拋物線(基礎(chǔ))-學(xué)案

1、全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）授課主題第06講-拋物線授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)掌握拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程掌握拋物線的圖形和幾何性質(zhì) 了解拋物線的綜合應(yīng)用，理解數(shù)形結(jié)合的思想授課日期及時(shí)段T (Textbook-Based )司步課堂3知識(shí)梳理一、拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F和一條定直線1（定點(diǎn)F不在定直線I上）的距離的比等于1的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線 I叫做拋物線的準(zhǔn)線。（1）拋物線的定義的實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為一動(dòng)三定” 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M; 個(gè)定點(diǎn)F （拋物線的焦點(diǎn)）；一條定直線1（拋物線的準(zhǔn)線）；一個(gè)定值1（點(diǎn)M與定點(diǎn)F的距離和它到定直線

2、I的距離之比等于1）（2）常常利用拋物線的定義將拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的焦半徑問題與焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離問題互相轉(zhuǎn)化二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)焦點(diǎn)在x正半軸上焦點(diǎn)在x負(fù)半軸上焦點(diǎn)在y正半軸上焦點(diǎn)在y正半軸上標(biāo)準(zhǔn)方程2y =2px ( p aO )2y = 一2 px(P >0)2x =2py ( p> 0)=-2 py P0)圖形AX1Jy頂點(diǎn)(0,0)性對(duì)稱軸x軸y軸質(zhì)焦占八'、八、(t,0)（-子，0(0,扌)(0,-扌)全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）準(zhǔn)線x=-Px=fyjy=£2222范圍x >0, y RxWQ y Ry >Q

3、x Ry WQ x R離心率e=11、P的幾何意義：P是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，故 P恒為正.2、焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)一寫成y2 =ax（aH0）；焦點(diǎn)在y軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以統(tǒng)一寫成x2=ay（aH0）.3、焦點(diǎn)的非零坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的11丄，準(zhǔn)線方程中的常數(shù)為一次項(xiàng)系數(shù)的-1444、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）定義法：若某曲線（或軌跡）上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，符合拋物線的定義，該曲線是以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為準(zhǔn)線的拋物線，從而求出定點(diǎn)到定直線的距離即為P，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,（2）待定系數(shù)法，用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程分三步：判定是否在原點(diǎn)；確定焦點(diǎn)在哪個(gè)

4、半軸上，確定標(biāo)準(zhǔn)方程類型；根據(jù)條件列出關(guān)于P的方程，解出P值，即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程5、拋物線y2=2px（ P A0）上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（ 亜，y0），在計(jì)算時(shí)，可以降低計(jì)算量2p典例分析考點(diǎn)一：拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:1準(zhǔn)線方程是x = ；4焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是 2；(1)(2)過點(diǎn)（一3,4 ）;(4)過焦點(diǎn)且與 x軸垂直的弦長是16 ；焦點(diǎn)在3x-4y -12 =0上.全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編(附詳解)全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）例2、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，拋物線上的點(diǎn) P（m, 2）到焦點(diǎn)的距離為 4，則

5、m的值為7C. 4 或- 4D . 12 或一2例3、過拋物線y2 =16x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(X1,y1 ),B(X2,y2)兩點(diǎn)，如果為 + x6，那么 | AB =)A. 8.10.14.16例4、在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F且與該拋物線交于A、B兩點(diǎn).其中點(diǎn)軸上方。若直線丨的傾斜角為600。則 OAB的面積為考點(diǎn)二：拋物線的幾何性質(zhì)例1、在y = 2x2上有一點(diǎn)P,它到A（1,3）的距離與它到焦點(diǎn)的距離之和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（A . (-2,1)(1,2)C . (2,1)D . ( 1,2)例2、若點(diǎn)P到直線x = 1的距離比它到點(diǎn)（2,0）的距離小

6、1,則點(diǎn)P的軌跡為（）B 橢圓C.雙曲線D.拋物線例3、若拋物線=4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為2 , O為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝y也OFP的面積為（例4、設(shè)拋物線=4x的焦點(diǎn)為F,過F作傾角為60°的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)S$OF10考點(diǎn)三：拋物線與直線的位置關(guān)系例1、已知直線l過拋物線E : y2 =4x的焦點(diǎn)F,且依次交拋物線E及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A, B, C （點(diǎn)B在點(diǎn)A, C.12之間)，若 |BC| = 2|BF I，則 |AF 1=(A.-=2y均相切，設(shè)A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別例2、拋物線y2 =2x的內(nèi)接A ABC的三條邊所在直線與拋物線是a,b，

7、貝y C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()A. a +bB . _a bC . 2a+2b.-2a-2b例3、過拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)F作直線l與其交于A, B兩點(diǎn),|AF| = 4，則 |BF =A. 2例4、設(shè)拋物線C : y2 =2x的焦點(diǎn)為F，直線l過F與C交于A, B兩點(diǎn)，若| AF |= 3| BF |，貝U l的方程考點(diǎn)四：拋物線的綜合問題例1、已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線C,焦點(diǎn)在x軸上，直線x y= 0與拋物線C交于A、B兩點(diǎn).若P(2,2)為AB的中點(diǎn)，則拋物線 C的方程為已知 FA + FB + FC = 0例2、設(shè)F為拋物線E: X2 =2py(P >0)的焦點(diǎn)，A B、C為該拋

8、物線上三點(diǎn), 且| FA |+| FB | + |FC 1=6.(1)求拋物線方程;(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y = -1相交于點(diǎn)Q。證明以PQ為直徑的圓恒過 y軸上某定點(diǎn)。例3、已知拋物線2y =4x，過x軸上一點(diǎn)K的直線與拋物線交于點(diǎn) P,Q,兩點(diǎn)。證明：存在唯一一點(diǎn) K ,1 1使得2 I 2為常數(shù)，并確定K點(diǎn)的坐標(biāo)。pk| Ikqt一 11例4、在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn) M (0,_)的距離與到直線 y = -一的距離相等.22(I)求曲線C的方程;(n)設(shè)A1(xi，0) , A2(x2,0)是x軸上的兩點(diǎn) 為+ X2工0,為2 H0,

9、過點(diǎn)Ai，A2分別作x軸的垂線,與曲線C分別交于點(diǎn)a/'A?:直線AA2'與X軸交于點(diǎn)A3(X3,O)，這樣就稱X1,x2確定了 X3 .同樣，可由X2,X3確定了 X4 .現(xiàn)已知=6,X2 =2，求X4的值.P(P ractice-Oriented)實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1.拋物線my2+x =0上的點(diǎn)到定點(diǎn)(4,0)和到定直線x = -4的距離相等，則 m的值為()全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）1A.161B .16C. 16D .-1622、過點(diǎn)（0, 2）與拋物線y =8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（D.無數(shù)條3、已知拋物線y2= 4x上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) B、C

10、和點(diǎn)A（1,2），且/ BAC = 90°則動(dòng)直線 BC必過定點(diǎn)（）A. (2,5)B ( - 2,5)C. (5, - 2)D. (5,2)4、已知拋物線則有（）A .C .y2 = 2px(p>0)的焦點(diǎn)為 F,點(diǎn) P1(X1,yi)、P2(X2, y2)、P3(X3, y3)在拋物線上，且 2X2= Xi+ X3,|FP1|+ |FP2|=|FP3| 2|F P2|=|F P1|+ |FP3|FP 1|2+ |FP2|2 = |FP3|22|FP2| = |FP1| |FP3|5、已知P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q （2, 1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得

11、最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（A .（，-1）4B . (1,1)4C. (1,2)D. (1,2)6、已知點(diǎn)M是拋物線y2= 4x上的一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A在圓C: (X 4)2 + (y 1)2= 1 上，貝U |MA|8+ |MF|的最小值為7、以拋物線y2 =4x的焦點(diǎn)為圓心,且過坐標(biāo)原點(diǎn)的圓的方程為（A. X2 +y2 + 2x =02 2B. X +y + x = 02丄2CC. 上 +y -X =02 丄2CCD. X +y -2x = 0課后反擊21、過拋物線y =4x的焦點(diǎn)F作垂直于X軸的直線，交拋物線于B兩點(diǎn)，則以F為圓心、AB為直徑的圓方程是2、等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn)，焦

12、點(diǎn)在 X軸上，C與拋物線y2=16x的準(zhǔn)線交于A , B兩點(diǎn)，屈1二4燉,則C的實(shí)軸長為（A. VsC. 4全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編(附詳解)3、已知點(diǎn)A(0,2 )，拋物線y1. 【優(yōu)質(zhì)試題年四川理數(shù)】設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 y=2 px(pA0)上任意一點(diǎn)，M是線段PF上的點(diǎn)，且 PM 1=2 MF I，則直線OM的斜率的最大值為() =2px( p aO)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為丨，線段FA交拋物線于點(diǎn)B，過B作準(zhǔn)線丨的垂線，垂足為 M，若AM丄MF，貝U P =4、某拋物線形拱橋的跨度為 20米，拱高是4米，在建橋時(shí)，每隔 4米需用一根柱支撐，其中最高支柱的高度

13、是25、設(shè)斜率為2的直線丨過拋物線y = ax (a H 0)的焦點(diǎn)F且和y軸交于點(diǎn)A,若 OAF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4,則拋物線方程為().2A. y = ±4x2B. y =4x2C. y =±8x2D. y=8x126、軌跡方程為100噲"，變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對(duì)稱軸、學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn).設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的X器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令?M(0, 64)為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為D(8, 0).觀測點(diǎn)A(4, 0)、B(6, 0)同時(shí)跟蹤航

14、天器.(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；(2)試問：當(dāng)航天器在 x軸上方時(shí)，觀測點(diǎn) A、B測得離航天2. 【優(yōu)質(zhì)試題浙江理數(shù)】若拋物線 y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，貝y M到y(tǒng)軸的距離是 O 4-23. 【優(yōu)質(zhì)試題天津理數(shù)】設(shè)拋物線x p , (t為參數(shù)，p> 0 )的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I.過拋物線上一點(diǎn)y =2 pt作I的垂線，垂足為B.設(shè)C ( = p,0) , AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|,且SCE的面積為 2，則p的值為24.【優(yōu)質(zhì)試題浙江,理5】如圖，設(shè)拋物線y =4x的焦點(diǎn)為F，不經(jīng)過焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)A ,B在拋物線上，點(diǎn)C在y軸

15、上，則ABCF與衛(wèi)ACF的面積之比是()BF-1B . 1BF1 |AFAF-1BF+1D lBFAF+ 1 |AFA .C.2-12-12+ 12+ 15.【優(yōu)質(zhì)試題上海,2理5】拋物線y =2px ( p >0)上的動(dòng)點(diǎn)焦點(diǎn)的距離的最小值為6.【優(yōu)質(zhì)試題新課標(biāo)1，理10】.已知拋物線C : y2 =8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為丨，P是丨上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)焦點(diǎn),若 FP =4FQ，則 |QF| =A. 77.【優(yōu)質(zhì)試題全國大綱，理21】已知拋物線 C:2y = 2 px( p A 0)的焦點(diǎn)為F,直線y = 4與y軸的交點(diǎn)5為P,與C的交點(diǎn)為Q,且|QF |= | PQ |.4(

16、II)過F的直線I與C相交于A, B兩點(diǎn)，若(I)求C的方程;AB的垂直平分線與C相較于M , N兩點(diǎn)，且A, M ,B, N四點(diǎn)在同一圓上，求l的方程.全國名校高中數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案，精品專題匯編（附詳解）Ssummary-Embedded)歸納總結(jié)14名師點(diǎn)撥一：基礎(chǔ)知識(shí)概要設(shè)拋物線的方程為 y2 =2px （ p0）,直線Ax +By + C = 0 ,將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去2y得到關(guān)于X的方程mx +nx + p=0.（1 ）若m M0,當(dāng)> 0時(shí)，直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)30時(shí)，直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線相切 當(dāng)< 0時(shí)，直線與拋物線無公共點(diǎn)（2）當(dāng)m=0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行二:規(guī)律方法技巧1、已知拋物線y2= 2px（p>0）,過其焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（如右圖所示），設(shè)A（X1, y） By, y2）.則有以下結(jié)論:(1)ABEx1 + x2 +p，或ABA煮“為AB所在直線的傾斜角）；(2)2P-X1X2=；4(4)2y1y2 = P .以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切2p.2、過拋物線焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為 3、直線方程與橢圓方程聯(lián)立，