程無負(fù)根；當(dāng)a0時(shí)，方程有負(fù)根x=1- 二.(IH)x=0,方程變?yōu)?=a.由此可知：當(dāng)a=0時(shí)，方程有零解x=0;當(dāng)a>0時(shí)，方程無零解.所以， 原方程的實(shí)數(shù)解是：當(dāng)a=0日寸，z=0;當(dāng)a >。時(shí)建=± (1 - J1 +占) .情形2.若x=0,由于y=0的情形前已討論，現(xiàn)在只需考查yw0的情形，即求原方程的純虛數(shù)解z=yi(y*0).此時(shí)，式化為- y2+2 | y | =a.(I )令丫>0,方程變?yōu)?y2+2

16、y=a,即(y-1)2=1-a.由此可知：當(dāng)a>1時(shí)，方程無實(shí)根.當(dāng)a0 1時(shí)解方程得y=1 ±- a ,從而， 當(dāng)a=0時(shí)， 方程有正根y=2;當(dāng)0<a0 1時(shí)，方程有正根 y=1 ± J匚占.(H)令y<0,方程變?yōu)?y2-2y=a,即(y+1)2=1-a.由此可知：當(dāng)a>1時(shí)，方程無實(shí)根.當(dāng)a0 1時(shí)解方程得y=-1 ±a ,從而，當(dāng)a=0時(shí)，方程有負(fù)根y=-2;當(dāng)0<a0 1時(shí)，方程有負(fù)根 y=-1 ±所以，原方程的純虛數(shù)解是：當(dāng) a=0 時(shí)，z=±2i;當(dāng)0<a0 1 時(shí)，z=±(1 +

17、W- - )i,z=±(1-S-a)i.而當(dāng)a>1時(shí)，原方程無純虛數(shù)解.解法二：設(shè)z=x+yi代入原方程得x2 -y" + 2xyi =工于是原方程等價(jià)于方程組Y _尸+2收+、口 -各,2咫=0,由式得y=0或x=0.由此可見， 若原方程有解，則其解或?yàn)閷?shí)數(shù)， 或?yàn)榧兲摂?shù).下面分別加以討論.情形1.若y=0,即求原方程的實(shí)數(shù)解z=x.此時(shí)，式化為x2+2 | x | =a.即 | x 2+2 | x I =a.解方程得I x | = -1 + Vl + a ,所以，原方程的實(shí)數(shù)解是Z= ± (-1+ ./T+7).情形2.若x=0,由于y=0的情形前已討論

18、,現(xiàn)在只需考查yw0的情形，即求原方程的純虛數(shù)解z=yi(y*0).此時(shí),式化為- y2+2 | y | =a.即-| y | 2 +2 | y | =a.當(dāng)a=0時(shí)，因yw0, 解方程得I y I =2,即當(dāng)a=0時(shí)，原方程的純虛數(shù)解是z=±2i.當(dāng)0<a0 1時(shí)，解方程得I y I = 1 士 過 ,即當(dāng)0<a0 1時(shí)，原方程的純虛數(shù)解是z = ± (1 + VT-a = 土 (1-/1- a )i.而當(dāng)a>1時(shí)，方程無實(shí)根,所以這時(shí)原方程無純虛數(shù)解解法三：因?yàn)閦2=-2 | z | +a是實(shí)數(shù)，所以若原方程有解， 則其解或?yàn)閷?shí)數(shù)， 或?yàn)榧兲摂?shù)，即2=

19、乂或2=丫3 W 0).情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.若z=yi(y *0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四：設(shè)z=r(cos8 +isin 0), 其中r>0,00 8 <2幾.代入原方程得r2cos2 8 + 2r+ir2sin2 8 = a.于是原方程等價(jià)于方程組racos2 9 + 2r =鼻，rasin2 8=0,U 由式得=0或9 = 更(k = 0,123). 乙情形1.若r=0.式變成0=a.由此可知：當(dāng)a=0時(shí)，r=0是方程的解.當(dāng)a>0時(shí)，方程無解.所以，當(dāng)a=0時(shí)，原方程有解z=0;當(dāng)a>0時(shí)，原方程無零解.情形

20、2一若8 =段保 = 0,123,由于f = 0的情形前已討論，現(xiàn)在只需考查r>0的情形.(I)當(dāng)k=0,2時(shí)， 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z=±匚因cos2 8 =1, 故式化為r2+2r=a.解方程©可得r = -1 ± Jl + a .由此可知：當(dāng)a=0時(shí)，方程無正根；當(dāng)a>0時(shí)，方程有正根r = -1+ M +國.所以，當(dāng)a>0時(shí)，原方程有解土(尸-1).(H)當(dāng)k=1,3時(shí)， 對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z=± ri.因cos28 =-1,故式化為- r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,由此可知：當(dāng)a>1時(shí)，方程無實(shí)根， 從而無正根；當(dāng)時(shí)解方程得

21、r = 1 ± Jl-且 .從而，當(dāng)a=0時(shí)，方程有正根r=2;當(dāng)0 < K 1時(shí)，方程有正根.1 ±萬* .所以，當(dāng)a=0時(shí)，原方程有解z=±2i;當(dāng)0<a< 1時(shí)，原方程有解z= ± (1 +/1- a)i,£ = ± (1 -柒)i當(dāng)a>1時(shí)，原方程無純虛數(shù)解.(26)本題考查對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)， 數(shù)學(xué)歸納法，不等式的知識(shí)以及綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)解決問題的能力.(I)解:f(x)當(dāng)xC (-00,1時(shí)有意義的條件是1+2x+(n-1)x+nxa>0xC(-oo,1,n>2,即 a >-(+&

22、#169; +(?) e SR因?yàn)?-(k = L2,，n - 1)在(-8,1,n/上都是增函數(shù)，麗 I11丫/2丫fn-lVl所以 -十一十+ I力I力 n /在(-00,1上也是增函數(shù)，從而它在x=1時(shí)取得最大值因此，式等價(jià)于Q - %力-D也就是a的取值范圍為(a I & > (n J%(H)證法一 ：2f(x)<f(2x) aC (0,1,XW0.即1+2x+- - +(n-1)x+nxa2<n1+22x+- - +(n-1)2x+n2xaaC (0,1,xw0.現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明式.(A)先證明當(dāng)n=2時(shí)式成立.假如 0<a<1,xw0,則(1

23、+2xa)2=1+2 2xa+22xa2W2(1+22x)<2(1+22xa).假如a=1,xw0,因?yàn)?*2x,所以(1 +21t尸= 1 + 22 +22K <2(1 + 2與因而當(dāng)n=2時(shí)式成立.(B)假如當(dāng)n=k(k>2)時(shí)式成立， 即有1+2x+(k-1)x+kxa2<k1+22x+(k-1)2xa a (0,1, xw0,那么， 當(dāng)aC (0,1,xw0時(shí)(1+2x + +kx)+(k+1)xa2=(1+2x+kx)2+2(1+2x+kx)(k+1) xa+(k+1)2xa2<k(1+22x+k2x)+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2x

24、a2=k(1+22x+k2x)+2 1 - (k+1)xa+2 2x(k+1)xa+2kx(k+1)xa+(k+1) 2xa2<k(1+22x+k2x)+1+(k+1) 2xa2+22x+(k+1)2xa2+ +k2x+(k+1)2xa2+(k+1) 2xa2=(k+1)1+22x +k2x+(k+1)2xa2W (k+1)1+22x+ + k2x+(k+1)2x a,這就是說，當(dāng)口=卜+1時(shí)式也成立.根據(jù)(A),(B)可知，式對任何n>2(n N)都成立.即有2f(x)<f(2x) aC (0,1,xw0.證法二：只需證明n2時(shí)1 + 21t + +Q-1 7 +nxaf

25、弋口口+/+,1口 -1 產(chǎn)at*彳0一)因?yàn)?1+町+屋)=閡+ W +公)+ 2到+均犯+<(貳+公+/)+(吊+公)+團(tuán)+即)+宙+尾)+ +故：)卜出(噎+簿+1) + (4 + 或)=n(魚:+窗:+'*+&：).于是 + 的+aa)3<n(a?+aj + b - +aj ),其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ai=a2=二an時(shí)成立.利用上面結(jié)果知， 當(dāng)a=1,xw0時(shí)，因1*2x,所以有1+2x+(n-1)x+nx2<n1+22x+(n-1)2x+n2x.當(dāng)0<a<1,xw0時(shí)，因a2<a,所以有1+2x+ +(n-1) x+nxa2< n1+22x+(n-1)2x+n2xa2<n1+2 2x+ +(n-1)2x+n2xa.即有 2f(x)<f(2x) a (0,