中考數(shù)學匯編楊老師二次函數(shù)的綜合難題集錦

1、2012中考數(shù)學匯編 楊老師二次函數(shù)的綜合難題集錦20121223（2012呼和浩特，25）如圖，拋物線(a<0)與雙曲線相交于點A、B，且拋物線經(jīng)過坐標原點，點A的坐標為（2，2），點B在第四象限內(nèi)，過點B作直線BCx軸，點C為直線BC與拋物線的另一交點，已知直線BC與x軸之間的距離是點B到y(tǒng)軸的距離的4倍，記拋物線頂點為E。（1）求雙曲線和拋物線的解析式；（2）計算ABC與ABE的面積；（3）在拋物線上是否存在點D，使ABD的面積等于ABE的面積的8倍。若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由?！窘馕觥慷魏瘮?shù)、反比例函數(shù)綜合題【答案】解：（1）點A（2，2）在雙曲線上k= 4

2、雙曲線的解析式為BC與x軸之間的距離是點B到y(tǒng)軸的距離的4倍可設B點坐標為（m,4m）（M>0）代入雙曲線解析式得m=1拋物線過點A（2，2）、B（1，4）、O（0，0） 解得拋物線的解析式為y= x23x（2）拋物線的解析式為y= x23x頂點E，對稱軸為x=B（1，4）x23x=4解得x1=1,x2= 4C（4，4）SABC=5×6×=15由A、B兩點坐標為（2，2），（1，4）可求得直線AB的解析式為：y= 2x2設拋物線對稱軸與AB交于點F，則F點坐標為（，1）EF=SABE=SAEF+SBEF=××3= （3）SABE=8 SABE=15

3、當點D與點C重合時，顯然滿足條件。當點D與點C不重合時，過點C作AB的平行線CD，其對應的一次函數(shù)解析式為y= 2x12令2x12=x23x解得x1=3,x2= 4(舍)當x=3時，y= 18存在另一點D（3，18）滿足條件?！军c評】（1）利用反比例函數(shù)求點的坐標，并求出拋物線的解析式。（2）中利用解析式求出各個點的坐標，再求三角形的面積。（3）利用同底等高的原理作出平行線，找出另一點并求坐標。（2012湖北武漢，25）如圖1、點A為拋物線C1：y =的頂點，點B的坐標為（1,0），直線AB交拋物線C1于另一點C，（1）求點C的坐標;（2）如圖1,平行于y軸的直線x3交直線AB于點D，交拋物線

4、C于點E，平行于y軸的直線xa交直線AB于F，交拋物線C1于G，若FG：DE4：3,求a的值。（3）如圖2將拋物線C向下平移m（m>0）個單位得到拋物線C2且拋物線C2的頂點為點P交X軸負半軸于點M，交射線BC于點N，NQx軸于點Q，當NP平分MNQ時，求m的值。解析：1、求C點的坐標，可首先利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，聯(lián)立直線與拋物線得到方程組，求解方程組即可；2、根據(jù)題意，DE的長度可求又FG：DE4：3,故可求FG=2即yF-yG=2,把xa代人兩個函數(shù)解析式，用a表示F、G、縱坐標，得到關于a的方程即可；3、解決本題關鍵在于抓住M、P之間的聯(lián)系，可設點M坐標為（t，0），

5、根據(jù)待定系數(shù)法得拋物線C2解析式為y =，即P點坐標為（0，），又直線AB與拋物線C2的交點N坐標為（2-t，2-2t ），從而有NMO=450，進而MN與y軸交點為T（0，-t）,由特殊角三角函數(shù)和線段和差有NT=（2-t）,PT=-t+t2，又PN平分MNQ, NQTP 故MNP=PNQ=TPN ，PT=NT,即-t+t2=(2-t)，從而求得t值，進而求得m.解：（1）當x=0時，y=, A(0，)設直線AB的解析式為y=kx+b,有，解得. 直線AB的 解析式為y=2x-2.由C點為直線與拋物線y =的交點，則點C的橫、縱坐標滿足解得 （舍） 點C的坐標為（4，6）（2）直線x3分別交

6、直線AB和交拋物線C1于D、E兩點。yD=4, yE=, DE= FG：DE4：3FG直線分別交直線AB和拋物線C于F、G兩點。yF=2a-2, yG=a2-2, FG=|2a-a2|=2解得a1=2,a2=2+2,a3=2-2（3）解法一：設直線MN交y軸于T，過點N作NHy軸于點H。設點M坐標為（t，0），拋物線C2 的解析式為y =0= ， y =點P坐標為（0，），點N是直線AB與拋物線y=x2-t2的交點，則點N的橫，縱坐標滿足解得 (舍去) 點N坐標為（2-t，2-2t ）NQ=2-2t ，MQ=NQ, MOT, NHT均為等腰直角三角形，MO=NO,HT=HN,OT=t，NT=N

7、H=（2-t）,PT=-t+t2PN平分MNQ, NQTP MNP=PNQ=TPN PT=NT, -t+t2=(2-t), t1=-2,t2=2(舍去)-2-m=-t2=-(-2)2,m=2解法二，設N坐標為（t,2t-2）,拋物線C2的解析式為y=x2-2-m, 2t-2=t2-2-m點P坐標為（0，+2t-2）同解法一可得MNQ=450，PNQ=MNQ=22.50，過點P作PFNQ于點F，在FN上截取FJ=FP，連線JP，NJJPPFFJNF（）PF，即（t-2）-(-t2+2t-2)=( +1)tt1=2+2,t2=0(舍去), m=t2-2t=2 m=2點評：本題以二次函數(shù)為背景，考察

8、了待定系數(shù)法，函數(shù)與方程組，拋物線與直線所截線段長度的計算，特殊角的三角函數(shù)，平行線、角平分線的性質(zhì)等相關知識，以及數(shù)形結合的數(shù)學思想，1、2問難度不大，2問學生需注意分類討論，也可以對線段的長度加絕對值達到分類討論的效果；3問難度較大，學生不容易找到問題的突破口，學生可以先進行必要的計算，邊算邊找，只要找到NMQ=450，問題就較為明晰了。（2012湖南衡陽市，27）如圖，A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，連接PQ，若設運動時間

9、為t（0t）秒答案如下問題：（1）當t為何值時，PQBO？（2）設AQP的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關系式，并求出S的最大值；若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標（x2x1，y2y1）稱為“向量PQ”的坐標當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標解析：（1）如圖所示，當PQBO時，利用平分線分線段成比例定理，列線段比例式，求出t的值；（2）求S關系式的要點是求得AQP的高，如圖所示，過點P作過點P作PDx軸于點D，構造平行線PDBO，由線段比例關系求得PD，從而S可求出S與t之間的函數(shù)關系式是一個關于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出S的最大值；本問關

10、鍵是求出點P、Q的坐標當S取最大值時，可推出此時PD為OAB的中位線，從而可求出點P的縱橫坐標，又易求Q點坐標，從而求得點P、Q的坐標；求得P、Q的坐標之后，代入“向量PQ”坐標的定義（x2x1，y2y1），即可求解答案：解：（1）A、B兩點的坐標分別是（8，0）、（0，6），則OB=6，OA=8，AB=10如圖，當PQBO時，AQ=2t，BP=3t，則AP=103tPQBO，即，解得t=，當t=秒時，PQBO（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10如圖所示，過點P作PDx軸于點D，則PDBO，即，解得PD=6tS=AQPD=2t（6t）=6tt2=（t）2+5，S與t之間的函數(shù)關系式

11、為：S=（t）2+5（0t），當t=秒時，S取得最大值，最大值為5（平方單位）如圖所示，當S取最大值時，t=，PD=6t=3，PD=BO，又PDBO，此時PD為OAB的中位線，則OD=OA=4，P（4，3）又AQ=2t=，OQ=OAAQ=，Q（，0）依題意，“向量PQ”的坐標為（4，03），即（，3）當S取最大值時，“向量PQ”的坐標為（，3）點評：本題是典型的動點型問題，解題過程中，綜合利用了平行線分線段成比例定理（或相似三角形的判定與性質(zhì)）、勾股定理、二次函數(shù)求極值及三角形中位線性質(zhì)等知識點第（2）問中，給出了“向量PQ”的坐標的新定義，為題目增添了新意，不過同學們無須為此迷惑，求解過程依

12、然是利用自己所熟悉的數(shù)學知識（2012·湖南省張家界市·25題）如同，拋物線與軸交于C、A兩點，與y軸交于點B，OB=4點O關于直線AB的對稱點為D，E為線段AB的中點.（1） 分別求出點A、點B的坐標（2） 求直線AB的解析式（3） 若反比例函數(shù)的圖像過點D，求值.（4）兩動點P、Q同時從點A出發(fā)，分別沿AB、AO方向向B、O移動，點P每秒移動1個單位，點Q每秒移動個單位，設POQ的面積為S，移動時間為t,問：S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值，并求出此時的t值，若不存在，請說明理由.yxBDPAQOC2【分析】（1）求拋物線與x軸的交點的橫坐標，即求函數(shù)值為0時，

13、x的值；（2）利用待定系數(shù)法可求；（3）求出D點的坐標，再代入反比例函數(shù)關系式即可求k值；（4）利用二次函數(shù)的最值求解.【解答】解：（1）令y=0，即-x2+x+2=0，解答x1=-，x2=2.C（-，0），A（2，0）（2）令AB為直線為y=k1x+2，點A（2，0）在直線上，0=K1·2+2，k1=-.AB的解析式為y=-x+2.（3）D點與O點關于AB對稱，OD=OA=2.D點的橫坐標為，縱坐標為3，即D（，3）.因為y=過點D，3=，k=3.（3）AP=t，AQ=t，OQ=2-t.點P到OQ的距離為t.SOPQ=·（2-t）·t=-（t-2）2+.依題意，

14、得0t4，當t=2時，S有最大值為.【點評】本題是考查一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)，由函數(shù)及滿足函數(shù)圖象的點，求出相關點的坐標，然后用待定系數(shù)法，求出拋物線的解析式；再根據(jù)二次函數(shù)的最值求解問題（2012，湖北孝感，25）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a0）與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，三個交點坐標分別是A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)（1）求拋物線的解析式，及頂點D的坐標；（4分）（2）若P為線段BD上的一個動點，過點P作PMx軸于點M，求四邊形PMAC面積的最大值和此時P點的坐標；（4分）（3）若點P是拋物線在第一象限上的一個動點，過點P作PQAC

15、交x軸于點Q，當點P的坐標為_時，四邊形PQAC是平行四邊形；當P點的坐標為_時，四邊形PQAC是等腰梯形（直接寫出結果，不寫求解過程）(4分)【解析】（1）已知了拋物線圖象上的三點坐標，可用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式，進而可用配方法或公式法求得頂點D的坐標（2）設出P點坐標，將四邊形PMAC的面積分為割一個直角三角形和一個直角梯形，在圖形中找到等量關系S四邊形PMAC=SAOC +S梯形COMP，代入三角形面積公式、梯形面積公式，即可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出四邊形PMAC的最大值 【答案】解：（1）因為拋物線y=ax2+bx+c過C(0，3)，當x=0時，c=3 又拋物線y=ax2+bx+c過

16、點A(-1，0)，B(3，0)，解得：拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3又y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，頂點D的坐標是（1，4）（2）設直線BD的解析式為y=kx+n(k0)直線y=kx+n過點B(3，0)，D(1，4)，解得：，直線BD的解析式為y=-2x+6P點在線段BD上，因此，設P點的坐標為（m，-2m+6）,又PMx軸于點M，PM=-2m+6，OM=m又A(-1，0)，C(0，3)，OA=1，OC=3，設四邊形PMAC的面積為S，則S=OA·OC+(PM+OC)·OM=×1×3+(-2m+6+3)·m=，當時，四邊形P

17、MAC的最大面積為此時P點的坐標為（3）(2，3)，（2012四川宜賓，22）如圖，拋物線y=x-2x+c的頂點A在直線l：y=x-5.（1） 求拋物線頂點A的坐標；（2） 設拋物線與y軸交于點B，與x軸交于點C、D（C點在D點的左側），試判斷ABD的形狀；（3） 在直線l上是否存在一點P，使以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由?！窘馕觥浚?）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸方程，由此得到頂點A的橫坐標，然后代入直線l的解析式中即可求出點A的坐標（2）由A點坐標可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)

18、邊長確定三角形的形狀（3）若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，應分AB為對角線、AD為對角線兩種情況討論，即ADPB、ABPD，然后結合勾股定理以及邊長的等量關系列方程求出P點的坐標【答案】解：（1）頂點A的橫坐標為x=1，且頂點A在y=x-5上，當x=1時，y=1-5=-4A（1，-4）（2）ABD是直角三角形。將A（1，-4）代入y=x-2x+c，可得，1-2+c=-4，c=-3y= x-2x-3，B（0，-3）當y=0時，x-2x-3=0，x=-1，x=3C（-1,0）,（3,0）BD+OB+OD=18，AB=（4-3）+1=2，AD=（3-1）+4=20BD+AB=ADAB

19、D=90°，即ABD是直角三角形。（3）存在。由題意知：直線y=x-5交y軸于點E（0，-5），交x軸于點F（5,0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF與OBD都是等腰直角三角形。BDl，即PABD則構成平行四邊形只能是PADB或PABD,如圖，過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線并交于點G.設P（x，x-5），則G（1，x-5）則PG=1- x,AG=5- x-4=1- xPA=BD=3由勾股定理得：（1- x）（1- x）=18，x-2 x-8=0，x=-2或4P（-2，-7）或（4，-1）存在點P（-2，-7）或P（4，-1）使以點A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形

20、?！军c評】題目考查了二次函數(shù)解析式的確定、勾股定理、平行四邊形的判定等基礎知識，綜合性較強；（3）題應注意分類討論，以免漏解 (2012廣安第26)如圖12，在平面直角坐標系xOy中，ABx軸于點B，AB=3，tanAOB=3/4。將OAB繞著原點O逆時針旋轉90o，得到OA1B1；再將OA1B1繞著線段OB1的中點旋轉180o，得到OA2B1，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點B、B1、A2。（1）求拋物線的解析式；（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點P在什么位置時，PBB1的面積最大？求出這時點P的坐標；（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點Q，使點Q到線段BB1的距離為？若存在，求出點

21、Q的坐標；若不存在，請說明理由。思路導引：確定二次函數(shù)解析式，尋找經(jīng)過三點的坐標十分關鍵，運用點繞原點旋轉直角后坐標的變化規(guī)律進行界定，計算動點構造的三角形的面積并且確定最值，因此運用面積構造面積的函數(shù)式，結合得出的函數(shù)形式，運用其性質(zhì)解答；判斷符合某種條件的點的存在性問題，注意三點O、B、B1構成的特殊三角形的性質(zhì)結合圖形信息，確定符合第三象限這一條件的有關面積的方程，通過解方程并且檢驗得出符合題意的解；解析：（1）ABx軸，AB=3，tanAOB=，OB=4，點B坐標是（4，0），B1（0，4），A2（3，0），拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點B、B1、A2， ，解得：a=,b=,

22、c=4,拋物線的解析式是y=x2+x4，（2）點P 是第三象限內(nèi)拋物線y=x2+x4上一點，過點P 作PCx軸，垂足是點C，設點P 的坐標是（m，n），則m0,n0，n=m2+m4，則有PC=n=n=m2m4，OC=m=m，BC=OBOC=4m=4m，SPBB1= SPBCS梯形PB1OCSOBB1=BC×PC（PCOB1）×OC×OB×OB1=×（4m）×（m2m4）×（m2m4）4×（m）×4×4=m2=（m2）2.（3）假設在第三象限的拋物線上存在點Q（x，y），使得點Q到BB1的距離是，

23、過點Q作QDBB1于點D，由（2）可知，這時PBB1的面積可以表示為（x2）2. 在RtO BB1中，BB1=，SPBB1=×BB1×QD=××=2，（x2）2=2，解得：x 的值是1或者是3，當x=1時，y=4，當x=3時，y=2，因此在第三象限內(nèi)，拋物線上存在點Q，使得Q點到線段BB1的距離是，這樣的點Q 的坐標是（1，4）（3，2）；（2012深圳市 22 ）如圖8，已知ABC的三個頂點坐標分別為（1）求經(jīng)過A、B、C三點拋物線的解析式（2）設直線BC交y軸于點E，連接AE，求證：AE=CE圖8-1G圖8（3）設拋物線與y軸交于點D，連接AD交BC

24、于點F，試問以A、B、F為頂點的三角形與ABC相似嗎？請說明理由。【解析】：（1）已知三點的坐標，代入二次函數(shù)的一般式，或利用二次函數(shù)的交點式，求出待定系數(shù)的值。（2）求出直線BC的解析式及點E的坐標，過點C向y軸作垂線，通過計算AE、CE的長來說明AE=CE；（3）抓住是這兩個三角形的公共角，證明它們的夾邊是否對應成比例即可?！窘獯稹浚喝鐖D81（1）解：設拋物線的解析式為圖8-1G在拋物線上，故 為所求（2）過點C作CGy軸于點G，有，設直線BC的解析式為則 解之得：， 故， （3）相似由于，令，則 直線的解析式為： 同理可求直線的解析式為：，有：，解之得：故交點，易求得：可知：，又，故【點

25、評】：幾何與坐標是中考中重點考查的內(nèi)容。本題主要考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，求直線與坐標軸交點的坐標，并能熟練將點的坐標轉換為線段的長，利用勾股定理進行計算。能根據(jù)題目的特點熟練選擇相似三角形的判定定理（2012山西，26，14分）綜合與實踐：如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于AB兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點（1）求直線AC的解析式及BD兩點的坐標；（2）點P是x軸上一個動點，過P作直線lAC交拋物線于點Q，試探究：隨著P點的運動，在拋物線上是否存在點Q，使以點AP、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐

26、標；若不存在，請說明理由（3）請在直線AC上找一點M，使BDM的周長最小，求出M點的坐標【解析】（1）當y=0時，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3點A在點B的左側，AB的坐標分別為（1，0），（3，0）當x=0時，y=3C點的坐標為（0，3）設直線AC的解析式為y=k1x+b1（k10），則，解得，直線AC的解析式為y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，頂點D的坐標為（1，4） （2）拋物線上有三個這樣的點Q，當點Q在Q1位置時，Q1的縱坐標為3，代入拋物線可得點Q1的坐標為（2，3）；當點Q在點Q2位置時，點Q2的縱坐標為3，代入拋物線可得點Q2坐標為（1+，3）；當點Q

27、在Q3位置時，點Q3的縱坐標為3，代入拋物線解析式可得，點Q3的坐標為（1，3）；綜上可得滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）點B作BBAC于點F，使BF=BF，則B為點B關于直線AC 的對稱點連接BD交直線AC與點M，則點M為所求，過點B作BEx軸于點E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B點的坐標為（，）設直線BD的解析式為y=k2x+b2（k

28、20），解得，直線B'D的解析式為：y=x+，聯(lián)立B'D與AC的直線解析式可得：，解得，M點的坐標為（，）【答案】（1）直線AC的解析式為y=3x+3；B的坐標分別為（3，0）；頂點D的坐標為（1，4）（2）滿足題意的點Q有三個，分別為：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1，3） （3）M點的坐標為（，）【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)中用配方法求頂點坐標、與兩坐標軸的交點的求法、待定系數(shù)法求直線解析式、三角形相似的判定及性質(zhì)；平面上兩點之間最短距離的轉化思想、數(shù)形結合思想、分類討論思想等多個知識點和多個初數(shù)的數(shù)學思想的綜合，對考生在知識和能力上均提出了很高的要求，能很好的

29、區(qū)分不同層次的考生，達到拉開不同層次考生差距的目的難度較大（2012山東東營）已知拋物線經(jīng)過A（2，0） 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B（1）求b的值，求出點P、點B的坐標；（2）如圖，在直線 y=x上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；APBxyO（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點M，使AMPAMB？如果存在,試舉例驗證你的猜想；如果不存在，試說明理由【解析】(1)把A（2，0）代入即可求得b的值，配方可求P的坐標，令y=0,解方程可求B的坐標；（2）根據(jù)兩組對邊分平行的四邊形是平行四邊形，求邊所在直線的解析式，然后求出交點D的坐

30、標；（3）可判斷PAB是等邊三角形，因此只要作PAB的平分線交拋物線于M點即為所求的點?！敬鸢浮拷猓海?）由于拋物線經(jīng)過A（2，0），所以，解得，所以拋物線的解析式為.（*），將（*）配方，得，所以頂點P的坐標為（4，-2）.令y=0，得，解得. 所以點B的坐標是（6，0）. （2）在直線 y=x上存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形. 理由如下：設直線PB的解析式為+b，把B（6,0）,P(4,-2)分別代入，得 解得所以直線PB的解析式為.又直線OD的解析式為，所以直線PBOD. 設直線OP的解析式為，把P(4,-2)代入，得，解得.如果OPBD，那么四邊形OPBD為平行四邊形.設直線B

31、D的解析式為，將B(6,0)代入，得0=，所以所以直線BD的解析式為，解方程組得所以D點的坐標為（2,2）（3）符合條件的點M存在.驗證如下：過點P作x軸的垂線，垂足為為C，則PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以APB是等邊三角形，只要作PAB的平分線交拋物線于M點，連接PM,BM,由于AM=AM, PAM=BAM,AB=AP，可得AMPAMB.因此即存在這樣的點M,使AMPAMB.【點評】綜合考查了二次函數(shù)、平行四邊形、特殊三角形的性質(zhì)，熟練掌握所學知識，并能融會貫通，運用數(shù)形結合的思想去解題。APBxyOCMD（2012，黔東南州）如圖，已知拋物線經(jīng)過點

32、A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三點。（1）、求拋物線的解析式。（2）、點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN軸交拋物線于N若點M的橫坐標為，請用的代數(shù)式表示MN的長。（3）、在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在點，使BNC的面積最大？若存在，求的值，若不存在，說明理由。點的縱坐標解析：(1)我們可以設一般式：或坐標式：，（2）MN的長即N點的縱坐標減M點的縱坐標的值（3）因為，所以當最大時，BNC的面積最大.解：（1）設拋物線方程為：，把A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）D三點代入方程得，（2）設直線BC:把B（3，0）、C（0，3）代入得，.又（3），

33、當最大時，BNC的面積最大.，所以當時，BNC的面積最大為：. 點評：本題考查了二次函數(shù)和幾何知識的綜合應用，難度較大.（2012山東萊蕪）如圖，拋物線的頂點坐標為，并且與y軸交于點C，與x軸交于兩點A,B.(1) 求拋物線的表達式；(2) 設拋物線的對稱軸與直線BC交于點D，連結AC、AD, 求ACD的面積；（3）點E位直線BC上一動點，過點E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點F.問是否存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似.若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意可設拋物線的表達式為.點C在拋物線上，解得.拋物線的表達式為，即（2）令，即，解得，.設

34、BC的解析式為將代入得，解得.直線BC的解析式為當時，.所以(3) 假設存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似，BCO是等腰直角三角形，則以D、E、F為頂點的三角形也必須是等腰直角三角形.由EFOC得DEF=45°，故以D、E、F為頂點的等腰直角三角形只能以點D、F為直角頂點 點F為直角頂點時，DFEF，此時DEFBCO，所以DF所在的直線為由，解得將代入，得，將代入，得， 當D為直角頂點時，DFED，此時EFDBCO.點D在對稱軸上，DA=DB ，CBA=45°，DAB=45°,ADB=90°,ADBC,故點在直線AD上設直線AD的解析式

35、為將代入得：，解得，所以直線AD的解析式為，由，解得。將代入，得，將代入，得，.綜上所述，點E的坐標可以是，【答案】（1）拋物線的表達式為，即；（2）2；（3）存在點E，使得以D、E、F為頂點的三角形與BCO相似，點E的坐標可以是，【點評】本題考查的知識點有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一元二次方程的解法，和差法計算三角形的面積，關于三角形相似的分類討論?？疾榈闹R點全面，考查了學生綜合利用所學知識分析問題和解決問題的能力。此類問題通常前兩個小題簡單，最后一小題難度較大. (2012廣東汕頭)如圖，拋物線y=x2x9與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，連接BC、AC（1）求AB和OC的長；（2）點

36、E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作直線l平行BC，交AC于點D設AE的長為m，ADE的面積為s，求s關于m的函數(shù)關系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，連接CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結果保留）分析：（1）已知拋物線的解析式，當x=0，可確定C點坐標；當y=0時，可確定A、B點的坐標，進而確定AB、OC的長（2）直線lBC，可得出AED、ABC相似，它們的面積比等于相似比的平方，由此得到關于s、m的函數(shù)關系式；根據(jù)題干條件：點E與點A、B不重合，可確定m的取值范圍（3）首先用m列出AEC的面積表達式，

37、AEC、AED的面積差即為CDE的面積，由此可得關于SCDE、m的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得到SCDE的最大面積以及此時m的值；過E做BC的垂線EF，這個垂線段的長即為與BC相切的E的半徑，可根據(jù)相似三角形BEF、BCO得到的相關比例線段求得該半徑的值，由此得解解答：解：（1）已知：拋物線y=x2x9；當x=0時，y=9，則：C（0，9）；當y=0時，x2x9=0，得：x1=3，x2=6，則：A（3，0）、B（6，0）；AB=9，OC=9（2）EDBC，AEDABC，=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0m9）（3）解法一：SABC=AEOC=m×9=m，SCDE=SABCSA

38、DE=mm2=（m）2+0m9，當m=時，SCDE取得最大值，最大值為此時，BE=ABAE=9=記E與BC相切于點M，連接EM，則EMBC設E的半徑為r在RtBOC中，BC=BOC=EBM，COB=EMB=90°BOCBME，=，=，r=所求E的面積為：（）2=解法二：SABC=AEOC=m×9=m，SCDE=SAECSADE=mm2=（m）2+0m9，當m=時，SCDE取得最大值，最大值為此時，BE=ABAE=9=SEBC=SABC=如圖2，記E與BC相切于點M，連接EM，則EMBC，設E的半徑為r在RtBOC中，BC=SEBC=BCEM，×r=，r=所求E的面

39、積為：（）2=點評：該題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法等綜合知識在解題時，要多留意圖形之間的關系，有些時候將所求問題進行時候轉化可以大大的降低解題的難度（2012廣州市，24）如圖9，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C。（1）求點A、B的坐標；（2）設D為已知拋物線的對稱軸上的任意一點，當ACD的面積等于ACB的面積時，求點D的坐標；（3）若直線l過點E（4，0），M為直線l上一動點，當以A、B、M為頂點所作的直角三角形有且只有三個時，求直線l解析式。 【解析】（2）分點D在直線AC的上方與下方分別求出點D的坐標。（3）直角頂點在、B時過

40、點E的直線有無數(shù)條，而以M為直角頂點過點E的直線只有一條，就是過點E與以AB為直徑的圓相切的直線，從而列方程求出點M的坐標，確定直線的解析式?！敬鸢浮拷猓海?）令y=0，則，解得，A（-4，0），B（2，0）（2）拋物線的對稱軸為x1，與y軸交點C的坐標為（0，3） 直線AC的解析式為，且當x1時，有 直線AC與對稱軸x1的交點坐標為（1，）AB6，CO3ACB的面積為：9 不妨設點D的坐標為（1，a），當點D位于AC上方時，ACD的面積為：9；解方程得：當點D位于AC下方時，ACD的面積為：9；解方程得：點D的坐標為或（3）如下圖，以AB為直徑作P，當且僅當直線l與P相切時符合題意，RtPM

41、E中，PME90°，PM3，PE5，由勾股定理可得：=4；利用三角形相似可以求得點M的坐標設直線l的解析式為：，代入、E（4，0）可得方程組；解方程組得： 直線l的解析式為：同理可得：直線l的另一個解析式為：?！军c評】：本題2、3問難度較大，關鍵是找到問題的突破口，找到三角形面積的求法，根據(jù)面積相等列出方程求點D的坐標。注意分類討論解決。第三問用到了輔助圓，直徑所對的圓周角是直角，確定點M的坐標。（2012湖南益陽，20）已知：如圖，拋物線與軸交于點A（，0）和點B，將拋物線沿軸向上翻折，頂點P落在點P（1，3）處（1）求原拋物線的解析式；（2）學校舉行班徽設計比賽，九年級5班的小明

42、在解答此題時頓生靈感：過點P作軸的平行線交拋物線于C、D兩點，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設計成一個“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠；而且小明通過計算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比（約等于0.618）請你計算這個“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：，結果可保留根號）【解析】（1）題圖中所給出的拋物線有兩個未知系數(shù)，需要代兩個點的坐標；所以得出兩個點的坐標是關鍵；圖中P與P是關于軸對稱，就得到P，把點和P點代入即得：解得拋物線的解析式為 ，即（2）“W”圖案的高為P的縱坐標，即高是3 ；寬為CD的

43、長；因為CD平行于軸，點P在CD上，所以C、D兩點的縱坐標是3 ；把縱坐標代入得， 所以得到 C、D兩點的坐標分別為(，3) ，(，3)線段CD= 則可以求出“W”圖案的高與寬(CD)的比=（或約等于0.6124）【答案】解:P與P(1，3) 關于x軸對稱，P點坐標為(1，3) ； 2分拋物線過點A（，0），頂點是P(1，3) ，；3分解得；4分則拋物線的解析式為， 5分即. CD平行x軸，P(1，3) 在CD上，C、D兩點縱坐標為3； 6分由得：，7分C、D兩點的坐標分別為(，3) ，(，3)CD= 8分“W”圖案的高與寬(CD)的比=（或約等于0.6124）10分【點評】本題考查考生對用待

44、定系數(shù)法求拋物線的解析式的掌握程度；考查直角坐標系中點與點坐標關于坐標軸對稱的變化的掌握；考查在拋物線上對具體問題的分析、理解，得出解決問題的方法和途徑。難度中等。（2012四川省資陽市，25）拋物線的頂點在直線上，過點F的直線交該拋物線于點M、N兩點（點M在點N的左邊），MA軸于點A，NB軸于點B（1）(3分)先通過配方求拋物線的頂點坐標（坐標可用含的代數(shù)式表示），再求的值；（2）(3分)設點N的橫坐標為，試用含的代數(shù)式表示點N的縱坐標，并說明NFNB；（3）(3分)若射線NM交軸于點P，且PA×PB，求點M的坐標（第25題圖）【解析】（1）用配方法將配成頂點式，得出頂點的坐標，再

45、由點在直線上，求出=2.（2）過點F作FCNB于點C，設點N(,)，在RtFCN中，F(xiàn)C=+2，NC=NB-CB=,=，NF=NB（3）連結AF、BF，易證PFAPBF，=，過點F作FG軸于點G,在RtPFG中，PG=，PO=PG+GO=，P( , 0) 再由待定系數(shù)法求出：直線PF：，由兩函數(shù)解析式聯(lián)立方程，得=3或=2（不合題意，舍去）當=3時，=，M（3 ,）【答案】（1）1分頂點坐標為(2 , )2分頂點在直線上，2+3=，得=23分（2）點N在拋物線上，點N的縱坐標為4分即點N(,)過點F作FCNB于點C，在RtFCN中，F(xiàn)C=+2，NC=NB-CB=,=5分而=，NF=NB6分（3

46、）連結AF、BF由NF=NB，得NFB=NBF，由（2）的結論知，MF=MA，MAF=MFA,MA軸，NB軸，MANB,AMF+BNF=180°MAF和NFB的內(nèi)角總和為360°,2MAF+2NBF=180°，MAF+NBF=90°,MAB+NBA=180°，F(xiàn)BA+FAB=90°又FAB+MAF=90FBA=MAF=MFA 又FPA=BPF，PFAPBF，= 7分過點F作FG軸于點G,在RtPFG中，PG=，PO=PG+GO=，P( , 0) 設直線PF：，把點F（2 , 2）、點P( , 0)代入解得=，=，直線PF：8分解方程，

47、得=3或=2（不合題意，舍去）當=3時，=，M（3 ,）9分【點評】本題以拋物線為載體，考查了初中數(shù)學的主干知識：函數(shù)、方程；考查了學生綜合運用數(shù)學知識以及運用轉化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想解決問題的能力；考查了待定系數(shù)法、配方法等數(shù)學方法.試題入口寬,三個小題層層深入,有一定的梯度,第(2)小題學生易從全等的方式考慮線段相等,而造成思路上的短路,第(3)小題是本卷的制高點,對學生要求較高,具有很好的區(qū)分度.由一次函數(shù)與二次函數(shù),連接著方程,試題呈現(xiàn)方式新穎,難度較大.ABxyO第25題圖（2012貴州貴陽，25）如圖，二次函數(shù)y=x2-x+c的圖象與x軸分別交于A,B兩點，頂點M關于x軸的對稱點是M.（1）若A(-4，0)，求二次函數(shù)的關系式；（4分）（2）在（1）的條件下，求四邊形AMBM的面積；（4分）（3）是否存在拋物線y=x2-x+c，使得四邊形AMBM為正方形，若存在，請求出此拋物線的關系式；若不存在，請說明理由. （4分）解析：（1）把A(-4，0)代入解析式即得；（2）顯然ABMABM，所以先求出頂點M的坐標，求出ABM的面積，即可得四邊形AMBM的面積；（3）不難證明四邊形AMBM是棱形，故當MM=AB時四邊形AMBM為正方形.解：（1）把A(-4，0)代入y=x2-