直角三角形(一)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、第一章 證明（二）2直角三角形（一）一、學(xué)生知識(shí)狀況分析 直角三角形全等的條件和勾股定理及其逆定理在前面已由學(xué)生通過(guò)一些直觀的方法進(jìn) 行了探索，所以學(xué)生對(duì)這些結(jié)論已經(jīng)有所了解，對(duì)于它們，教科書努力將證明的思路展現(xiàn)出 來(lái)例如以前我們?cè)酶钛a(bǔ)法驗(yàn)證過(guò)勾股定理，而此處對(duì)勾股定理的證明應(yīng)以我們認(rèn)定的幾 條公理和由此推出的定理為依據(jù)進(jìn)行，雖然證明的方法有多種，但對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這些都有難 度，因此教科書將其兩種證明方法放在 “讀一讀 '中'，供有興趣的學(xué)生閱讀，不要求所有學(xué)生 掌握，其逆定理的證明方法對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是有一定難度的二、教學(xué)任務(wù)分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：1知識(shí)目標(biāo)：（1）經(jīng)歷和了解勾

2、股定理及其逆定理的證明方法，進(jìn)一步理解證明的必要性.（2）結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命 題不一定成立2能力目標(biāo)： （1）進(jìn)一步經(jīng)歷用幾何符號(hào)和圖形描述命題的條件和結(jié)論的過(guò)程，建立初步的符號(hào)感， 發(fā)展抽象思維（2）進(jìn)一步掌握推理證明的方法，發(fā)展演繹推理的能力 3情感與價(jià)值觀要求 在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心 積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)命題的獲得產(chǎn)生好奇心和求知欲.4教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn) 了解勾股定理及其逆定理的證明方法 結(jié)合具體例子了解逆命題的概念，識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道原命題成立，其逆命題不一定成立難點(diǎn)勾股定理及其逆定理的

3、證明方法.對(duì)不是“如果那么”形式的逆命題的敘述.三、教學(xué)過(guò)程分析本節(jié)課設(shè)計(jì)了七個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課；第二環(huán)節(jié)：講述新課；第三環(huán)節(jié)：議一議；第四環(huán)節(jié)：想一想；第五環(huán)節(jié)：.隨堂練習(xí)；第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)；第七 環(huán)節(jié)：課后作業(yè) 第一環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境，引入新課通過(guò)問(wèn)題1,讓學(xué)生在解決問(wèn)題的同時(shí)，回顧直角三角形的一般性質(zhì)。問(wèn)題1 一個(gè)直角三角形房梁如圖所示，其中BC丄AC, / BAC=30 , AB=10 cm ,CBi丄AB , BiC丄ACi,垂足分別是Bi、Ci,那么BC的長(zhǎng)是多少？ BiCi呢？B解：在 Rt ABC 中，/ CAB=30°, AB=i0 cm , i

4、i BC = 2 AB = 2 乂0= 5 cm.CBi 丄 AB，/ B+Z BCBi = 90°又/ A+ Z B = 90° Z BCBi =Z A = 30°ii5在 RtAACBi 中，BBi = 2 BC = 2 冷=2 cm = 2. 5 cm. ABi = AB = BBi= i0 2.5= 7.5(cm).在 RtACiABi 中，Z A = 30°rii BiCi = 2 ABi = 2 X7.5= 3.75(cm).解決這個(gè)問(wèn)題，主要利用了上節(jié)課已經(jīng)證明的“ 30°角的直角三角形的性質(zhì)”.由此提問(wèn):'般的直角三角形

5、具有什么樣的性質(zhì)呢？ ”從而引入勾股定理及其證明。教材中曾利用數(shù)方格和割補(bǔ)圖形的方法得到了勾股定理.如果利用公理及由其推導(dǎo)出的 定理，能夠證明勾股定理嗎？請(qǐng)同學(xué)們打開(kāi)課本Pi8,閱讀 讀一讀”，了解一下利用教科書給出的公理和推導(dǎo)出的定理, 證明勾股定理的方法.第二環(huán)節(jié)：講述新課閱讀完畢后，針對(duì)“讀一讀”中使用的兩種證明方法，著重討論第一種，第二種方法請(qǐng) 有興趣的同學(xué)課后閱讀.i.勾股定理及其逆定理的證明.已知：如圖，在 ABC 中，/ C= 90°° BC = a, AC = b, AB = c.求證：a2+b2 = c2.證明：延長(zhǎng) CB至D，使BD= b,作/ EBD

6、= Z A，并取BE= c,連接ED、AE(如圖),則厶 ABC BED ./ BDE = 90°, ED = a(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等). 四邊形ACDE是直角梯形.1 1 2二 S 梯形 acde = 2 (a+b)(a+b) = 2 (a+b)./ ABE = 180° (/ ABC + Z EBD) = 180° 90°= 90°, AB = BE.1 2 SA ABE = 2 c2T S 梯形 ACDE = Ssbe+Ssbc +Sbed ,1/x 21211-2 (a+b) = 2 c + 2 ab + 2 ab,即2

7、 a2 + ab + 1 b2 = 2 c2 + ab,二 a2+b兩干多年來(lái)，人們對(duì)勾股定理進(jìn)行了大量的研究，給出了多達(dá)數(shù)百種的證明方法.如果 學(xué)生有興趣，鼓勵(lì)他們查閱有關(guān)資料，了解勾股定理的其他證明方法.教師用多媒體顯示勾股定理內(nèi)容，用課件演示勾股定理的條件和結(jié)論，并強(qiáng)調(diào).具體如 下：勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.反過(guò)來(lái)，如果在一個(gè)三角形中，當(dāng)兩邊的平方和等于第三邊的平方時(shí)，我們?cè)枚攘康?方法得出 這個(gè)三角形是直角三角形”的結(jié)論.你能證明此結(jié)論嗎？這對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)也是具有一定難度的.于是師生共同來(lái)完成.已知：如圖：在厶ABC中，AB2+AC2= BC2求證： ABC是

8、直角三角形.分析：要從邊的關(guān)系，推出/ A = 90°是不容易的，如果 能借助于厶ABC與一個(gè)直角三角形全等，而得到/ A與對(duì)應(yīng)角 （構(gòu)造的三角形的直角）相等，可證.證明：作 Rt A B',使/ A'= 90°, A BAB , A C AC（如圖）, 則A B'+ A 0.（勾股定理）. AB2 + AC2= BC2, A 養(yǎng) AB , A CABC' BC2= B' C:.BC = B' C ABC A B' (SSS) Z A = Z A = 90° (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等) 因此， ABC是直角三

9、角形.教師用多媒體顯示定理內(nèi)容：定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2 互逆命題和互逆定理.觀察上面兩個(gè)命題，它們的條件和結(jié)論之間有怎樣的關(guān)系 ？在前面的學(xué)習(xí)中還有類似的命 題嗎？通過(guò)觀察，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：上面兩個(gè)定理的條件和結(jié)論互換了位置，即勾股定理的條件是第二個(gè)定理的結(jié)論，結(jié)論 是第二個(gè)定理的條件.這樣的情況，在前面也曾遇到過(guò)例如兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”，交換條件和結(jié)論，就得到 內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”.又如 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于 30°,那么它 所對(duì)的直角邊就等于斜邊的一半”.交換此定理的條件和結(jié)論就可得“在直角三角形中，如果 一條

10、直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30?！?。第三環(huán)節(jié)：議一議：活動(dòng)內(nèi)容：觀察下面三組命題：學(xué)生以分組討論形式進(jìn)行，最后在教師的引導(dǎo)下得出命 題與逆命題的區(qū)別與聯(lián)系?；顒?dòng)目的：讓學(xué)生暢所欲言，體會(huì)逆命題與命題之間的區(qū)別與聯(lián)系，要能夠清晰地分別 出一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論，能夠?qū)⒁粋€(gè)命題寫出“如果；那么”的形式，以及能夠 寫出一個(gè)命題的逆命題。活動(dòng)效果與注意事項(xiàng)：活動(dòng)中，教師應(yīng)注意給予適度的引導(dǎo)，學(xué)生若出現(xiàn)語(yǔ)言上不嚴(yán)謹(jǐn) 時(shí)，要先讓這個(gè)疑問(wèn)交給學(xué)生來(lái)剖析，然后再總結(jié)?；顒?dòng)時(shí)可以先讓學(xué)生觀察下面三組命題： 如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么它們相等.如果兩個(gè)角相等，那么它們是對(duì)頂角.如果小明患了肺炎

11、，那么他一定發(fā)燒.如果小明發(fā)燒，那么他一定患了肺炎.三角形中相等的邊所對(duì)的角相等三角形中相等的角所對(duì)的邊相等 上面每組中兩個(gè)命題的條件和結(jié)論也有類似的關(guān)系嗎 ?與同伴交流 不難發(fā)現(xiàn)，每組第二個(gè)命題的條件是第一個(gè)命題的結(jié)論，第二個(gè)命題的結(jié)論是第一個(gè)命 題的條件在兩個(gè)命題中，如果一個(gè)命題條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè) 命題稱為互逆命題，其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題，相對(duì)于逆命題來(lái)說(shuō)，另一個(gè)就 為原命題再來(lái)看 “議一議 ”中的三組命題，它們就稱為互逆命題，如果稱每組的第一個(gè)命題為原命 題，另一個(gè)則為逆命題請(qǐng)同學(xué)們判斷 i 每組原命題的真假逆命題呢 ?在第一組中，原命題是真命

12、題，而逆命題是假命題 在第二組中，原命題是真命題，而逆命題是假命題 在第三組中，原命題和逆命題都是真命題 由此我們可以發(fā)現(xiàn)：原命題是真命題，而逆命題不一定是真命題第四環(huán)節(jié)：想一想 要寫出原命題的逆命題，需先弄清楚原命題的條件和結(jié)論，然后把結(jié)論變換成條件，條 件變換成結(jié)論，就得到了逆命題請(qǐng)學(xué)生寫出命題 “如果兩個(gè)有理數(shù)相等，那么它們的平方相等 ”的逆命題嗎 ?它們都是真命 題嗎？從而引導(dǎo)學(xué)生思考：原命題是真命題嗎 ?逆命題一定是真命題嗎 ? 并通過(guò)具體的實(shí)例說(shuō) 明。如果有些命題，原命題是真命題，逆命題也是真命題，那么我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?. 其中逆命題成為原命題 (即原定理 )的逆定理能舉例說(shuō)出

13、我們已學(xué)過(guò)的互逆定理 ?如我們剛證過(guò)的勾股定理及其逆定理， “兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等 ”與“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直 線平行”“全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等 ”和“三邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等 ”、“等邊對(duì)等角 ”和“等角對(duì) 等邊”等第五環(huán)節(jié)：隨堂練習(xí)說(shuō)出下列命題的逆命題，并判斷每對(duì)命題的真假 ;(1) 四邊形是多邊形；(2) 兩直線平行，內(nèi)旁內(nèi)角互補(bǔ)；(3) 如果 ab= 0,那么 a= 0, b = 0 分析 互逆命題和互逆定理的概念，學(xué)生接受起來(lái)應(yīng)不會(huì)有什么困難，尤其是對(duì)以“如果那么”形式給出的命題，寫出其逆命題較為容易，但對(duì)于那些不是以這種形式給出 的命題,敘述其逆命題有一定困難可先分析命題的條件和結(jié)論,然后寫出逆命題解： (1)多邊形是四邊形原命題是真命題，而逆命題是假命題(2) 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行原命題與逆命題同為正(3) 如果a= 0, 6 = 0,那么ab= 0.原命題是假命題，而逆命題是真命題. 第六環(huán)節(jié)：課時(shí)小結(jié)這節(jié)課我們了解了勾股定理及逆定理的證明方法，并結(jié)合數(shù)學(xué)和生活中的例子了解逆命 題的概念，會(huì)識(shí)別兩個(gè)互逆命題，知道，原命題成立，其逆命題不一定成立，掌握了證明方 法，進(jìn)一步發(fā)展了演繹推理能力.第七環(huán)節(jié)：課后作業(yè)習(xí)題 1. 4第 1、3題四、教學(xué)反思學(xué)生對(duì)于命題和逆命題中題設(shè)和結(jié)論分析和把握不是太準(zhǔn)， 部分學(xué)