中考數(shù)學真題分類匯編第三期專題9一元二次方程及其應(yīng)用試題含解析

1、一元二次方程及其應(yīng)用一.選擇題1.（2018·云南省昆明·4分）關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）Am3Bm3Cm3Dm3【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根可得=（2）24m0，求出m的取值范圍即可【解答】解：關(guān)于x的一元二次方程x22x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，=（2）24m0，m3，故選：A【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）的根的判別式=b24ac當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0時，方程沒有實數(shù)根2. （

2、2018呼和浩特3分）下列運算及判斷正確的是（）#ERR1A5×÷（）×5=1B方程（x2+x1）x+3=1有四個整數(shù)解C若a×5673=103，a÷103=b，則a×b=D有序數(shù)對（m2+1，m）在平面直角坐標系中對應(yīng)的點一定在第一象限【解答】解：A5×÷（）×5=1×（5）×5=25，故錯誤；B方程（x2+x1）x+3=1有四個整數(shù)解：x=1，x=2，x=3，x=1，故正確；C若a×5673=103，a÷103=b，則a×b=×=，故錯誤；D

3、有序數(shù)對（m2+1，m）在平面直角坐標系中對應(yīng)的點一定在第一象限或第四象限或x軸正半軸上，故錯誤；故選：B3.（2018·湖北咸寧·3分）已知一元二次方程2x2+2x1=0的兩個根為x1，x2，且x1x2，下列結(jié)論正確的是（）A. x1+x2=1 B. x1x2=1 C. |x1|x2| D. x12+x1=【答案】D【解析】【分析】直接利用根與系數(shù)的關(guān)系對A.B進行判斷；由于x1+x20，x1x20，則利用有理數(shù)的性質(zhì)得到x1.x2異號，且負數(shù)的絕對值大，則可對C進行判斷；利用一元二次方程解的定義對D進行判斷【詳解】根據(jù)題意得x1+x2=1，x1x2=，故A.B選項錯誤；

4、x1+x20，x1x20，x1.x2異號，且負數(shù)的絕對值大，故C選項錯誤；x1為一元二次方程2x2+2x1=0的根，2x12+2x11=0，x12+x1=，故D選項正確，故選D【點睛】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.4.（2018·遼寧大連·3分）如圖，有一張矩形紙片，長10cm，寬6cm，在它的四角各減去一個同樣的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體紙盒若紙盒的底面（圖中陰影部分）面積是32cm2，求剪去的小正方形的邊長設(shè)剪去的小正方形邊長是xcm，根據(jù)題意可列方程為（）A10×64×6x=32B（

5、102x）（62x）=32C（10x）（6x）=32D10×64x2=32解：設(shè)剪去的小正方形邊長是xcm，則紙盒底面的長為（102x）cm，寬為（62x）cm，根據(jù)題意得：（102x）（62x）=32故選B二.填空題1. （2018·湖北荊州·3分）關(guān)于x的一元二次方程x22kx+k2k=0的兩個實數(shù)根分別是x1.x2，且x12+x22=4，則x12x1x2+x22的值是 【解答】解：x22kx+k2k=0的兩個實數(shù)根分別是x1.x2，x1+x2=2k，x1x2=k2k，x12+x22=4，=4，（2k）22（k2k）=4，2k2+2k4=0，k2+k2=0，k

6、=2或1，=（2k）24×1×（k2k）0，k0，k=1，x1x2=k2k=0，x12x1x2+x22=40=4故答案為：42.（2018·云南省曲靖·3分）關(guān)于x的方程ax2+4x2=0（a0）有實數(shù)根，那么負整數(shù)a=2（一個即可）【解答】解：關(guān)于x的方程ax2+4x2=0（a0）有實數(shù)根，=42+8a0，解得a2，負整數(shù)a=1或2故答案為23.（2018·浙江省臺州·5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m=0有兩個相等的實數(shù)根，則m=【分析】利用判別式的意義得到=324m=0，然后解關(guān)于m的方程即可，【解答】解：根據(jù)題意得=

7、324m=0，解得m=故答案為【點評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與=b24ac有如下關(guān)系：當0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當0時，方程無實數(shù)根4. （4分）已知x1，x2是方程2x23x1=0的兩根，則x12+x22=【分析】找出一元二次方程的系數(shù)a，b及c的值，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，然后利用完全平方公式變形后，將求出的兩根之和與兩根之積代入，即可求出所求式子的值【解答】解：x1.x2是方程2x23x1=0的兩根，x1+x2=x1x2=，x12+x22=，故答案為：【點評】此題考查了一元二次方程根與

8、系數(shù)的關(guān)系，對所求的代數(shù)式進行正確的變形是解決本題的關(guān)鍵三.解答題1. （2018·廣西梧州·6分）解方程：2x24x30=0【分析】利用因式分解法解方程即可；【解答】解：2x24x30=0，x22x15=0，（x5）（x+3）=0，x1=5，x2=3【點評】本題考查一元二次方程的解法因式分解法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的解法，屬于中考基礎(chǔ)題2. （2018·湖北江漢·7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m22=0（1）若該方程有兩個實數(shù)根，求m的最小整數(shù)值；（2）若方程的兩個實數(shù)根為x1，x2，且（x1x2）2+m2=21，求

9、m的值【分析】（1）利用判別式的意義得到=（2m+1）24（m22）0，然后解不等式得到m的范圍，再在此范圍內(nèi)找出最小整數(shù)值即可；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=（2m+1），x1x2=m22，再利用（x1x2）2+m2=21得到（2m+1）24（m22）+m2=21，接著解關(guān)于m的方程，然后利用（1）中m的范圍確定m的值【解答】解：（1）根據(jù)題意得=（2m+1）24（m22）0，解得m，所以m的最小整數(shù)值為2；（2）根據(jù)題意得x1+x2=（2m+1），x1x2=m22，（x1x2）2+m2=21，（x1+x2）24x1x2+m2=21，（2m+1）24（m22）+m2=21，整理得m

10、2+4m12=0，解得m1=2，m2=6，m，m的值為23. （2018·湖北十堰·7分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2（2k1）x+k2+k1=0有實數(shù)根（1）求k的取值范圍；（2）若此方程的兩實數(shù)根x1，x2滿足x12+x22=11，求k的值【分析】（1）根據(jù)方程有實數(shù)根得出=（2k1）24×1×（k2+k1）=8k+50，解之可得（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系可用k表示出x1+x2和x1x2的值，根據(jù)條件可得到關(guān)于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判別式進行取舍【解答】解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x2（2k1）x+k2+k1=0有實數(shù)根，0，即（2k1

11、）24×1×（k2+k1）=8k+50，解得k（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=2k1，x1x2=k2+k1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（2k1）22（k2+k1）=2k26k+3，x12+x22=11，2k26k+3=11，解得k=4，或k=1，k，k=4（舍去），k=1【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法4（2018·遼寧省沈陽市）（8.00分）某公司今年1月份的生產(chǎn)成本是400萬元，由于改進技術(shù)，生產(chǎn)成本逐月下降，3月份的生產(chǎn)成本是361萬元假設(shè)該公司2.3.4月每個月生產(chǎn)

12、成本的下降率都相同（1）求每個月生產(chǎn)成本的下降率；（2）請你預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本【分析】（1）設(shè)每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)2月份、3月份的生產(chǎn)成本，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；（2）由4月份該公司的生產(chǎn)成本=3月份該公司的生產(chǎn)成本×（1下降率），即可得出結(jié)論【解答】解：（1）設(shè)每個月生產(chǎn)成本的下降率為x，根據(jù)題意得：400（1x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合題意，舍去）答：每個月生產(chǎn)成本的下降率為5%（2）361×（15%）=342.95（萬元）答：預(yù)測4月份該公司的生產(chǎn)成本為342.95萬元【點評】

13、本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關(guān)系，列式計算5（2018·重慶市B卷）（10.00分）在美麗鄉(xiāng)村建設(shè)中，某縣政府投入專項資金，用于鄉(xiāng)村沼氣池和垃圾集中處理點建設(shè)該縣政府計劃：2018年前5個月，新建沼氣池和垃圾集中處理點共計50個，且沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點個數(shù)的4倍（1）按計劃，2018年前5個月至少要修建多少個沼氣池？（2）到2018年5月底，該縣按原計劃剛好完成了任務(wù)，共花費資金78萬元，且修建的沼氣池個數(shù)恰好是原計劃的最小值據(jù)核算，前5個月，修建每個沼氣池與垃圾集中處理點的平均費用之比為1：2為加大

14、美麗鄉(xiāng)村建設(shè)的力度，政府計劃加大投入，今年后7個月，在前5個月花費資金的基礎(chǔ)上增加投入10a%，全部用于沼氣池和垃圾集中處理點建設(shè)經(jīng)測算：從今年6月起，修建每個沼氣池與垃圾集中處理點的平均費用在2018年前5個月的基礎(chǔ)上分別增加a%，5a%，新建沼氣池與垃圾集中處理點的個數(shù)將會在2018年前5個月的基礎(chǔ)上分別增加5a%，8a%，求a的值【分析】（1）設(shè)2018年前5個月要修建x個沼氣池，則2018年前5個月要修建（50x）個垃圾集中處理點，根據(jù)沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點個數(shù)的4倍，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)單價=總價÷數(shù)量可求出修建每

15、個沼氣池的平均費用，進而可求出修建每個垃圾集中點的平均費用，設(shè)y=a%結(jié)合總價=單價×數(shù)量即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之即可得出y值，進而可得出a的值【解答】解：（1）設(shè)2018年前5個月要修建x個沼氣池，則2018年前5個月要修建（50x）個垃圾集中處理點，根據(jù)題意得：x4（50x），解得：x40答：按計劃，2018年前5個月至少要修建40個沼氣池（2）修建每個沼氣池的平均費用為78÷40+（5040）×2=1.3（萬元），修建每個垃圾處理點的平均費用為1.3×2=2.6（萬元）根據(jù)題意得：1.3×（1+a%）×40×

16、（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），設(shè)y=a%，整理得：50y25y=0，解得：y1=0（不合題意，舍去），y2=0.1，a的值為10【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)沼氣池的個數(shù)不低于垃圾集中處理點個數(shù)的4倍，列出關(guān)于x的一元一次不等式；（2）找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程6. （2018呼和浩特7分）已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有兩個實數(shù)根x1，x2，請用配方法探索有實數(shù)根的條件，并推導(dǎo)出求根公式，證明x1x2=解：ax2

17、+bx+c=0（a0），x2+x=，x2+x+（）2=+（）2，即（x+）2=，4a20，當b24ac0時，方程有實數(shù)根，x+=±，當b24ac0時，x1=，x2=；當b24ac=0時，x1=x2=；x1x2=，或x1x2=（）2=，x1x2=7. （2018樂山10分）先化簡，再求值：（2m+1）（2m1）（m1）2+（2m）3÷（8m），其中m是方程x2+x2=0的根解：原式=4m21（m22m+1）+8m3÷（8m）=4m21m2+2m1m2=2m2+2m2=2（m2+m1）m是方程x2+x2=0的根，m2+m2=0，即m2+m=2，則原式=2×（21）=27. （2018樂山10分）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2+（15m）x5=0（m0）（1）求證：無論m為任何非零實數(shù)，此方程總有兩個實數(shù)根；（2）若拋物線y=mx2+（15m）x5=0與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且|x1x2|=6，求m的值；（3）若m0，點