電磁場和電磁波[第四版]課后答案解析_謝處方,共138頁

1、.WORD.格式.專業(yè)資料.整理分享.電磁場與電磁波（第四版）課后答案第一章習(xí)題解答1.1 給定三個矢量A、B和C如下:A =ex ey2 -ez3B = -ey4 ezC - ex5 - ez 2求：(1) a a； (2) |A-B| ; (3) AB； (4) %; (5) A 在 B 上的分量;(7) AJ( BxC )ft (AxB )JC ; (8) (Ax B )x C 和 Am ( BmC)。Aex ey2 -ez3123(1) a A = Y = / 222 = ex+e y ez /A 12 22 (-3)2-1414.14(2) A-B+ey2 -ez3) -(-ey4

2、+ez) = |ex +ey6 ez4 =753(3) A_B = (ex +ey2 -ez3) L(-ey4 +ez)= 11/、 上AB -11(4) 由c 0ABsn-r = f=;=AB A B.14.1 . 771ABJ=cos11(-)-135.5238(5) a在b上的分量AB = A cos6ABABTBTii,17共138頁1 /日, 得2 3ex ey ez(6) AxC = 1 2 -3 = -ex4 -ey13-ez105 0-2ex ey ez(7)由于 BC = 0 -4 1 =ex8 +ey5 + ez205 0-2-ex10。ey1。ez4ex ey ezAMB

3、= 12 -30 -4 1所以AJ(B C)=(ex ey2 -ez3£(e*8 ey5 - ez20)=-42(A B)UC =(-ex10 -ey1-ez4；L 05 - ez2) =-42ex ey ez(8) (AMB/C= -10 -1 -4 =ex2 ey40 + ez550-2ex ey ezAm ( BmC )= 12 3 = ex55 ey44 -ez118 5 201.2 三角形的三個頂點為 P(0,1,2)、P2(4,1,3)和 2(6, 2,5)。(1)判斷ARP2 P3是否為一直角三角形；(2)求三角形的面積。解(1)三個頂點P|(0,1,-2)、P2(4,

4、1, -3)和P3(6,2,5)的位置矢量分別為r1 =ey -ez2, 0 =ex4 +ey -ez3 , r3 =ex6 + ey2 + ez5貝R12=r2-ri=ex4ez,R23=r32=ex2 + ey+ez8,R31 r1 - r3 - ex 6 - ey - ez 7由此可見R12LR23 =04-ez)_(ex2 % §8) = 0故App2 P3為一直角三角形。(2)三角形的面積R121二 R12 2R23折父769 = 17.1321.3 求P'(3,1,4)點到P(2, 2,3)點的距離矢量R及R的方向解 3 = -ex 3 +ey+ez4,3=e*2

5、 -ey2 +ez3 ,Rpp =3 -3 =e*5 -ey3 - ez且RPP與x、y、z軸的夾角分別為y z=cos、, 3os F)=120.47：1.4 給定兩矢量A = q2 +ey3-ez4和B = ex4-ey5 + ez6 ,求它們之間的火角和A在B上的分量。解 A 與 B 之間的夾角為9ab =cos'(iAbt)-cos( . 31)-131°A B29 、. 77A在B上的分量為Ab - a|_- - -3.532B17 77求Am B在1.5 給定兩矢量 A = ex2 +ey3 -ez4 和 B = -ex6 -ey 4 + ez ,C =ex -e

6、y +ez上的分量。-4 = Fx13 + ey22 + ez101exey解 AMB= 23-6 4所以am B在C上的分量為25、3=-14.431.6 證明：如果 Ab = Ac和amb = amc,則3 = ©解 由 AmB = AmC,則有 A m( AxB) =Am (AxC),即(AB)A -(A_A)B =(A_C)A -(A|jA)C由于 AB =AC ,于是得到 (ALJA)B =(A_A)C故B =C1.7 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確 定該未知矢量。設(shè)a為一已知矢量，p = AX 而P=AMX, p和P已知，試求由P =AxX

7、,有A P = A (A X) =.( AJX ) A (A A) X = pA(A A)X故得vpAA PX)1.8在圓柱坐標中，一點的位置由(4,3)定出，求該點在：(1)直角坐標中的坐標；(2)球坐標中的坐標。解(1)在直角坐標系中x=4cos(2呵3) = 2、y =4sin(2n/3) = 273、z=3 故該點的直角坐標為(-2, 2點,3)r = J42 +32 = 5、日=tan/(4/3) = 53.1、(2 )在球坐標系中=2"3 =120：'故該點的球坐標為(5,53.1',120)1.9 用球坐標表示的場E=er25,r(1)求在直角坐標中點(

8、Y4,-5)處的|E和Ex;(2)求在直角坐標中點(-3,4,-5)處E與矢量B=ex2-ey2 +ez構(gòu)成的夾角。解(1)在直角坐標中點(-3,4,-5)處,r2 =(3)2 +42 +(5)2 =50 ，故25er 2rEx =exe =|E| cos%-3=x =2 5.23.220(2)在直角坐標中點(3,4,-5)處,E=252 r25r-er =-ex3 + ey4 -ez5 ,所以3 ey4 - ez510、2故E與B構(gòu)成的夾角為EB=cos(需)=cos(eB黨聲153.61.10 球坐標中兩個點 明R1和R2間夾角的余弦為(0,%*,)和(r2,%色)定出兩個位置矢量R和R2

9、。證cos : cos cos % sin * sin 12 cos( 1 - 2)解 由R1 =exr1sinH1cost +eyr1 sin R sin $1 +ezr1cos81R2 = exr2 sin。2 cos 2 eyr2 sin u2 sin 2 , ezr2 cos2得至|Jcos =sin 口 cos 1 sin . cos 2 sin 怯 sin 1 sin t sin 2 cosi1 cosr2 =sin 口 sin 變(cos i cos 2 1 sin 1 sin 2) cos 1 cosn2 =sin u1sin 12 cos( 1 - 2) cos > c

10、os 右1.11解所以又故有一球面S的半徑為5,球心在原點上，計算：1（er3sin0）-d S的值?？? er3sin1.12證散度定理。與d S= _(egsM u)_erdS = j d 3sini 52sinid 1 -75 二2 在由r=5、z = 0和Z = 4圍成的圓柱形區(qū)域，對矢量A = err2 + ez2z驗在圓柱坐標系中'A -1(rr2) (2z) -3r 2r ；:r； z4 2 二5J A d . = dz d (3r 2)rdr =1200 二000AdS S = Terr2 + ez2z)k d S,+e© d S© + ez dSz

11、)=1s-S42 二52 二52 5d dz - 1 1 2 4rdrd =1200二0 00 0嚴必 dT =1200n = ddS Ss1s1.13 求(1)矢量 A=exx2 +eyx2y2 +ez24x2y2z3 的散度；(2)求 V|Ja對中 心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求a對此立方體表面的積分，驗證散 度定理。解(1) - g+$+ a24x2y2z3)=2x+2x2y + 72x2y2z2 二 x二 y二 z(2)9必對中心在原點的一個單位立方體的積分為12 12 121|_Ad =(2x 2x2y 72x2y2z2)d xd ydz =212224(3) A對此立方體

12、表面的積分 1212,1212,A_d S=(-)2 d ydz ()2 d ydzJ 2 A 2 222212 12，1212，9 1 991 91 1 2x (-) d xdz 1 1 2x ( -) d xdz 二222222121212 12I I 24x2y2(-)3d xdy 1 1 24x2y2()3dxdy 二二 222422224故有嚴La d£=2=|l1Ad Sx24 s1.14 計算矢L r對一個球心在原點、半徑為a的球表面的積分，并求V 對球體積的積分。_2 二 二解7|rLd S =|Jr_er dS = J de Jaa2sin8 d日=4na3Ss-0

13、0又在球坐標系中，什=，衛(wèi)（2）=3,所以r開2 二二a|_rd . =3r2sindrdid =4二a30001.15 求矢量A=exx +eyx2 +ezy2z沿xy平面上的一個邊長為2的正方形回 路的線積分，此正方形的兩邊分別與 x軸和y軸相重合。再求Vx A對此回路所 包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。2222解A A_d l = Jxdx jxdx + J22d y J0d y = 8Cr0000又所以e x；:xey：:y2 x；z2y z2 2=ex2yz ez2x;v，： Ad S =(ex2yz ez2x)|_ez d xd y = 8S0 0故有jadl =8 -AdS1.

14、16 求矢量A : exx eyxy2沿圓周x2 + y2=a2的線積分，再計算W a對此 圓面積的積分。fAJd l =C71 I _L 2 .xdx + xy d y2 二二(一a2 cos sina4 cos2 sin2 ')d ' 二0:A.:Ad S = .ez(=)edS= y2dS= r2sin2 rd dr 二S1.17證明：(1) VLR =3； (2) Vx r =0 ； (3) V(Ar) = A。其中R =ax 0y解（1）+ ezz, a為一常矢量。r.B.宅=3.x : y : z(2)y y(3)設(shè)人=3*人*+3丫3 +ezAz,則 AR =Ax

15、 + Ayy+Azz,故(Ar) ex (Axx Ayy -z) ey (Axx - Ayy A©二 x二 ye z(Axx Ayy Azz) = exAx eyAy ezAz = A二 z1.18 一徑向矢量場F=erf(r)表示，如果V|_F =0,那么函數(shù)f(r)會有什 么特點呢？解在圓柱坐標系中，由-1 d' |_Frf (r) = 0r d r可得到f(r)=C c為任意常數(shù)。r在球坐標系中，由 f = J2r2f “) =0 r d r可得到f(r)=Crr1.19給定矢量函數(shù)E =e*y +eyX,試求從點P(2,1, 1)到點P2(8,2, 1)的線 積分EL

16、dl ： (1)沿拋物線x=y2 ； (2)沿連接該兩點的直線。這個 e是保守 場嗎？解(1)JE 31= JExdx + Eyd y= jydx + xdy =CCC22yd(2y2) 2y2 dy = 6y2dy = 141 1(2)連接點P,(2,1,-1)到點B(8,2,-1)直線方程為x-6y 4 = 02x-2 _ x -8 y -1 y - 2ELdl = Exdx Eydy = yd(6y4) (6y4)d y = (12y 4)d y =14CC11由此可見積分與路徑無關(guān)，故是保守場。1.20 求標量函數(shù)甲=x2yz的梯度及手在一個指定方向的方向?qū)?shù)，此方 345向由單包矢重

17、 ex I +ey ,= +©z-止出；求(2,3,1)點的方向?qū)?shù)值。50, 5050t p -q (x2yz) ey (x2yz) ez(x2yz)=二 xcy二 z2 2ex2xyz eyx z ezx y3 45 故沿方向e題1.21圖ex尋+eym +ez提的方向?qū)?shù)-50. 50. 50史與小=安+應(yīng)-:l.15050.50點(2,3,1)處沿©的方向?qū)?shù)值為FP361660112-+ T =:l,50,50,50,501.21 試采用與推導(dǎo)直角坐標中、1A =也44 相似的方法推導(dǎo)圓柱坐標二x二 y二 z下的公式、1 fA:汽LA =-(rAr) - -or

18、：rr：zA沿er方向穿出解 在圓柱坐標中，取小體積元如題 1.21圖所示。矢量場 該六面體的表面的通量為，,二,z：產(chǎn)ZJ ： _, z:：)-.?% = f j Ar也(r + Ar)d rde f jArrrdrd® 力 z" Z(r - ")Ar (r - "，, z) - rAr (r, , z) 一：二z"A，. j.-LZ = - -(rAr) ；,.F rr F r同理r yj z ：yzr ：ir z ”A= f A A4 忸出rdz fA Aldrdzr zrzA (rj? Y3z) - A (r, , z). ：r. z

19、：r= ：=z =-A.：. fr；:r"r /'rrqWTz= J A Azz也rdrdO A A Azzrdrde之r:1r:Az(r, , z :二z) - Az(r, , z)r. ：r - -z :&：-4.z:z因此，矢量場A穿出該六面體的表面的通量為甲=甲,+甲巾+Vz、1(rAr) +2 +型Zur；:rr. z故得到圓柱坐標下的散度表達式A二lim二二3上0 . ： . r r r r：z2221.22 方程u =-+y_+_給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法a b c向矢量。解由于、 2x 2y 2z* u = ex = ey ez-a b

20、c“ul =2J(_xr)2 +©)2 +(_l)2a a b c故橢球表面上任意點的單位法向矢量為二(ex ' ey a1.23La =-:r(r2A)(sin u A),現(xiàn)有三個矢量A、B、C為A = er sincosecos cos -e sinB=erz2sine z2 cos ez2rzsinC =ex(3y2 -2x) eyx2 ez2z(1)哪些矢量可以由一個標量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量 函數(shù)的旋度表示？(2)求出這些矢量的源分布。解(1)在球坐標系中,2(r sin ? cos ).:r2 .-sin ccos r，.、1；.、(sin c c

21、os? cos )(sin )=rsin 1:cos 2sin 二 cos cos -=0rsin 1er:rArr sin 日eirsin 日 Aq1r2 sin ?Frsin c cosr eu£9r cos c cosrsin ?e-r sin s sin故矢量A既可以由一個標量函數(shù)的梯度表示，也可以由一個矢量函數(shù)的旋度表 示；在圓柱坐標系中r 11汨 汨zv|_B = (rBr)-一z =r ；:rr :.:zFsin )二r ；rr . ,：,2.、”、(z cos ) 一(2rzsin )=z2sinz2sin-2rsin =2rsin：:rBrrerB.eze:zBze

22、frz2 sinrzr e1c*2 coseze:z2rz sin二Cy：Cz:yfz.x三 2一(3y:xex二 x3y2 -2xey.z2z=ez(2x-6y)故矢量B可以由一個標量函數(shù)的梯度表示; 直角在坐標系中L,L,2- 2x) (x2) (2z)=0二 y故矢量C可以由一個矢量函數(shù)的旋度表小。(2)這些矢量的源分布為丸A = 0 ,盯乂 A =0 ；LIb = 2rsine , Vx b =。；LC =0, Vm C =ez(2x6y)1.24 利用直角坐標，證明.WORD.格式. (f fA) = f _AAJ f.專業(yè)資料.整理分享.解在直角坐標中f .|_AA J、f = f

23、 (也 工 4:x: yjz).(AX£ Ay£f Az£f) =jxf y；z也 Az，).z二 z2fFAy；f_(fAx) -(fAy) _(fAz)=vL(f A)t-.KJL.x二y；z1.25 證明(AA H ) = HA - A3 H解 根據(jù)算子的微分運算性質(zhì)，有山A H )aA H ) T hIJA H )式中VA表示只對矢量a作微分運算，節(jié)H表示只對矢量H作微分運算。由電 b xc) =c_(axb),可得、aL( A H ) =H 0A A) = H H A)同理'、hL(A H )= -A('、H H )= -AH )故有,&

24、amp; A H ) =HJA - A3 H1.26 利用直角坐標，證明' (f G) = f? G " G解在直角坐標中D G = f ex(烏二 y二 Gy:G .GzG)eyT ez(cz 二 x.x3)r '二 yFff TT TT T .tf G = ex(GzGy ) ey(GxGz) ez(GyGx - )cy二 z二 z二 xt xcy所以fl G " G=ex(Gzff /)-(Gy 史 f 烏)開；:GX開；:GZey(Gx-f-)-(Gz- . f-) .二 z二 z: x二 xfFGy開FGxez(Gyf-)-(Gx- fx) =二

25、x二 x二 y cy；：(fGz) MfGy)；:y.zey2 一cz:x：(fGy)“fGx)：:x Fy=i (fG)( v，： % u)Ld S=ujdl = dl =-|skC1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明v M( %) =0RX A) =0 ,試證明之。解(1)對于任意閉合曲線C為邊界的任意 曲面S,由斯托克斯定理有dCS由于曲面S是任意的，故有(tu)=0(2)對于任意閉合曲面S為邊界的體積t ,由散度定理有史仆 A)d仆 A)_d S= d A)_d SG A) Jd SFS1s2其中Si和&如題1.27圖所示。由斯托克斯定理，有f(Vx A

26、)0d S =Ad l ,J(W A曲 S=UA1 d lSiCiS22由題1.27圖可知G和C2是方向相反的同一回路，則有Adl=-A1d l所以得到 山、A)dA-dlA-d l =CifC2由于體積e是任意的，故有 V|(V x A ) = 02.1一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為P = g0U0 v'式中如果 U0=40V、d =1cm、第二章習(xí)題解答陰極板位于x=0,陽極板位于x = d ,極間電壓為U0橫截面s =10cm 2,求：（1）x=0和x = d區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q ; （2） x = d/2和x = d 區(qū)域內(nèi)的總電荷量Q od解(1)Q = JPdE =(,

27、%Uod43x23)Sdx =汽%UoS = 4.72>d0,1C o 93d(2)Q = " . = (-4 ；0U0d 3x23)Sdx = -A(i_ t) ；0U0S - -0.97 101cd 29 0 03d 3 22.2 一個體密度為P = 2.32x10，C/m3的質(zhì)子束，通過1000V的電壓加速2mm ，束外沒有電荷分布,解2.3后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為 試求電流密度和電流。質(zhì)子的質(zhì)量m=1.7M10/7kg、電量q =1.6m109C。12mv = qU2v = . 2mqU =1.37 106 m. sJ =0.318 A. m

28、2I = J： (d：'2)2 =10”AQ的電荷，球體以勻角速設(shè)球內(nèi)任一點p的位置矢一個半徑為a的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為 度缶繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解 以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為z軸 量為r ,且r與z軸的夾角為9 ,則P點的線速度為v = . r = e.y; r sin f球內(nèi)的電荷體密度為3Q ' _ =e 3 r sin -4 二 a3同樣以勻角速度缶繞一個直4 二 a3 3J = Pv = e0 -Q0 r sin 日2.4徑旋轉(zhuǎn),解4 二 a3 3一個半徑為a的導(dǎo)體球帶總電荷量為Q , 求球表面的面電流密度。以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為

29、z軸。設(shè)球面上任一點p的位置矢量為r ,且r與z軸的夾角為日,則P點的線速度為 v = r = e,F asin -球面的上電荷面密度為24 aJ S = c v = eqQ .2 1 asin 二 一 e2.5 兩點電荷q =8C位于z軸上z = 4處，q2 = -4C位于y軸上y = 4處, 求（4,0,0）處的電場強度。解 電荷q1在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為qirri2 ex4 - ez44 二；0二;0 (4 力 3電荷42在(4,0,0)處產(chǎn)生的電場為q2 r r21 ex 4 -ey44 二；0,3 r二；0 (4、,2)3故(4,0,0)處的電場為E =E1 E 2exey

30、- ez22.6一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷電場強度E (0,0, a),設(shè)半圓環(huán)的半徑也為32 . 2二；0Pi ,求垂直于圓平面的軸線上z = a處的 a ,如題2. 6圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元R d-= R ad但在軸線上z = a處的電場強度為dE =4二；° (、. 2a)3：i8,2二;0在半圓環(huán)上對上式積分, 為ez -(excosey sin )E (0,0, a) = d E二 28,2二；0a -二 2a得到軸線上z = a處的電場強度.ez -(ex cos：，eysin )d;：i(ez二-ex2)8.2二；0a2.7 三根長度均為L,均勻帶電荷密度分別為小

31、、甘2和耳3地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè) 強度。解建立題2. 7圖所示的坐標系Ki=2%=2R3,計算三角形中心處的電場三角形中心到各邊的距離為,L31d =一 tan30 =L則題2.7圖故等邊三角形中心處的電場強度為E = Ei E 2 E3 =ey 9 - (ex ' 3 ey) Q . . .(ex - 3 - ey)2 0L8 0L二 ey8二;0Ly4二；0LE1 = ey l (cos30 - cos150) = ey114二;0d2二;0LE2 二-(excos30 eysin30v)12 二-(ex- 3 ey)112二 0L8二 0L;:3 Pl33 PliE3 =(

32、excos30 -ey sin30 )= (ex 3 -ey)y2二;0Ly 8二;0L2.8 一點電荷+q位于(-a,0,0)處，另一點電荷-2q位于(a,0,0)處，空間有 沒有電場強度E =0的點？解 電荷+q在(x, y,z)處產(chǎn)生的電場為q ex(x a)ezZ14%(x + a)2 + y2 + z232電荷-2q在(x, y, z)處產(chǎn)生的電場為2q ex(xa) eyy ezZ24冗瓦(xa)2+y2+z23'2(x, y,z)處的電場則為E =E1 +E2。令E =0,則有ex(xa)eyy%z_ 2ex(x - a) - eyy- ezz2223222232(x a

33、) y z (x-a) y z 由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到(x +a)(x -a)2 + y2 +z231'2 =2(x a)( x + a)2 + y2 + z232y(x-a)2 y2 z232 = 2y(x a)2 y2 z232222 3 2222 3 2z(x - a) y z = 2z(x a) y z 當(dāng)y#0或z#0時，將式或式代入式，得a=0。所以，當(dāng)y#0或z#0時無解；當(dāng)y=0且z = 0時，由式，有 33(x a)(xa) =2(xa)(x a)解得x =(-3 - 2.2) afix =-3a+2V2a®:®，故僅在(_3a_2V2a,

34、0,0)處電場強度 E =0。2. 9 一個很薄的無限大導(dǎo)電帶后面，電荷面密度為 仃。證明：垂直于平面 的z軸上z=z0處的電場強度E中，有一半是有平面上半徑為J3z0的圓內(nèi)的電荷產(chǎn) 生的。解 半徑為r、電荷線密度為E=odr的帶電細圓環(huán)在z軸上z=z0處的電場強度為d E =ezr 二 z0d r2；°(r2 z2)32故整個導(dǎo)電帶電面在z軸上z = z°處的電場強度為r raz0draz01仃E =e2%(r2+z2)32 “ez至 WF。=ezW 而半徑為Qzo的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在z軸上z=z0處的電場強度-r%dr_仃 z01_ 仃 1 LE _ez J o / 2

35、+ 23 2 _ o / 2 + 212- ez . " o E0 2%(r +z0)2% (r +4) 04% 22.10 一個半徑為a的導(dǎo)體球帶電荷量為Q,當(dāng)球體以均勻角速度0繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的 磁感應(yīng)強度B。解球面上的電荷面密度為當(dāng)球體以均勻角速度仍繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量r=era點處的電流面 密度為JS = crv =仃h r =<rez切 xera =Q -e.產(chǎn)、a sin【-e - sin 二Qd I =JSdl =sin ididl =ad0細圓環(huán)的電流為將球面劃分為無數(shù)個寬度為dl=ad6的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度為4

36、二細圓環(huán)的半徑為b = asin13,圓環(huán)平面到球心的距離d = acos9 ,利用電流圓環(huán)的 軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為d B =ez0b2 d IL0 Qa2 sin3 二 d 二2(b2 +d2)3'2z 8n (a2 sin2 8+a2 cos2 8)3,'2,z故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為,3 .二 % Qsin 1B = ez d 二-e oVQ z 6 二 a2.11兩個半徑為b、同軸的相同線圈，各有N匝，相互隔開距離為d，如 題2.11圖所示。電流I以相同的方向流過這兩個線圈。(1)(2)(3)求這兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度 B

37、 = exBx;證明：在中點處dBx/dx等于零；求出b與d之間的關(guān)系，使中點處d2 Bx/dx2也等于零。(1)由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度LIa2z2(a2 z2)32得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為B = ex0NIb2(b2 d2 4)32(2)兩線圈的電流在其軸線上 x (0 < x < d)處的磁感應(yīng)強度為所以故在中點dBx dx(3)B = ex°NIb2°NIb22(b2 x2)32 2b2 (d -x)232,2.230NIb x 30NIb (d -x)22.5 222r5 2d x 2(b x )2b (d -x)x = d/2處，

38、有_ _ 30NIb2d 230NIb2d 2- 2b2 d2 45 2 2b2 d2 452 一d2Bx150NIb2x23%NIb272_ 22、7 2 22、5 2dx 2(b +x )72(b +x )5150NIb2(d -x)230NIb2令 d2Bxd xx xl 2 = 05d2 4b2 d2 42b2(d -x)27 2 2b2 (d -x)2521_7 222b d 45 2 =0.WORD.格式.專業(yè)資料.整理分享.題2.13圖即故 解 得2.12 一條扁心線與z軸重合，通5d2 4 =b2 d2/4By小。象限內(nèi)的磁感應(yīng)強度為解將導(dǎo)體帶題2.12圖ln - rid 二b

39、平的直導(dǎo)體帶, 過的電流為IBx寬為2a ,中 證明在第一。1 一中a、r1和r2如題2.12圖所細條帶，每一細條培環(huán)路定理，可得dI在點P(x,y)處的磁場為odl0IdxdB 二二劃分為無數(shù)個寬度為dx.的帶的電流dI = dx 0由安2a位于X，處的細條帶的電流所以Bx"I2二R 4二aRd Bx - -d Bsin1二d By = d B cos =4 二 a |LJ0ly d x0I d x4na(x -x*)2 + y212 oIy dx4 二 a(x -x )2 y20I (x - x )d x.224二a(x -x)2 y2. 22工 4二 a(x -x ) y ar

40、ctan4 二 ax -x。1一 arctan4 二 a Iarctan%ia -x-arctan a-x y,x-a-arctan < y力(二 2 -1 1)B =；NoI(x-x')dx'y 4.：a(x -x)2 y2)2 y2-a(x a)"n28二a (x - a) y0Ilnr2 ri2.13 如題2.13圖所示，有一個電矩為Pi的電偶極子，位于坐標原點上,另一個電矩為6的電偶極子，位于矢徑為r的某一點上。試證明兩偶極子之間相 互作用力為Fr =3 plp24 二；。r式中 4 xr, pi% =<r, P2 >,(sin % sin

41、12 cos - 2coscos/)由是兩個平面(r, Pi)和(r, P2)間的夾角并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解電偶極子R在矢徑為r的點上產(chǎn)生的電場為o.WORD.格式.叩T4二；0r r所以R與P2之間的相互作用能為i 3( p 1)(P2Lr)4 二；o因為 a xr,% xr, P2A,則p |_r = p1r cosP2L r = P2 r cos%又因為4是兩個平面(r, Pi)和(r, P2)間的夾角，所以有2(r r)|_(r p2)=r P1P2sin?sin2cos另一方面，利用矢量恒等式可得(r Pi)r P2)=(r Pi) r_6 =r2( Pi

42、LP2) -(r、i)(r|_P2)因_ 2r Pi -(r|_Pi)rP2 =,1. i(Pi Lp2) = (rPi)L(rP2)(rPi)(rl_P2)=PiPzsinRsm2cosPiPzCoscos力r于是得到We =RP24二；0r3 ( sini sin12 cos - 2cosi cos%)故兩偶極子之間的相互作用力為以 Fr -.crPiP2. _., d 1qtonst= -( sin 1 sin2 cos - 2cosTii cos)()=4 ；0dr r3 plp2(sin ? sin 吃 cos -Zcosxcos%)由上式可見，當(dāng)1=口2=0時，即兩個偶極子共線時，

43、相互作用力值最大。2.14兩平行無限長直線電流Ii和I2,的安培力F mo相距為d ,求每根導(dǎo)線單位長度受到解 無限長直線電流Il產(chǎn)生的磁場為Bi 二 e口 0Ii直線電流I2每單位長度受到的安培力為iFmi2 =ezBi dz = e120，0I iI 2.專業(yè)資料.整理分享.式中ei2是由電流Ii指向電流I2的單位矢量同理可得，直線電流Ii每單位長度受到的安培力為Fm2i = _F mi2 = ei22.15 一根通電流Ii的無限長直導(dǎo)線和一個通電流I2的圓環(huán)在同一平面上, 圓心與導(dǎo)線的距離為d ,如題2. i5圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力 為Fm = -""

44、sec二-1)這里"是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。 解 無限長直線電流Ii產(chǎn)生的磁場為Bi 二 e圓環(huán)上的電流元12 d 12受到的安培力為d Fm = 12d 12 B1 =d 12 ey-0-22 二 x由題2. 15圖可知d 12=( - ex sin? ezcosi)adu x = d a cos?所以0aI 1I 20 2 二(d a cos)(-ezsin 二-ex cos i)d =J0aI1I2 -ex2 二cos ? 一d二0 (d a cos)-0aI 11 2ex2 二) ex01 iI 2 (sec- -1)r乂(亦)E +pxE。解如題2.16 的力矩

45、為2.16 證明在不均勻的電場中，某一電偶極子P繞坐標原點所受到的力矩為 圖所示，設(shè)P =qd 1 (dl «1),則電偶極子P繞坐標原點所受到=r2 qE(r2) r1 qE(<) =(r 斗 qE (r 斗一/一號)qE (r-d )=2222d 1d1qd 1 d 1qr E(r d-) -E(r) qd 1 E(r ) - E(r -)22222當(dāng)dl «1時,d 1d 1 、E(r 了' E弓)E故得到E " 一？)： E 嗎 5(r )T r (qd 1 i)E(r) qd 1 E(r)= r (pU ) E p E第三章習(xí)題解答3.1真

46、空中半徑為a的一個球面，球的兩極點處分別設(shè)置點電荷q和-q,試計算球赤道平面上電通密度的通量 (如題3.1圖所示)。赤道平面題3.1圖解 由點電荷q和-q共同產(chǎn)生的電通密度為d = 4 士 - 鳥二4 二 R. R_工 er ez(z-a) _ er ez(z a) 4n r2+(z-a)232 r2+ (z + a)232則球赤道平面上電通密度的通量：，=D Ld S= DjezzdS =s(-a)2 223 22 22 3 2(r a ) (r a )qa22x1 2(r a )1=(.l)q = -0.293q 23.2 1911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為ra的球體原子模型，其球體內(nèi)

47、 均勻分布有總電荷量為-Ze的電子云，在球心有一正電荷Ze(Z是原子序數(shù)，e 是質(zhì)子電荷量)，通過實驗得到球體內(nèi)的電通量密度表達式為Z Ze 1D0 = er 丁 4n rr-ra,試證明之。解 位于球心的正電荷Ze球體內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度為Di=4b題3. 3圖(a)D 2 - er原子內(nèi)電子云的電荷體密度為電子云在原子內(nèi)產(chǎn)生的電通量密度則為：4二 r3 3Ze r-er34 二 %故原子內(nèi)總的電通量密度為一一 ZeZe4二 r23Ze4 二 r； 34 二 r；D = D1 D2Ze1 1如、r2rra )3.3 電荷均勻分布于兩圓柱面間的區(qū)域中，體密度為 P°C/m3,兩圓柱面

48、半徑分別為a和b,軸線相距為C(c<b-a),如題3.3圖(a)所示。求空間各部 分的電場。解 由于兩圓柱面間的電荷不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為a的小圓柱面內(nèi)看作同時具有體密度分別為 士P。的兩種電荷分布，這 樣在半徑為b的整個圓柱體內(nèi)具有體密度為P。的均勻電荷分布，而在半徑為a的 整個圓柱體內(nèi)則具有體密度為-P。的均勻電荷分布，如題3.3圖(b)所示。空間 任一點的電場是這兩種電荷所產(chǎn)生的電場的疊加。在r Ab區(qū)域中，由高斯定律?ELdS =q丁，可求得大、小圓柱中的正、負電-0荷在點P產(chǎn)生的電場分別為Ei =e二 b2 ：o：ob2r2二；or22 ；

49、6;r：。+題3. 3圖(b)2二；0r2 ；0 r點P處總的電場為E =E1E1 =在r <b且r'>a區(qū)域中，同理可求得大、 場分別為小圓柱中的正、負電荷在點 P產(chǎn)生的電點P處總的電場為二 r2 p ：:r2二；or 2 ；oE =E2 E2a :E 2 : er T2二；orPa2r'2獷23r2；o-2 r在r'<a的空腔區(qū)域中，大、小圓柱中的正、負電荷在點 為P產(chǎn)生的電場分別二r2：。：o r2二；or2；or :oE 3 =er-2二；or2；。點P處總的電場為E =E 3 E 3o(r -r )=2 ；o3.4 半徑為a的球中充滿密度P(

50、r)的體電荷，已知電位移分布為r3 Ar2Dr = a5 Aa4(r ")(r - a)其中A為常數(shù)，試求電荷密度P(r) o解：由Ud=P，有：(r) = i|_D =(r2Dr)故在r <a區(qū)域-1d 2322: (r) = ；o2r (r Ar )= ；o(5r4Ar)r dr,1d2 (a5Aa4)： (r) = ；o 2 r A2L=。r d rr-Hr3.5 一個半徑為a薄導(dǎo)體球殼內(nèi)表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內(nèi)充滿總電荷量為Q為的體電荷，球殼上又另充有電荷量 Q。已知球內(nèi)部的電場為 E=e.(r/a)4,設(shè)球內(nèi)介質(zhì)為真空。計算：(1)球內(nèi)的電荷分布；(2)球殼外表 面的電荷面密度。二小 LE = ；01；d(r2E)=;。9 r drr dra3解(1)由高斯定律的微分形式可求得球內(nèi)的電荷體密度為 ,2 r 、_ 八 r(r 4) = 6 ；0 4r 22(2)球體內(nèi)的總電重Q為 Q = J PdT = 16%4冗r dr =4n/a 0