重積分的計算方法

1、.重積分的計算方法重積分包括二重積分和三重積分，它是定積分的推廣；被積函數(shù)由一元函數(shù)f（x）推廣為二元函數(shù)f（ x,y），三元函數(shù)（ fx,y,z）;積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面域（二重積分）和空間域（三重積分） 。我個人在學習與復習多重積分這一塊時，感到多重積分的計算比較繁瑣，而在日常生活中多重積分有著很多的應用。通過在圖書館查閱資料、以及老師的指點，重積分的計算方法還是有規(guī)律可循的。 為了更好的應用重積分， 本人結(jié)合前人的經(jīng)驗， 在這里介紹幾種常用的重積分計算方法， 以及一些小技巧。 著重介紹累次積分的計算與變量代換。一二重積分的計算1常用方法（ 1） 化累次積分計算法對于常用方法我們

2、先看兩個例子;.對于重積分的計算主要采用累次積分法， 即把一個二重積分表達為一個二次積分， 通過兩次定積分的計算求得二重積分值，分析上面的例子累次積分法其主要步驟如下：第一步：畫出積分區(qū)域D 的草圖；第二步：按區(qū)域 D 和被積函數(shù)的情況選擇適當?shù)姆e分次序，并確定積分的上、下限；第三步：計算累次積分。需要強調(diào)一點的是，累次積分要選擇適當?shù)姆e分次序。積分次序的不同將影響計算的繁簡，有些題這兩種次序的難易程度可以相差很大，甚至對一種次序可以“積出來” ，而對另一種次序卻“積不出來” 。所以，適當選擇積分次序是個很重要的工作。選擇積分次序的原則是： 盡可能將區(qū)域少分塊，以簡化計算過程； 第一次積分的上

3、、下限表達式要簡單，并且容易根據(jù)第一次積分的結(jié)果作第二次積分。（2） 變量替換法著重看下面的例子：;.在計算定積分時， 求積的困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。 從而適當?shù)卦谟嬎阒胤e分時， 求積的困難來自兩個方面， 除了被積函數(shù)的原因以外還在而且， 有時候其積分區(qū)域往往成為困難的主要方面。利用換元法的好處是可以把被積函數(shù)的形狀進行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。于積分區(qū)域的多樣性。為此，針對不同的區(qū)域要討論重積分的各種不同算法。（3）極坐標變換公式（主要是 f(x,y)dxdy= f(pcos ,psin）)pdpd ;.下面看一個例子：計算二重積分時，要從被積函數(shù)和積分域兩個方面來考慮如何適當?shù)?/p>

4、選擇坐標系，如能采用適當?shù)淖鴺讼?，往往可以收到事半功倍的效果。從積分域來考慮，一般情況下，圓形、扇形或者環(huán)形可以選用極坐標。（4）對稱法;.第四種對稱法為輪換對稱，它在應用中十分重要，下面詳細介紹：首先所謂輪換對稱性就是，如果把f(x,y) 中的 x 換成 y，y 換成 x 后， f(x,y) 的形式?jīng)]有變化，就說 f(x,y) 具有輪換對稱性。 例如 x2+y2 有輪換對稱性， 而 2x+3y 沒有輪換對稱性 (因為換完后是 2y+3x ，和原來的不一樣 )。下面說明輪換對稱性在二重積分中的應用，我們知道二重積分的積分區(qū)域的邊界可以用 方程 f(x,y)=0 表示，如果這里的 f(x,y)

5、具有輪換對稱性，那么被積 函數(shù)中的 x 和 y 互換后積分結(jié)果不變。例如 x2dxdy，積分區(qū)域為圓周 x2+y2=1 ，由于輪換對稱性可知 x2dxdy= y2dxdy(這就是把被積函數(shù)中的x 換成了y) ，因此積分=(1/2) 2x2dxdy=(1/2) (x2+y2)dxdy，再用極坐標 計算就簡單多了。下面舉幾個例子：;.對稱法就是利用區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性簡化積分。在做題時， 先考慮區(qū)域和被積函數(shù)有無對稱性，有時一看就知道積分為零，有時可使積分化簡。否則的話，就會把時間花在無謂的計算上，有時不僅僅“得不償失”，而且往往是“有失無得”。利用區(qū)域和被積函數(shù)對稱性簡化積分的方法可以總結(jié)為：

6、 設(shè)域 D 關(guān)于 x 軸對稱， x 軸上方部分為D1，下方為D2， 設(shè)域 D 關(guān)于 y 軸對稱， y 軸右邊的部分為D1,左邊的部分為D2，（4） 特例當積分區(qū)域是一矩形，被積函數(shù)可以分離成只含x 的函數(shù)和只含y 的函數(shù)相乘時二重積分可作兩個定積分相乘。二三重積分三重積分概念可以看作是二重積分概念的直接推廣，它的計算也是化為累次積分，適當?shù)剡x擇變量代換可使三重積分容易計算。與前面二重積分情況相同，三重積分也可以應用對稱法計算，即一般地，若區(qū)域 D 關(guān)于 yoz 平面對稱，被積函數(shù)關(guān)于 x 是奇函數(shù)，則三重積分必為零，類似地還可推出其它各種對稱情況的三重積分。計算三重積分的一般步驟為：1畫出空間域D 的草圖；2根據(jù)被積函數(shù)和積分域D 選擇適當?shù)淖鴺撕屠鄞畏e分的次序，并將域D 用相應的雙邊不等式組表示；3完成累次積分的計算。這里，畫好圖形是計算的關(guān)鍵，因為積分變量變化的范圍就是從圖形上看出來的，于是也就順利地寫出了積分限。 其中柱坐標系中的定限化為平面直角坐標系的定限， 球坐標中定限化為平面極坐標系的定限?？梢哉f，三重積分的計算方法可由二重積分推廣過來，不再