第五節(jié) 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

1、第五節(jié) 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 5.1 隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 與方程確定隱函數(shù)類似, 方程確定隱函數(shù), 即將代入方程有 . （4.1） 應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式，將上式兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，有 , 解得 .同理，對(duì)（4.1）式兩過關(guān)于求偏導(dǎo)，有 , 解得 . 注意：這里是關(guān)于對(duì)中間變量求偏導(dǎo)，F(xiàn)對(duì)中間變量求偏導(dǎo)時(shí)，視為常數(shù)，是關(guān)于對(duì)中間變量求偏導(dǎo)，, z視為常數(shù)，是關(guān)于對(duì)中間變量求偏導(dǎo)，視為常數(shù)，關(guān)于方程確定多元隱函數(shù)，并且偏導(dǎo)存在的條件與證明比較復(fù)雜，讀者可參看數(shù)學(xué)分析教材. 在實(shí)際中求方程確定多元隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，不一定要用公式, 尤其在方程中含有抽象函數(shù)，可利用求公式的方法較方便. 例1 方程確定隱函數(shù)，求.

2、解：由,方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，有 , 解得. 方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，有，解得.,將代入上式，化簡(jiǎn)整理有 . 例2 確定, 求. 解：由, 方程兩邊關(guān)于求偏導(dǎo)，有， 解得，由稱性，得. 例3 設(shè), 求證=1. 解 由題意知方程確定,方程兩邊取微分，有 有, 即 有，兩邊同除以,有, 于是, , 則 . 從上面幾個(gè)例題可知，我們?cè)谇蠓匠檀_定隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用公式或用求公式的方法或用微分，可靈活選擇. 5.2 隱函數(shù)組偏導(dǎo)數(shù) 方程確定隱函數(shù)可以推廣到方程組確定一組隱函數(shù)，設(shè)方程組, 確定隱函數(shù)組, 即 上式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，有 解方程組， 得 , . 稱為函數(shù)的雅可比（Jaco bi）行到式,記作 ,

3、則 , .從上面兩式我們發(fā)現(xiàn)，的值是一個(gè)分式，前面是負(fù)號(hào)，分母是，分子是把中換成，即. 而的分子恰好是中換成. 同理，我們可求出，也符合這種規(guī)律，即, . 如果方程組確定 ，你能寫出嗎？試一試，并且驗(yàn)證是否正確. 當(dāng)然在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可以不必用這些公式，要掌握求隱函組偏導(dǎo)數(shù)的方法. 例4 設(shè) 求. 解 由題意知, 方程組確定隱函數(shù)組, 方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，有 利用克萊姆法則，解出 , . 例5 設(shè) 求. 解 由題忌知方程組確定隱函數(shù), 方程組兩邊取微分，有 把看成未知，解得 , 有 , 同理，我們還可求出，得到 , . 例6 設(shè), 且 ,求. 解法一 由題意知，, ，因此 , （1） 由 （2）

4、方程 兩邊對(duì)求導(dǎo), , 解得 . （3）把（2）、（3）代入（1）, 有 . 如果我們利用多元函數(shù)的一階微分不變性及四則運(yùn)算就更方便.只要求出 這個(gè)式子就是. 解法二 由 , （4） , 有 , 有 , 有 , 解得 （6）把（5）、（6）代入（4）,有 ,因此 5.3 反函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù) 對(duì)于物理中一些問題的解釋與計(jì)算及重積分的計(jì)算，通常都要選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出坐標(biāo)變換，例如平面上的坐標(biāo)與另一種坐標(biāo)之間的關(guān)系，即 （7） 有 （8） 方程組（8）可確定函數(shù)組, .稱為 方程組（7）的反函數(shù)組. 從方程組（8）可利用方程組確定隱函組求偏導(dǎo)數(shù)的方法，來求反函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù). 下面我們來研究函數(shù)的雅

5、可比行列式與反函數(shù)組雅可比行列式之間的關(guān)系.將代入（8），有 將上式分別對(duì)和求偏導(dǎo)，有和 和由=, 即 .這個(gè)結(jié)果與一元函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是類似的.這一結(jié)果可推廣到三維以上空間的坐標(biāo)變換. 例如，函數(shù)組, , 確定反函數(shù)組.在滿足一定條件下，有. 例7 確定反函數(shù)組 求. 解 由, 方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，有 解得 同理, 方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo),可得. 例8 設(shè)確定反函數(shù)組 求. 解 由, 方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，得 解得 , .同理，方程組兩邊對(duì)求偏導(dǎo)，可得第六節(jié) 方導(dǎo)數(shù)與梯度 6.1方向?qū)?shù) 我們知道，偏導(dǎo)數(shù)能表達(dá)沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的變化大小，但僅知道這一點(diǎn)，在實(shí)際應(yīng)用中是不夠的. 例如用混凝土來澆

6、注水壩時(shí)，水壩中各點(diǎn)的溫度就不一樣，由熱脹冷縮，生產(chǎn)了溫度應(yīng)力會(huì)使壩發(fā)生裂縫.在點(diǎn),如果溫度沿某一方向變化來得大，那么裂縫就很可能在這個(gè)方向發(fā)生. 對(duì)于靜電位也是如此，如果在某一點(diǎn)沿某一方向的電位變化大，在這一方向就可能會(huì)引起放電現(xiàn)象. 由此可見，對(duì)于函數(shù)需要研究在一點(diǎn)沿某一方向的變化率. 定義 設(shè)三元函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，l為從點(diǎn)出發(fā)的射線，為 l上且含于內(nèi)的任一點(diǎn)，以表示與兩點(diǎn)的距離，若極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)沿方向l 的方向?qū)?shù)，記作或或. 容易看到，若在點(diǎn)處存在對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，則在點(diǎn)沿軸正方向的方向?qū)?shù)就是 當(dāng)方向?yàn)檩S負(fù)向時(shí)，則有 .一般情形下，方向?qū)?shù)與有什么關(guān)系呢？ 定理8

7、 若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)處沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，且 , 其中 （1）證 設(shè)為上任一點(diǎn)， 由, 有 （2）由在點(diǎn)可微，則有. 上式兩端同除以 結(jié)合（2）式, 有=, 所以對(duì)于二元函數(shù),相應(yīng)于（1）的結(jié)果是.其中是平面向量分別與軸、軸正向的夾角. 例1 求函數(shù)在點(diǎn)處沿點(diǎn)A指向點(diǎn)）方向的方向?qū)?shù). 解 由, ,有, . 由, ,則, , . 于是 . 例2 如圖8-14所示，這個(gè)函數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)（因?yàn)?）所以在原點(diǎn)處不可微. 但在始于原點(diǎn)的任何射線上，都存在包含原點(diǎn)的充分小一段， 圖8-14在這一段上的函數(shù)恒為零，于是,由方向?qū)?shù)定義, 在原點(diǎn)處沿任何方向, 都有. 這個(gè)例子說明(i)函數(shù)在一

8、點(diǎn)可微是方向?qū)?shù)存在的充分條件而不是必要條件, (ii)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)同樣不是方向?qū)?shù)存在的必要條件，當(dāng)然更不是充分條件，我們還可以說明偏導(dǎo)數(shù)存在也不是方向?qū)?shù)存在的充分條件. 對(duì)此，讀者可舉例子來說明 6.2 梯度 研究了函數(shù)在點(diǎn)沿方向的變化率之后，我們還需進(jìn)一步研究，當(dāng)點(diǎn)取定之后，取什么方向時(shí)，取到最大值，最大值是多少?由 , 即可看成兩矢量的數(shù)量積由, 因此, 把看成一個(gè)矢量. 定義 矢量稱為函數(shù)在點(diǎn)處的梯度，記為grad（grad是gradient縮寫），即 , 于是 . 其中是矢量與的夾角. 由此得出下面的結(jié)論：(i)在點(diǎn)處沿方向的方向?qū)?shù)，等于梯度在方向上的投影，如圖8-15. 圖

9、8-15(ii)當(dāng)，即的方向與梯度方向一致，或者說函數(shù)在點(diǎn)沿梯度方向的方向?qū)?shù)取到最大值，最大值等于梯度的摸, 即 .這就是說，當(dāng)在可微時(shí)，在的梯度方向是值增長(zhǎng)最快的方向.當(dāng), 即的方向與梯度方向相反，或者說，函數(shù)在點(diǎn)沿梯度的反方向，方向?qū)?shù)取得最小值為. 綜上所述，函數(shù)的梯度描述了函數(shù)的變化最大的方向和最小方向的變化率，雖然上述結(jié)果是在直角坐標(biāo)系下討論時(shí)，但梯度這個(gè)矢量實(shí)質(zhì)上是和坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的. 例3 求在點(diǎn)處沿哪個(gè)方向?qū)?shù)最大，最大值是多少. 解 由,則., . 于是在處沿方向的方向?qū)?shù)最大，最大值是. 例4 確定常數(shù)，使在右半平面上的向量 為某二元函數(shù)的梯度, 解 由,有, 又, 得

10、 , 化簡(jiǎn); 解得. 梯度具有以下運(yùn)算法則: 設(shè)可微， 為常數(shù)，則 (1); (2); (3). (讀者自己證明） 例5 求. 其中為可微函數(shù), 其中 ， 解 由公式（3）知 =. 由,于是第七節(jié) 多元函數(shù)的極值及應(yīng)用 7.1 多元函數(shù)的泰勒公式 我們知道一元函數(shù)的泰勒公式的效果是可以按給定的精度要求用多項(xiàng)式逼近一個(gè)函數(shù)，那么多元函數(shù)是否也有類似的結(jié)果，我們可利用一元泰勒公式的結(jié)論，得到 定理9 （泰勒定理）若函數(shù)在點(diǎn)某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)任一點(diǎn)，存在相應(yīng), 使得 (6-1)(6-1)式稱為二元函數(shù)在點(diǎn)的階泰勒公式.證 作函數(shù) ，由定理?xiàng)l件知 一元函數(shù)在上滿足一元函數(shù)的泰勒定理?xiàng)l

11、件. 因?yàn)橛傻亩x知=, 由數(shù)學(xué)歸納法可得 .所以 ,取，有, .由, , ,.因此 , .稱為泰勒公式的拉格朗余項(xiàng). 如果用公式中關(guān)于及的次多項(xiàng)式作為的近似值，由此產(chǎn)生的誤差怎樣呢？若在內(nèi)所有階偏導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值不超過某一個(gè)確定的正數(shù)M,則 .表明當(dāng)時(shí)是一個(gè)比高階的無窮小，即有 , .特別地, 當(dāng)時(shí)，則稱為二元函數(shù)的馬克勞林公式，就可寫為.設(shè)，, , 則二元函數(shù)的泰勒公式可用點(diǎn)函數(shù)形式表出來，即.全增量可表示為 . 有興趣的讀者，類似可證m元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有直到階的連續(xù)編導(dǎo)數(shù)，對(duì)任一點(diǎn)，有其中 , . 這里m元函數(shù)的記號(hào)與二元函數(shù)的記號(hào)相同. 在二元函數(shù)的泰勒公式中，當(dāng)n=0時(shí)，有 , 或.

12、 這就是二元函數(shù)的拉格朗日中值公式，我們有下面的推論. 推論 設(shè)在區(qū)域G上具有連續(xù)的一階偏導(dǎo). (i)若, 則在G上僅是的函數(shù)； (ii)若,則在G上僅是的函數(shù)； (iii)若 則在G上是常值函數(shù). 證 (i)我們只要證任給，則, 設(shè), 對(duì)在區(qū)間（不妨設(shè)）上利用拉格朗日定理，有, , 因此得證, 同理可證(ii)成立.(iii)任給 ，利用二元函數(shù)中值定理，, 因此，在G上是常值函值. 例1 寫出函數(shù)在點(diǎn)的鄰域內(nèi)的展開式，到二次項(xiàng)為止. 解 , ,.由, 于是，按二元函數(shù)的泰勒公式有, . 其中其中. 從這里，我們看到余項(xiàng)的形式是很復(fù)雜的. 因此，如果不需要指出，我就寫或. 7.2多元函數(shù)的極

13、值 一、多元函數(shù)的極值概念 在解決實(shí)際問題中，我們已經(jīng)看到了最大值，最小值的重要性. 求函數(shù)的最大值，最小值時(shí)，涉及到函數(shù)的自變量往往不止一個(gè)，因此，就需要求多元函數(shù)的最大值，最小值. 而最大值與最小值與極值有著密切的聯(lián)系.首先我們給出多元函數(shù)的極值概念，并利用一元函數(shù)極值的性質(zhì)，推斷出多元函數(shù)極值的性質(zhì). 定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)任何點(diǎn), 都有 （或 ）. 則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極大（或極?。┲担c(diǎn)稱為的極大（或極?。┲迭c(diǎn). 極大值，極小值統(tǒng)稱極值，極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn). 由定義知，若在點(diǎn)取極值，則當(dāng)固定時(shí)，一元函數(shù)必定在取相同的極值，若也存在，即 存在，利用一元函數(shù)取極值

14、的必要條件知，即. 同理一元函數(shù)在也取相同的極值，若也存在，則，因此，有 定理10 （極值的必要條件）若函數(shù)在點(diǎn)存在偏導(dǎo)數(shù)且在取極值，則有, . （7.1）反之，若函數(shù)在點(diǎn)滿足式，則稱點(diǎn)為的穩(wěn)定點(diǎn)或駐點(diǎn). 定理指出，若存在偏導(dǎo)數(shù)，則其極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn)，但反之不一定成立. 例，有，但在點(diǎn)處不取極值. 因?yàn)樵贠點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域中，若，當(dāng)在一，三象限時(shí)，. 當(dāng)在二，四象限時(shí)，. 因此，不是極值. 若 在點(diǎn) 取極值，的偏導(dǎo)數(shù)只有兩種情形: (i) 都存在，則，.即點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn). (ii) ，至少有一個(gè)不存在. 因此，的極值點(diǎn)一定包含在穩(wěn)定點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn)之中. 例2 設(shè),在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)不存在，但時(shí),有,

15、 因此，為極小值. 極值點(diǎn)的懷疑點(diǎn)找出來后，若是偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 用函數(shù)值不等式來檢驗(yàn)點(diǎn)是否為極值點(diǎn). 若極值點(diǎn)的懷疑點(diǎn)是穩(wěn)定點(diǎn)，我們有下面的定理. 定理11 （極值的充分條件）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域連續(xù)，且有一階與二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如果，,設(shè) , 則 （1）當(dāng)時(shí)，一定為極值，并且當(dāng)A（或C）0時(shí)，為極小值；當(dāng)A（或C）0時(shí)，為極大值； （2）當(dāng)時(shí)，不是極值； （3）當(dāng)，還不能斷定是否為極值，須作進(jìn)一步研究. 證 設(shè)是內(nèi)任意一點(diǎn)，且即不同時(shí)為0，由二元函數(shù)在點(diǎn)處的一階泰勒公式，有, .由 , 有, 設(shè), ,. 于是 其中當(dāng)時(shí)是無究小量，因此，上式左邊差值的符號(hào)當(dāng)?shù)慕^對(duì)值是較小時(shí)（不同時(shí)為0）, 取

16、決于右端第一個(gè)式子的符號(hào). 記. （1） (i)當(dāng)時(shí)，則A，C都不為0，并且A， C同號(hào)，從而. （2）不論取什么值（不同為零），上式方括號(hào)內(nèi)總是正數(shù)，A，C同號(hào)，所以當(dāng)，有，有, 即所以為極大值. 當(dāng)，有，有，即所以為極小值. (ii)當(dāng)，當(dāng)A，C有一個(gè)不為0時(shí)，不妨設(shè),由不同時(shí)為0，不妨設(shè)，有 設(shè)=由是一個(gè)拋物線，由，拋物線開口向上，由 所以拋物線與t軸相交，有兩個(gè)根由的范圍是（-，+）, 當(dāng)在兩根之間時(shí)，在兩根之外時(shí)，, 因此的符號(hào)有時(shí)正有時(shí)負(fù).當(dāng)A，C同時(shí)為0時(shí), 由式知由，則B, 顯然W隨的變動(dòng)時(shí)正時(shí)負(fù)，因此，函數(shù)在點(diǎn)（）處不取極值. (iii)當(dāng)時(shí)，若，則從（2）式的第一個(gè)多項(xiàng)式看

17、到，當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)無法判斷值的符號(hào), 而函數(shù)在點(diǎn)處可能取極值，也可能不取極值, 須進(jìn)一步研究. 證法二 在判斷的符號(hào)時(shí)，若用二次型中的定理來判斷就很方便. (i)當(dāng)時(shí),由不同時(shí)為0, 對(duì)應(yīng)的矩陣為,當(dāng)(或, 即時(shí)，有, 即為極大值.當(dāng)（或）, 即時(shí)，有, 即為極小值. (ii)若時(shí)，為不定的, 即可正可負(fù)，從而也不保持定號(hào). (iii)當(dāng)，對(duì)于某些，從而也不能判定的符號(hào)，還須進(jìn)一步討論. 例2 求函數(shù)的極值. 解 由函數(shù)無偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).解方程組 解得及，由，,在點(diǎn)，, 所以不是極值.在點(diǎn)，, 所以為極小值. 二、多元函數(shù)的最大值，最小值 由定理: 若在有界閉區(qū)域G上連續(xù)，則在G上一定能取到

18、最大值與最小值. 即存在，有, 對(duì)一切，有. 最大值，最小值也可以在邊界點(diǎn)取到，也可以在內(nèi)部取到. 當(dāng)在內(nèi)部取到時(shí)，最大值，最小值點(diǎn)一定是極值點(diǎn)，則一定是穩(wěn)定點(diǎn)或偏導(dǎo)數(shù)不存在點(diǎn). 因此，最大值、最小值點(diǎn)一定包含在區(qū)域內(nèi)部的穩(wěn)定點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)及邊界點(diǎn)（邊界函數(shù)值最大值與最小值點(diǎn)）之中（注意與區(qū)間端點(diǎn)不同的是閉區(qū)域G的邊界點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，若，邊界點(diǎn)是邊界曲線上的點(diǎn)，若, 邊界點(diǎn)是曲面上的點(diǎn)），這些懷疑點(diǎn)中函數(shù)值中的最大者即為函數(shù)的最大值，最小者即為函數(shù)的最小值. 若根據(jù)實(shí)際問題一定有最大值（或最小值）, 而內(nèi)部有唯一的可疑點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)無須判斷一定是最大值（或最小值）. 例4 設(shè)D是由軸，軸及直線所圍成的三角形區(qū)域（如圖求函數(shù) 在D上的最大值.解 由函數(shù)無偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，解方程組解得，而在邊界或或上. 圖8-16因此是唯一的可疑點(diǎn)，所為最大值.三、條件極值 前面我們討論的極值問題，其極值點(diǎn)的搜索范圍是目標(biāo)函