常微分方程第二版答案第6章6-

1、習(xí)題61求出齊次線性微分方程組字W的通解，其中分別為:10 1丿；(3) A(t)= 0 1(1)方程組的分量形式為:</v,</>s從后一式容易求出兒的通解為y, = ke，其中K為任意常數(shù)，可分別取比=0和兒=幾 代入前一式得到兩個(gè)相應(yīng)的特解，兒=0'和 兒=滄'這樣就求得方程組的一個(gè)解矩陣為e(0 =乂 detea)=KH0。因此,0(0是方程組的一個(gè)基解矩陣,根據(jù)定理6.1，方程的通解為/ >'1=C|+ £*2te(2)方程的分量形式為dt 如由、可和令+ y嚴(yán)。山觀察法知，”=cosf, y,=sinz為此方程的兩個(gè)特解，將

2、其代入式可得兩個(gè)相應(yīng)的特解，將其代入式可得兩個(gè)相應(yīng)的特解：兒=-sinr, y,=cost。這樣就求得方程組的一個(gè)解矩陣為0(0 ='COST $int、一$int cosz)中方程組的一個(gè)基解矩陣。故方程組的通解為'COSZ ''5 ini '=q+ 2b丿l-smt 丿COSf ,乂 det = e(/) = 1 M 0 ,因此y；=兒(3)程組的分量形式為：冗=兒丿；=為解+®得<()1+兒)=”+兒 at解-得,(必-兒)=必-兒 at解之得>'| +兒=如”一兒=kg'山.可得>*1+£20

3、')=5疋 +50-'山此可求得方程組的一個(gè)解矩陣(/) =顯然,因此(f)是方程組的一個(gè)基解矩陣，故方程組的通解/ 、 兒1"0)*'>'2=C)0+ G+60 /、0丿一 Q /det e(f) = -zK hO,TZ 、 X/ 八 對(duì)3.試證向量函數(shù)組000e90 /不全為零的三個(gè)常數(shù)使得在任意區(qū)間a<x<hh線性相關(guān)，則存在T0+ c.0+ C3 0090 /=0,即G+OX + G，=0而式之左端是一個(gè)不高于二 a<x<h次的多項(xiàng)武，它最多只可能有二個(gè)零點(diǎn)，同此這與式在6/<%</7 h恒等于零矛盾,

4、從而得證。4.試證基解矩陣完全決定齊次線性方程組即如果方程組= A（x）y與 dx勞Bgy有一個(gè)相同的基解矩陣，則A（x） = B（x）證：設(shè)這兩個(gè)方程組的相同基解矩陣為e（Q那么，必有deteko,故ea）可 逆，設(shè)逆矩陣為7（勸，同而A（x） = e"（X）= Bx） 證畢 eZv6設(shè)當(dāng)時(shí)，非齊次線性方程組 = A（xy + f（x） （1）中的/（x）不恒 （lx為零。證明（1）有且至多有n+1個(gè)線性無關(guān)解。證 設(shè)X（x），兒（X）是方程組（1）的相應(yīng)齊次方程組的n個(gè)線性無關(guān)的解，卩（X） 是（1）任意:一個(gè)特解，則”（丫） + 0（%），兒（兀）+0（/）9,兒（%） +卩（

5、尤）是的n+1個(gè)線性無關(guān)解這是因?yàn)?，若存在常?shù)gk空使得匕（X（X）+ 0 （大）+ + 心（兒（X）+（p（x） + kg0（X）三 0則一定有&=k嚴(yán)k”=k葉嚴(yán)0否則有一 £ 卩心莎Er®十科占石兒這與0（兀）為仃）的解矛盾，因此，k +取+匕+忍+1三0假設(shè)可知=k,=- = k =0故心屛=0,所以（1）n+1個(gè)線性無關(guān)的解。乂設(shè)0（兀）是（1）在（a,b）上的任一解，開兒兒4是（1）的n+1個(gè)線性無關(guān)的解，那么，0（大）-”（人）9 0（羽-兒（小，0（x）-兒+（x）是的對(duì)應(yīng)齊次方程組 字= AWy（2）ax的解，而（2）最多有n個(gè)線性無關(guān)的解，所以必存在不全為零的常數(shù)匕衛(wèi)2,，忍+1，使«（0（x） - y J + ©（0（ X）-兒）+ kg（0（x） - 兒 J = 0即（1+匕+心+»（兀）=«”+匕兒+兀泊顯然，«+忍+¥否則，存在不全為零的常數(shù)匕匕十使得« 兒（X）+ © + >2 W + 兀 3 W = 0這與兒（Qy2（Q/心（X）線性無關(guān)