導數(shù)在不等式證明中的應用

1、學習必備歡迎下載導數(shù)在不等式證明中的應用引言不等式的證明是數(shù)學學習中的難點,而導數(shù)在不等式的證明中起著關鍵的作用。不等式的證明是可以作為一個系列問題來看待，不等式的證明是數(shù)學學習的重要內(nèi)容之一，也是難點之一。其常用的證明方法有：比較法、綜合法、分析法、重要不等法、數(shù)學歸納法等等，然而有一些問題用上面的方法來解決是很困難的，我們在學完導數(shù)及其應用這一內(nèi)容以后，可以利用導數(shù)的定義、函數(shù)的單調(diào)性、最值性（極值性）等相關知識解決一些不等式證明的問題。導數(shù)也是微積分的初步基礎知識，是研究函數(shù)、解決實際問題的有力工，它包括微分中值定理和導數(shù)應用。不等式的證明在數(shù)學課題中也是一個很重要的問題，此類問題能夠培

2、養(yǎng)我們理解問題、分析問題的能力。本文針這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。這篇論文是在指導老師的悉心指導和嚴格要求下完成的。對導數(shù)的定義、微分中值定理、函數(shù)的單調(diào)性、泰勒公式、函數(shù)的極值、函數(shù)的凹凸性在不等式證明中的應用進行了舉例。、利用導數(shù)的定義證明不等式定義 設函數(shù)f = f（X ）在點X0的某領域內(nèi)有定義,若極限lim HxTW）存在f XXo則稱函數(shù)f在點X0處可導，并稱該極限為函數(shù)f在點X0處的導數(shù)，記作f'（X0 ）令 xXo+Ax，心y = f（X0+Ax）-f（X0 ），則上式可改寫為.也yf （xo + 也X）f（X0）'慎£=&

3、;:" （S所以，導數(shù)是函數(shù)增量 訥與自變量增量Ax之比紋的極限。這個增量比稱為函Z數(shù)關于自變量的平均變化率（又稱差商），而導數(shù)f'（X0 ）則為f在X0處關于X的變化率。以下是導數(shù)的定義的兩種等價形式:(2)例1：證明:f'(X0)=limf(x)f(X0)0X -Xof'（X0）=imf（x+£x）f（x0）設f (X ) = r, sin X +2 sin2x +| sin nx，并且 f(x <|sinX，證明f (=r1si nx+gs in 2|)rn s innx，可得出 f(0)=0,因為If (X )=ri cosx + 2r

4、2 cos2x + H( + nr*cosnx,f (0 Hi +22 +HI + nrn所以f'(0g，Ilimf（x）f0：x-0=f (0) <lJmsin x=1= limf (X又由導數(shù)的定義可知即可得 |ri + 22 +IH + nrn| <1.>1 y2 +ln y.21 2例2、已知函數(shù)f（y）=y2+| ny，求證：y：1,2y22 32 11分析 令 h(y ) = -y2 y2 I ny，y(1,+)，因為 h(1) = ->0,3 26要證當X A1時，hi（x ） 0 ,即h（x ）-h（1 pO,只需證明h（ y ）在（1,兄）上是

5、增函數(shù)。21， 1證明 令 h (y ) = y2一 y2 T ny，貝U h(y) = 2y2-y 3 2y因為當八1時，h （汁2亠一恥宀八1）。, 所以h（y ）在（1,址）上是增函數(shù),1 21就有 h(y)>h(1) = ->'0, -y3-y2-l ny >0，6322 1即可得八1,".注:證明方法為先找出xo，使得y = f'(xo)恰為結論中不等式的一邊；再利用導數(shù)的定義并結合已知條件去證明。、利用微分中值定理證明不等式證題思路將要證的不等式改寫成含變量之商f (b)f(a)或f (b)f(a)的g(b)-g(a)不等式，則可嘗試利用

6、中值公式或者g(b)-g(a) g'G)并做適當?shù)姆趴s到待證不等式中1.使用拉格朗日中值定理證明不等式定理若函數(shù)滿足如下條件：(i) f在閉區(qū)間a,b上連續(xù);(ii)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點E，使得f' E f (b)-f (a)b -a例3、證明對一切h > -1, h H 0成立不等式<l n(1+h)ch1 + h盤，OS1h證明 設 f(x)=l n(1+x )，則 In (1 + h)=l n(1 + h)-l n1 =當h >0時，由0<0 <1可推知L-，<<h當一 1<hv0時，由OV

7、0C1可推得L-1 十舫十 h>0,.<h從而得到所要證明的結論.注：利用拉格朗日中值定理的方法來證明不等式的關鍵是將所要證明的結論與已 知條件歸結為一個函數(shù)在某區(qū)間上的函數(shù)增量，然后利用中值定理轉化為其導數(shù) 的單調(diào)性等問題.2.使用柯西中值定理證明不等式定理設函數(shù)f和g滿足(i)在a,b上都連續(xù);(ii)在(a,b)內(nèi)都可導;(iii)f'(x)和g'(x )不同時為零;g(a)Hg(b),則存在匕壬佝b)，使得g"g(bia)例4、證明不等式(yo)分析該不等式可化為U + y jlnQ+yarctan y(y >0)可設f (y) = (1+y

8、m (1+y ),g(y ) = arctany ,注意到f(0)=g(0)=0，故可考慮對f(yf(0)使用柯西中值定理g(y)-g(0)證明如上分析構造輔助函數(shù)f (y )和g(y),則對任意y >0,由柯西中值定理,存在匕-(0, y)，使得arcta ny(1 +y 加(1 + y ) f (y f (0 ) _ f (© )_ 1 + ln(1 + E)g(y)-g(0) g'(©)=1 +ln(1 +©)(1 +©2) >1.三、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式證明思路首先根據(jù)題設條件及所證不等式，構造適當?shù)妮o助函數(shù)f(x)，并

9、確定區(qū)間a,b;然后利用導數(shù)確定f(x 在a,b上的單調(diào)性；最后根據(jù)f(x)的單調(diào)性導出所證的不等式.1.直接構造函數(shù)，再運用函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式例5證tan y +2sin y >3y，其中瀘分析 欲證f (y) > f (a)(a cy <b)，只要證f (y)在a,b上單調(diào)遞增，即證f (y) >0 即可.若f'(y)的符號不好直接判定，可借助于f"(y)，以至于f3(y)進一步判定.證明 令 f (y )=tany+2sin y -3y ,Lt r'2''3貝Uf (y ) = sec y+2cosy-3， f (y

10、)=2sin y(secy-1)于是y引0,2)時，f"(y)>0，有f'(y)單調(diào)增加所以 f'(y ):> f'(0 )=0,有 f (y )單調(diào)增加，可推得 f (y f (0)=0，即 tan y +2sin y >3y .2.先將不等式變形，然后再構造函數(shù)并來證明不等式例6、已知b,cR,b<e，求證：bc>cb為(e自然對數(shù)的底)證明設 f(X ) = xlnb -bln x(x >bc)因為(x) = l nb-b，就有 b>e， x>b xln b a1, b <1,x所以f (x)：>

11、;0，貝U f(X )在(e,xc)上遞增;又因 cAb，所以 f(c)>f(b)，就有 cl nb-bl nobl nc-bl nc = 0從而有 cln b >blnc，即 bc ：>cb.注：對于一些不易入手的不等式證明，可以利用導數(shù)思想，先通過特征不等式構造一個函數(shù)，再判定其函數(shù)單調(diào)性來證明不等式成立，這就是利用函數(shù)的單調(diào)性 證明不等式的思想。構造輔助函數(shù)有以下幾種方法：1. 用不等式的兩邊“求差”構造輔助函數(shù)；2. 用不等式兩邊適當“求商”構造輔助函數(shù)；3. 根據(jù)不等式兩邊結構 構造"形似”輔助函數(shù);4. 如果不等式中涉及到幕指函數(shù)形式，則可通過取對數(shù)將其

12、化為易證明的形式再 根據(jù)具體情況由以上所列方法構造輔助函數(shù)四、利用泰勒公式證明不等式證題思路若f(x在(a,b)內(nèi)具有(n+1)階導數(shù)，Xo迂(a,b)，則f (X 尸 f (Xo )+ f (Xo XX Xo ) +L2!®(x-xo)+川+牛x M n!小x" (n +1)!其中E介于Xo與X之間.例7、設f(y )在0,1上二階可導,f(o)=(1)=o ,且max f ( y ) = 1，求證：存在匕迂(o,1)，使得f"(y)蘭一8.證明 因f (y )在0,1上二階可導，故在0,1上連續(xù)，據(jù)最值定理，必3cJ0,1)使得f(c為最大值，即f(c)=1,

13、且有f'(c) = O.而f (y )在y=1的一階泰勒展式為f (y)=f (c)+f'(c)(yc)+W(xc)2 ,其中 ©介于 c 與 y 間2分別在上式中令y=o與y"得f(0)=1+1f"G1 )c2=0X(0,c)，1 '' . 2 f(1)=1+-f (J)(1C) =0,J 亡(c,1).12故當 Z(0,時，f"(q )=-p<-8，2c當 cNr1)時，f"(J )=-2O-c)2所以存在qq或上2）忘（0,1）,使得f"（y）蘭-8.注：用泰勒展式證明不等式的方法是將函數(shù)f

14、（x）在所給區(qū)間端點或一些特點 （如區(qū)間的中點，零點）進行展開，通過分析余項在匕點的性質，而得出不等式。值得說明的是泰勒公式有時要結合其它知識一起使用，如當使用的不等式中含有積分號時，一般要利用定積分的性質結合使用泰勒公式進行證明；當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合式時，需要作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式 代替。使用泰勒公式巧妙靈活的證明不等式往往使證明方便簡捷。五、利用函數(shù)的最值（極值）證明不等式由連續(xù)函數(shù)在a,b上的性質,若函數(shù)f在閉區(qū)間a,b上連續(xù),則f在a,b 上一定有最大、最小值，這就為我們求連續(xù)函數(shù)的最大，最小值提供了理論保證。若函數(shù)f的最大（?。┲迭cxo在區(qū)間（a,b）內(nèi)

15、，則xo必定是f的極大（?。c。又若f在Xo可導,則Xo還是一個穩(wěn)定點。所以我們只要比較f在所有穩(wěn)定點、不可導點和區(qū)間端點上的函數(shù)值，就能從中找到f在a,b上的最大值與最小值。證明方法：先構造輔助函數(shù)，再求出f（x ）在所設區(qū)間上的極值與最大、最小值,進而證明所求不等式。例&已知：0<x<1，證明當r ：>1時,1有亍 <xr+(1-x)r 蘭1證明令 f (x)=xr +(1 -X $，0<x<1，則 f (0)= f (1)=11令 f(x)=0,求得 x = 1因為1、r則f（1）=F+（1切汁2r"f'(x) = rxrdr

16、(1X 廠，令f(x)=o,求得駐點為4，1r又因為當r >1時，<1,2r所以f(X 在0,1上的最小值為 占，最大值為1,從而占 <xr + (1-X)<1，0<x<1，r>1.例9、證明：當時,e、占證明作輔助函數(shù)f (y，則f' (y )= -yey, y = 0是f (y )在(二內(nèi)的唯一駐點，且當y <0時，f'(y) a 0 ； 當 0 C y <1 時，f' (y )<0 .故y =0是f (y的極大值點，f(0)=i是f(y )的極大值.因為當y由小變大時，f(y )由單調(diào)增變?yōu)閱握{(diào)減，故f

17、(0 )=1同時也是f (y )的最大值, 所以，當y <1時，f (y )蘭1 ,注：在對不等式的證明過程中，可以以不等式的特點為根據(jù)，以此來構造函數(shù), 從而運用導數(shù)來得出函數(shù)的最值，而此項作用也是導數(shù)的另一個功能，即可以被 用作求函數(shù)的最值。例如，當此函數(shù)為最大或最小值的時候，不等式的成立都有 效的，因此可以推出不等式是永遠成立的， 從而可以將證明不等式的問題轉化到 求函數(shù)最值的問題上來。六、利用函數(shù)的凹凸性質證明不等式證明思路 若f (x)>0(a cx<b)，貝U函數(shù)y=f(x)的圖形為凹的，即對任意x1，x®a，b)，有f (寧，當且僅當XbX2時成立.例

18、10、設r0 , h0，證明rlnr+hlnh(r+h)ln，且等號僅在r=h時 2成立.分析將欲證的不等式兩邊同除以2,變形為r l nr +hlnh (r +h) r +h ln2 2由上式看出，左邊是函數(shù)f(k) = kl nk在r , h兩點處的值的平均值，而右邊是它在中點 處的函數(shù)值.這時只需證f"(k)：0即可.證明構造輔助函數(shù)f (k)= klnk(k >0),那么就有:1f (k )=1 +ln k , f (k) = -：>0 成立.k故由不等式：f (r )+ f (hUf(r+h)可得也即r ln r +hln h(hk r +h> ln2 2r + h rlnr +hlnh >(r + h)ln2 且等號僅在r = h時成立.例11、已知：YaO,幾0, 汁蘭2，求證：Y +幾2.證明設 f(y)=y3,yU0,畑)，IQHf (y ) = 3y , f (y )=6y >0就有f (y戶y3, y亡(0,兄)是凸函數(shù)W1討 2=2，屮= 2= h11Y + /則 f “1% +