解直角三角形典型例題

1、典型例題【例 1】為了緩解長沙市區(qū)內(nèi)一些主要路段交通擁擠的現(xiàn)狀，交警隊在一些主要路口設(shè)立了交通路況顯示牌 (如圖 )已知立桿 AB 的高度是 3 m，從側(cè)面 D 點測得顯示牌頂端 C 點和底端 B 點的仰角分別是 60°和 45°.求路況顯示牌 BC 的高度解：在 RtABD 中， AB 3 m， ADB 45°，所以 ADAB333(m)tanADBtan 45°1RtACD 中，AD 3 m，ADC 60°，所以 AC ADtan ADC 3×tan 60° 3× 33 3(m)所以路況顯示牌 BC 的高度為

2、(3 3 3) m.【練習(xí) 1】 如圖 2，小山上有一電視塔 CD，由地面上一點 A ，測得塔頂 C 的仰角為 30°，由 A 向小山前進(jìn) 100 米到 B 點，又測得塔頂 C 的仰角為 60°，已知CD=20 米，求小山高度DE.【例 2】如圖 3，有長為 100m 的大壩斜坡 AB ，坡角 =45°，現(xiàn)要改造成坡角 =30°，求伸長的坡度 DB 的長 .【練習(xí) 2】水務(wù)部門為加強(qiáng)防汛工作，決定對程家山水庫進(jìn)行加固原大壩的橫斷面是梯形 ABCD ，如圖所示 ，已知迎水面 AB 的長為 10 m， B60°，背水面 DC 的長度為 10 3 m

3、，加固后大壩的橫斷面為梯形 ABED. 若 CE 的長為 5 m.(1)已知需加固的大壩長為100 m，求需要填方多少立方米；(2)求新大壩背水面DE 的坡度 (計算結(jié)果保留根號 )解： (1)分別過 A ，D 作 AF BC，DGBC，垂足分別為 F，G，如圖所示AF在 RtABF 中， AB 10， B60°， sin B AB ，3AF10×2 53，DG53，S 1×× 1× × 253.DCE2CE DG25 532需要填方：253100×31 2503(m )2(2)在直角三角形DGC 中， DC 10 3，GC

4、DC2DG2(10 3)2(53)215，DG533GEGCCE20，坡度 i GE 20 4 .答： (1)需要添方約 1 250 3 m3.3(2)背水坡坡度為4 .點撥：對于梯形問題，經(jīng)常需添加輔助線梯形中輔助線的作法分為作高、平移一腰、平移對角線、延長兩腰等不同類型與直角三角形有關(guān)的梯形問題，通常作出高【例 3】（聊城市中考題）美麗的東昌湖濱于江北水城以靈性， 周邊景點密布如圖所示， A， B 為湖濱的兩個景點， C 為湖心一個景點 景點 B 在景點 C 的正東，從景點 A 看，景點 B 在北偏東 75 方向，景點 C 在CB北偏東 30 方向一游客自景點 A 駕船以每分鐘30北752

5、0 米的速度行駛了 10分鐘到達(dá)景點 C ，之后又以A東同樣的速度駛向景點 B ，該游客從景點 C 到景點圖 1B 需用多長時間（精確到 1分鐘）？解：根據(jù)題意，得 AC20 10 200 過點 A 作 AD 垂直于直線 BC ，垂足為 D （如圖 2）在 Rt ADC 中，CBADAC·cosCAD200·cos30° 100 3 ，30北75DCAC·sinCAD200·sin 30° 100 A東在 Rt ADB 中，圖 2DB AD·tanBAD1003 tan75°CB DBDC1003 tan75

6、76; 100 CB5 3 tan 75° 5 27 20即該游客自景點 C 駛向景點 B 約需 27 分鐘【練習(xí) 3】如圖，海平面上燈塔 O 方圓 100 千米范圍內(nèi)有暗礁， ?一艘輪船自西向東方向航行，在點 A 處測量得燈塔 O 在北偏東 60°方向，繼續(xù)航行 100 米后，在點 B 處測量得燈塔 O 在北偏東 37°方向 請你作出判斷， 為了避免觸礁， 這艘輪船是否要改變航向？ （參考數(shù)據(jù)：sin37 ° 0.6018，cos37° 0.7986，tan37 ° 0.7536，cot37 ° 1.，327 3 1.73

7、2）例 4如圖 28-2-12，某校教學(xué)樓 AB 的后面有一建筑物 CD，當(dāng)光線與地面的夾角是 22°時，教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高 2 米的影子 CE；而當(dāng)光線與地面夾角是 45°時，教學(xué)樓頂 A 在地面上的影子 F 與墻角 C 有 13 米的距離 (B，F(xiàn)，C 在一條直線上 )(1)求教學(xué)樓AB 的高度；(2)學(xué)校要在A， E 之間掛一些彩旗，請你求出A， E 之間的距離(結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：3152sin22 °，cos22°，tan22 °)8165圖 28-2-12【練習(xí) 4】 （四川?。┤鐖D，小麗的家住在成都市錦江河畔的電梯公寓

8、 AD 內(nèi)，她家的河對岸新建了一座大廈BC，為了測得大廈的高度，小麗在她家的樓底 A 處測得大廈頂部 B 的仰角為 60°，爬上樓頂 D 處測得大廈頂部 B 的仰角為 30°已知小麗所住的電梯公寓高 82 米，請你幫助小麗計算出大廈高度 BC 及大廈與小麗所住電梯公寓間的距離 AC 解：過點 D 作 DE BC 于 E，則四邊形 ACED 是矩形AC=DE ， DA=EC=82 米， BDE=30°在 Rt BDE 中， tanBDE= BE ，DE3BE=DE· tan BDE=DE3在 Rt BAC 中， tanBAC= BC ，AC3 DEEC即

9、tan60 °=3AC 3AC=3 AC 82，解得， AC = 413 （米）3BC = BEEC =3DEEC =3 ×41 3 82= 123（米）33答：大夏 BC 高為 123 米，小麗所住的電梯公寓與大廈間的距離AC為41 3米例 5 （自貢市中考題）如圖所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動小組的同學(xué)，利用所學(xué)知識去測量沱江流經(jīng)我市某段的河寬 小凡同學(xué)在點A 處觀測到對岸 C 點，測得 CAD45°，又在距 A 處 60 米遠(yuǎn)的 B 處測得 CBA 30°，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少？（精確到 0.01m）分析：此類問題的解題思路是構(gòu)建直角三角形模型，一 例 3 般需要將兩個直角三角形聯(lián)系起來，通過列方程解決問題解：過 C 作 CE AB 于 E，則 CE 為河寬設(shè) CEx（米），于是 BEx60（米）在 Rt BCE 中， tan30 ° CE ， 3 xx60 x30( 3 1) 81.96（米）EB所以河寬約為 81.96 米練習(xí) 5如圖 28-2-13，小明家在 A 處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l，AB 是 A 到 l 的小路現(xiàn)新修一條路 AC 到公路 l.小明測量出 ACD30°，ABD 45