平面向量專題17

1、最新高考數學專題沖刺學案(附經典解析)專題8 平面向量平面向量的坐標運算【背一背基礎知識】1. 平面向量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量i, j作為基底.對于平面內的一個向量a,有且只有一對實數X, y使a= Xi + yj，把有序數對(X, y)叫做向量a的坐標，記作a= (X, y)，其中X叫做a在X軸上的坐標,做a在y軸上的坐標.設Oa = Xi + yj,貝y向量oA的坐標(x,y)就是終點A的坐標，即若OA = (X, y)，則A點坐標為(x,y),反之亦成立(O是坐標原點).2.向量的運算 (1)加法、減法、數乘運算 (2)向量坐標的求法已知A

2、(Xi, yi), B(X2, y2),則AB =區(qū) 為必yi),即一個向量 的坐標等于該向量終點的坐標減去起點的坐標.3.平面向量共線的坐標表示設 a= (xi , yi), b = (x2, y2),其中b0貝y a與b共線 a= b Xiy2 X2yi 0 .最新高考數學專題沖刺學案（附經典解析）4.平面向量的有關運算（i）兩個非零向量平行（共線）的充要條件：a / b? a = b兩個非零向量垂直的充要條件：a丄b? a b= 0? |a+ b|= |a b|.若 a= (x, y),則.|a|=7aajx2 y2 若 A（Xi，yi），B（x2，y2），則 ab|=72 2x2 Xy

3、2 yi若a= （Xi, yi）, b = （X2,財，9為a與b的夾角，則abcosXi X2yi y2 _2目2【講一講基本技能】1.必備技能:（i）向量的坐標與點的坐標有所不同，相等向量的坐標是相 同的，但起點、終點的坐標卻可以不同，以原點 0為起點的向量OA的坐標與點 A的坐標相同.(2)若a= (xi, yi), b = (x2, y2),貝U a/ b的充要條件不能表示成 L yX2 y2,因為X2, y2有可能等于0,所以應表示為Xiy2 X2yi=0.同時，a / b的充要條件也不能錯記為：xiX2 yiy2= 0,Xiyi X2y2= 0 等.2.典型例題例i已知點A(0,i

4、), B(3,2),向量AC ( 4, 3)，則向量bC ()(A)( 7, 4)(B) (7,4)(C) ( i,4)(i,4)最新高考數學專題沖刺學案（附經典解析）【答案】A【解析】 AB OB OU=（3,1）, BBC AC AB=（-7,-4），故選A.【考點定位】向量運算【名師點睛】對向量的坐標運算問題，先將未知向量用已知 向量表示出來，再代入已知向量的坐標，即可求出未知向量（1,1），kb .若b C，則實數k的值等的坐標，是基礎題. 例 2 .設 a （1,2）, b于（A. 32【答案】【解析】由已知得； =咫1丄）二仗+1北+習H対S丄；，則2二=0,因此A;+l+k +

5、2=0,解得二2故選乩【考點定位】平面向量數量積.【名師點睛】本題考查平面向量的線性運算和數量積運算以 及平面向量基本定理，由已知a,b的坐標計算C的坐標，再利 用已知條件列方程求參數的值；本題還可以先利用向量運算，即b C 0 ,0,再引入坐標運算，屬于中檔題.【練一練趁熱打鐵】最新高考數學專題沖刺學案（附經典解析）1.設ei, e2是兩個不共線的向量，且a= ei+ g與b=-3e2-ei共線，則實數A. - 1B. 3C.1D. 3【答案】D【解析】丿場與 b ei3希在實數t.使?jié)〖达wS飛=仙+十丿ft,一1, f即人=-,故選lbd32.已知向量 a=(2,1) , b = (1,

6、2),若 ma nb (9, 8) ( m, n R), 則m n的值為【答案】3【解析】由題意得：2m n 9,m 2n 8 m2,n5,m n 3.【考點定位】向量相等【名師點晴】明確兩向量相等的充要條件，它們的對應坐標相等.其實質為平面向量基本定理應用向量共線的充要條件的坐標表示：若a（X, y1）,b （X2, y2）,則 a” b? XM% 0.向量垂直的充要條件的坐標表示：若(Xi, yj, (X2, y2)，貝y a b? XiX2+yiy20.最新高考數學專題沖刺學案(附經典解析)平面向量的數量積【背一背基礎知識】1.兩個向量的夾角 定義：已知兩個非零向量 a和b,作oA =

7、a, OB = b,則/ AOB =6叫做向量a與b的夾角.范圍：向量夾角 e的范圍是0°<e<i80 °, a與b同向時， 夾角e= 0° ； a與b反向時，夾角 e= 180°.向量垂直：如果向量 a與b的夾角是90 ,則a與b垂直，記作a b.2. 平面向量數量積的意義(1) a ,b是兩個非零向量，它們的夾角為e,則數| a| |b| cose 叫做a與b的數量積，記作a b,即 a b = |a| fb| -cos e規(guī)定0 a= 0.當a丄b時，e= 90°,這時a b= 0.a b的幾何意義：a -b等于a的長度| a

8、|與b在a的方向上的投影| b|cos e的乘積.3. 向量數量積的性質如果e是單位向量，則a e= e a = a|cos a,e. (2)a丄b? a b=0 且 a b = 0? a 丄 b.(3)a a= | a| 2 , | a| = VOa.a b(4) cosa, b= I 1 . '丿 |a| |b| |a b| Jail b|.4. 數量積的運算律(i)交換律 a b = b a.(2)分配律(a + b) c= a c+ b c.(3)對入 R, ?(a b)= (?a) b= a (?b).5.數量積的坐標運算設 a= (ai, a2), b= (bi, b2)，

9、則(1)a b = aibi a2b2. (2)a 丄 b? aibi azb? 0. (3)|a|=云.aiba2b22a2(4)c°sa, b=耐 E【講一講基本技能】i.必備技能：(i)數量積的運算要注意 a= 0時，a b= 0,但a b= 0時不能得得到a= 0或b= 0，因為a丄b時，也有a b= 0.(2) 若a、b、c是實數，則 ab= ac? b= c(a0；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量a、b、c滿足a b= a c(a0,則不一定有b= c,即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量.(3) 利用數量積求解長度問題是數量積的重要應用，要掌握此

10、類問題的處理方法: |a|2= a2= a a; |a±)|2= a2i2a b+ b2; 若 a= (x, y),則 |a|=y2.(4)已知a與b為不共線向量，且a與b的夾角為e,則 a b>0? 0°v e<90° ; a b = 0? e= 90° a bv0? 90° v ev180° .特別的：在利用兩向量的夾角公式判斷夾角的取值范圍時， 要注意兩向量是否共線.(5) 證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共a II b線)的充要條件:a= ?b xiy2 X2yi = 0(bz 0)證明垂直問題，常用

11、向量垂直的充要條件:a b= 0xiX2 + yiy2 = 0.與三角函數相結合考查向量的數量積的坐標運算及其應用是高考熱點題型.解答此類問題，除了要熟練掌握向量 數量積的坐標運算公式、向量模、夾角的坐標運算公式外， 還應掌握三角恒等變換的相關知識.2.典型例題例1在平面直角坐標系x y計ujuLuurm形，1, 2 , D 2,1，則中，已知四邊形CD是平行四邊uur uuu/、D C()A. 2D. 5【答案】【解析】uuu UJUC因為四邊形 CD是平行四邊形，所以UJLTrr IM UUT ULU亠仲D 1, 22,13, 1，所以 D C 2 3 115，故選D.【考點定位】1、平面

12、向量的加法運算；2、平面向量數量積的坐標運算.【名師點晴】本題主要考查的是平面向量的加法運算和數量積的坐標運算，屬于較難題.解題時要注意運行平行四邊形法則的特點，否則很容易出現錯誤.解本題需要掌握的知識點是平面向量加法的坐標運算和數量積的坐標運算，即若aXi,yi, bX2,y2，貝U a b xx?,%y?, a bxx?ym.例2已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|，且a (2a+b)則a與b的夾角為(A) 3(D) T【答案】C(B)(C)【解析】 r 2 I *由已知可得十仍=0=>23十口&二0,設曲&的夾角為叭貝I侑-31 .2& + ff - b

13、3S3 = 0=TO3e =*2jr又酚肌la利,m3=.故迭u 423最新高考數學專題沖刺學案（附經典解析）【考點定位】向量的數量積運算及向量的夾角【名師點睛】本題考查向量的數量積運算與向量夾角之間的關系，采用兩向量垂直時其數量積為零來進行轉化.本題屬于基礎題，注意運算的準確性例3 . ABC中90o,CACB點M在邊AB上，且滿足ujluiuuur 口 uujir uiurBM 3MA，貝U CM CB12【答案】B【解析】uuuu uuu uuuCM CB (CB3 uuu uuu嚴CBuun2 CB3 uuu uuu -BA CB4f)1-【練一練趁熱打鐵】1.設a, b是非零向量，是

14、“a/b ”的（A.充分而不必要條件要而不充分條件C .充分必要條件不充分也不必要條件【答案】A【解析】d d=|fl| |h|cos <ai> S已知得cos. >=1 即 >=0 ；刁"d.而當 寸,最新高考數學專題沖刺學案（附經典解析）【考點定位】充分必要條件、向量共線【名師點晴】本題主要考查的是充分必要條件和向量共線， 屬于容易題.解題時一定要注意 P q時，P是q的充分條件， q是p的必要條件，否則很容易出現錯誤. 充分、必要條件的 判斷即判斷命題的真假，在解題中可以根據原命題與其逆否 命題進行等價轉化.uur3, AC2,，若，Luu uur uu

15、j 口 uuuAP AB AC，且 AP【答案】-712uur uuur uuu【解析】BC AC AB,BC，則實數的值為uuuABUULTACuLurACuuuAB0,匕廠 Muuu Luu Luu 2所以 1 AB AC ACuuu 2 AB0,79 0,選擇題(12*5=60分）1.已知平面向量(1, 3)，b (4, 2)，a b與a垂直，則是2.已知向量AB與Ac的夾角為120，且Ab.-2 D . 2【答案】A【解析】試題分析：b (4, 32),由a b與a垂直得最新高考數學專題沖刺學案(附經典解析)4 3( 32.向量a1.2) 0 ,b的夾角為60 , 且b| 2,則pa

16、b等于A. 1BrC. 2D. 4【答案】【解析】r2ail2 TT 12V4a 4ab b74 4 42，選 C .3.已知平面向量a 2 ,1 , bX, 2 ，/ b，貝y a+ b等于A.2,B.2,1C.3, 1D.3,1【答案】21 , X4.已知 a (1, 2),b (2,m),若；【解析】a /(24,12) (2, 1).A.【答案】12D.B.1 C.【解析】b得至y 1 2 2mb，則b430,得muuuLULTuuu uuu5.若平面四邊形滿足則諛四邊形一定是A()A .直角梯形B .矩形D.V5D.正方形【答案】C1,因此；buurAC 0,).菱形最新高考數學專題

17、沖刺學案(附經典解析)【解析】試題分析：由麗十®二0得平面四邊形屈CD是平行四邊形，由(石-而龍二0得而疋二0, 故平行四邊形的對角線垂直則該四邊形一定是菱形6.若向量a=( 1,1), b= ( 1,- 1),rr雖c= (- 1, 2),則 c等【答案】個驗證-a -b (-,-)(-,-)2 2 2 2 2 2(1, 2), A錯，當然此時就可看出正確了 .7.已知菱形ABCD的邊長為aABC 60orM LUUr,則BDuurCD(B)(A)3a22(D)3a22【答案】D【解析】因為ULur uuur uLur uuu BD CD BD BAuurBAuuuBCuuu UL

18、U BA BA2 UUU uur 2BC BA a2a2cos60故選D.【考點定位】平面向量的線性運算與數量積【名師點睛】本題考查了平面向量的基礎知識，重點考查學 生對平面向量的線性運算和數量積的理解與掌握，屬基礎 題，要注意結合圖形的性質， 靈活運用向量的運算解決問題最新高考數學專題沖刺學案(附經典解析)LT8.已知向量mr1,1), n2,2)，若(mrn)lt r r.(m n),則A. -4 B.-3C.-2D.-1【答案】BLT r LT(m n) (mrn)角21；|21)21 (22)4 03.故選B.9.已知點A( 1,1)、B(1,2)、 C(2,1)、D(3, 4)，則向

19、量Ab在CD方向上的投影為(B 3/r5.2D 班D.2【答案】 At解析】iNgg両蘭巴=°小¥刃=壬生選£ 匸 I I r Mliqi M 210.已知向量 a =( cos e, sin 9,向量 b =( 73 ,- 2a - b丨的最大值與最小值的和是(I畫邁廣 M rD. 16【答案】【解析】因為2a - b故其最V 2cos 43 2sin 1 2 J4sin 43 cos 8 J8sin V3大值為吊4 ,最小值為J 8 8 0，它們的和為4，選C.最新高考數學專題沖刺學案（附經典解析）11.已知平面向量a , b滿足 |a | 1 , |b| 2

20、，且(a b) a，貝U a與 b的夾角是（(B)(A) 5_(D) 2【答案】D【解析】I- -R-I-l-T -I- f試題分析:丄fl二+«b)辺=0二心¥ab=(i, |ffl|=l, |A|=2,設夾角為趴則-+2 -+ -+a +&=1 + 1 x2cos 日=12.已知 lai 1,|b| 2/3, ar r (b a)24，則向量a與b的夾角為【答案】D【解析】rcos a,b £r ra (brb|a|禹ra)r r r2 abar ra, b,選D.填空題(4*5=20 分)13.已知向量Oauuu AB ,uuuM UUU uur|OA | 3，貝LI OA OB【答案】9.【解析】因為向量OAuuu rrt M ULT UUTAB ,所以 OA AB口It ult uiu uur0，即 OA (OB OA)uuuULr29，故應填9.P f ULT UUU ULT2口仃 uur以 OA OB OA 0，即 OA OB OA【考點定位】本題考查向量的數量積的基本運算，屬基礎題.【名師點