高考數(shù)學第二輪專題復習----探索性專題

1、高考中的探索性問題一、高考大綱剖析2003年以前數(shù)學考試說明中能力要求沒有創(chuàng)新意識。2004年數(shù)學考試說明：能力要求中指出，能力是指思維能力、運算能力、空間想象能力以及實踐能力和創(chuàng)新意識。其中創(chuàng)新意識指對新穎的信息、情境和設問，選擇有效的方法和手段收集信息，綜合與靈活地應用所學的數(shù)學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創(chuàng)造性地解決問題.命題基本原則中指出，創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力是理性思維的高層次表現(xiàn).在數(shù)學學習和研究過程中知識的遷移、組合、融匯的程度越高，展示能力的區(qū)域就越寬泛，顯現(xiàn)出的創(chuàng)造意識也就越強.命題時要注意試題的多樣性，設計考查數(shù)學主體內(nèi)容，體現(xiàn)數(shù)學素質的題

2、目；反映數(shù)、形運動變化的題目；研究型、探索型或開放型的題目.讓考生獨立思考，自主探索，發(fā)揮主觀能動性，研究問題的本質，尋求合適的解題工具.梳理解題程序，為考生展現(xiàn)其創(chuàng)新意識，發(fā)揮創(chuàng)造能力，創(chuàng)設廣闊的空間.2005年數(shù)學考試大綱（必修+選I）：能力要求中創(chuàng)新意識增加了：創(chuàng)新意識是理性思維的高層次表現(xiàn)。對數(shù)學問題的“觀察、猜測、抽象、概括、證明”，是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑，對數(shù)學知識的遷移、組合、融會的程度越高，顯示出的創(chuàng)造意識也就越強?？疾橐笾赋鰧?chuàng)新意識的考查是對高層次理性思維的考查。在考試中創(chuàng)設比較新穎的問題情境,構造有一定深度和廣度的數(shù)學問題,要注重問題的多樣化,體現(xiàn)思維的發(fā)散性。

3、精心設計考察數(shù)學主體內(nèi)容,體現(xiàn)數(shù)學素質的試題;反映數(shù)、形運動變化的試題;研究型、探索型、開放型的試題。兩年考試大綱對比，說明今年高考對學生創(chuàng)新意識要求更高，近幾年高考試題中對這方面考查主要通過探索性問題來實現(xiàn)的。那么什么是探索性問題呢?如果把一個數(shù)學問題看作是由條件、依據(jù)、方法和結論四個要素組成的一個系統(tǒng)，那么把這四個要素中有兩個是未知的數(shù)學問題稱之為探索性問題.條件不完備和結論不確定是探索性問題的基本特征.二、高考試題研究高考中的探索性問題主要考查學生探索解題途徑，解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，是命題者根據(jù)學科特點，將數(shù)學知識有機結合并賦予新的情境創(chuàng)設而成的，要求考生自己觀察、分析、創(chuàng)造性地運用

4、所學知識和方法解決問題.由于這類題型沒有明確的結論，解題方向不明，自由度大，需要先通過對問題進行觀察、分析、比較、概括后方能得出結論，再對所得出的結論予以證明其難度大、要求高，是訓練和考查學生的創(chuàng)新精神，數(shù)學思維能力、分析問題和解決問題能力的好題型近幾年高考中探索性問題分量加重，在選擇題、填空題、解答題中都已出現(xiàn)如2003年高考江蘇卷第16題（立幾）、第20題（解幾）；2003年高考全國卷第15題（立幾）、第22題（解幾）；2003年高考上海卷第12題（填空題，解幾）、第21題（）（解幾）、第22題（理：集合與函數(shù)，文：數(shù)列與組合數(shù)）；2004年高考江蘇卷第6題（統(tǒng)計圖）、第13題（表格）；2

5、004年高考上海卷第12題（填空題，數(shù)列）、第16題（選擇題，招聘信息表）、第21題（3）（立幾）、第22題（3）（圓錐曲線）；2004年高考北京卷第14題（填空題，數(shù)列）、第20題（不等式證明）；2004年高考福建卷第15題（概率）、第21題（）（導數(shù)與不等式）；2005年春季高考上海卷第9題（數(shù)列）、第16題（函數(shù)）、第21題（2）（函數(shù)與直線）、第22題（3）（橢圓）等。題目設計背景新穎，綜合性強,難度較大，是區(qū)分度較高的試題，基本上都是每份試卷的壓軸題。 高考常見的探索性問題，就其命題特點考慮，可分為歸納型、題設開放型、結論開放型、題設和結論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題其中結論

6、開放型探索性問題的特點是給出一定的條件而未給出結論，要求在給定的前提條件下，探索結論的多樣性，然后通過推理證明確定結論;題設開放型探索性問題的特點是給出結論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結論的前提下，探索結論成立的條件，但滿足結論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對整個問題而言只要是充分的、相容的、獨立的就視為正確的；全開放型，題設、結論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來。三、高考復習建議1.復習建議：（1）在第二輪復習的過程中要重視對探索性問題的專題訓練,題型要多樣化,題目涉及的

7、知識覆蓋面盡量廣一些，難度由淺入深;（2）近幾年高考探索性問題重點出在函數(shù)、數(shù)列、不等式、立體幾何和解析幾何,今年高考這些內(nèi)容還是出探索性問題的熱點（特別是解答題）,應加強對這些內(nèi)容的研究；（3）注意總結探索性問題的解題策略。2.解題策略：解探索性問題應注意三個基本問題:認真審題,確定目標;深刻理解題意;開闊思路,發(fā)散思維,運用觀察、比較、類比、聯(lián)想、猜想等帶有非邏輯思維成分的合理推理,以便為邏輯思維定向.方向確定后,又需借助邏輯思維,進行嚴格推理論證,這兩種推理的靈活運用,兩種思維成分的交織融合,便是處理這類問題的基本思想方法和解題策略解決探索性問題，對觀察、聯(lián)想、類比、猜測、抽象、概括諸方

8、面有較高要求，高考題中一般解這類問題有如下方法：(1)直接法：直接從給出的結論入手，尋求成立的充分條件；直接從給出的條件入手，尋求結論；假設結論存在（或不存在），然后經(jīng)過推理求得符合條件的結果（或導出矛盾）等 例1.如圖，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，當?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時，有A1CB1D1（注：填上你認為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情況）分析：本題是條件探索型試題，即尋找結論A1CB1D1成立的充分條件，由AA1平面A1C1以及A1CB1D1（平面A1C1的一條斜線A1C與面內(nèi)的一條直線B1D1互相垂直），容易聯(lián)想到三垂線定理及其逆定理。因此，欲使A1CB1D1，只需

9、B1D1與CA1在平面A1C1上的射影垂直即可。顯然，CA1在平面A1C1上的射影為A1C1，故當B1D1A1C1時，有A1CB1D1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，從而B1D1BD，A1C1AC。因此，當BDAC時，有A1CB1D1。由于本題是要探求使A1CB1D1成立的充分條件，故當四邊形ABCD為菱形或正方形時，依然有BDAC，從而有A1CB1D1，故可以填：ACBD或四邊形ABCD為菱形，或四邊形ABCD為正方形中的任一個條件即可。 點評: ACBD是結論A1CB1D1成立的充要條件，而所填的ABCD是正方形或菱形則是使結論A1CB1D1成立的充分而不必要的條件 本例中，滿足題意

10、的充分條件不唯一，具有開放性特點，這類試題重在考查基礎知識的靈活運用以及歸納探索能力。例2.（2000年全國高考試題）如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是_（要求把可能的圖形的序號都填上）分析：本題為結論探索型的試題，要求有一定的空間想象能力。解：由于正方體的6個面可分為互為平行的三對，而四邊形BFD1E的在互為平行的平面上的射影相同，因此可把問題分為三類：a：在上、下兩面上的射影為圖；b：在前、后兩面上的射影為圖；c：在左、右兩面上的射影為圖.綜上可知，在正方體各面上的射影是圖或圖。點評：這也是一道結論探索型問題，結論

11、不唯一，應從題設出發(fā)，通過分類以簡化思維，再利用射影的概念，得到正確的結論。例3.已知函數(shù)(a,cR,a0,b是自然數(shù)）是奇函數(shù)，f(x)有最大值，且f(1).（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）是否存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，并且使得P、Q兩點關于點（1，0）對稱，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由.分析:本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、最值問題、直線方程及綜合分析問題的能力.解：（1）f(x)是奇函數(shù)f(x)=f(x)，即，bx+c=bxc，c=0f(x)=.由a0，b是自然數(shù)得當x0時，f(x)0，當x0時，f(x)0，f(x)的最大值在x0時取得.x0時，當

12、且僅當即時，f(x)有最大值=1,a=b2 又f(1)，,5b2a+2 把代入得2b25b+20解得b2，又bN,b=1,a=1,f(x)=（2）設存在直線l與y=f(x)的圖象交于P、Q兩點，且P、Q關于點（1，0）對稱，P(x0,y0)則Q（2x0,y0)，,消去y0，得x022x01=0解之，得x0=1±,P點坐標為()或()進而相應Q點坐標為Q（）或Q().過P、Q的直線l的方程：x4y1=0即為所求.點評：充分利用題設條件是解題關鍵.本題是存在型探索題目，注意在假設存在的條件下推理創(chuàng)新，若由此導出矛盾，則否定假設，否則，給出肯定的結論，并加以論證.（2）觀察猜測證明例4.觀

13、察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=,sin215°+cos245°+sin15°cos45°=，寫出一個與以上兩式規(guī)律相同的一個等式 .答案：sin2+cos2(+30°)+sincos(+30°)=例5.（2003高考上海卷）已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項是a1，公比為q的等比數(shù)列. （1）求和：（2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明.（3）設q1，Sn是等比數(shù)列的前n項和，求：解:（1）（2）歸納概括的結論為：若數(shù)列是首項為a1，公比為q的等

14、比數(shù)列，則（3）因為 例6.由下列各式：你能得出怎樣的結論，并進行證明.分析：對所給各式進行比較觀察，注意各不等式左邊的最后一項的分母特點：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，一般的有2n-1，對應各式右端為一般也有.解：歸納得一般結論證明：當n=1時，結論顯然成立.當n2時，故結論得證.（3）特殊一般特殊：其解法是先根據(jù)若干個特殊值，得到一般的結論，然后再用特殊值解決問題。例7.設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c (a,b,cR,a0)滿足條件：當xR時，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；當x(0,2)時，f(x)f(x)在R上的最小值為0。求最大值m(m&g

15、t;1)，使得存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x分析：本題先根據(jù)題設求出函數(shù)f（x）解析式，然后假設t存在，取x=1得t的范圍，再令x=m求出m的取值范圍，進而根據(jù)t的范圍求出m的最大值。解法一：f(x-4)=f(2-x)，函數(shù)的圖象關于x= -1對稱 即b=2a由知當x= -1時,y=0，即a-b+c=0；由得 f(1)1，由得 f(1)1.f(1)=1，即a+b+c=1，又a-b+c=0a= b= c= ，f(x)= 假設存在tR，只要x1,m，就有f(x+t)x取x=1時，有f(t+1)1(t+1)2+(t+1)+1-4t0對固定的t-4,0，取x=m，有f(t+m)m(t+m)

16、2+(t+m)+mm2-2(1-t)m+(t2+2t+1)0m m=9當t= -4時，對任意的x1,9，恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0m的最大值為9. 解法二：f(x-4)=f(2-x)，函數(shù)的圖象關于x=-1對稱 b=2a由知當x= -1時,y=0，即a-b+c=0；由得 f(1)1，由得 f(1)1f(1)=1，即a+b+c=1，又a-b+c=0a= b= c=f(x)=(x+1)2 由f(x+t)=(x+t+1)2x 在x1,m上恒成立 4f(x+t)-x=x2+2(t-1)x+(t+1)20當x1,m時，恒成立 令 x=1有t2+4t0-4t0令x=

17、m有t2+2(m+1)t+(m-1)20當t-4,0時，恒有解 令t= -4得，m2-10m+901m9即當t= -4時，任取x1,9恒有f(x-4)-x=(x2-10x+9)=(x-1)(x-9)0 mmin=9點評：本題屬于存在性探索問題，處理這道題的方法就是通過x的特殊值得出t的大致范圍，然后根據(jù)t的范圍，再對x取特殊值，從而解決問題。（4）聯(lián)想類比例8.在平面幾何里，有勾股定理：“設ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐ABCD的三個側面ABC、ACD、ADB

18、兩兩相互垂直，則.”例9.若數(shù)列an是等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足bn=，則bn也為等差數(shù)列.類比上述性質，相應地，若數(shù)列cn是等比數(shù)列，且cn>0，數(shù)列dn滿足dn= ，則數(shù)列dn也為等比數(shù)列. 答案：dn=（nN*）例10.(2003年上海市春季高考題）設，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得的值是 分析：利用f（1-x）+f（x）=，可求=（5）賦值推斷例11.（2004年高考上海卷16）某地2004年第一季度應聘和招聘人數(shù)排行榜前5個行業(yè)的情況列表如下行業(yè)名稱計算機機械營銷物流貿(mào)易應聘人數(shù)2158302002501546767457065280行業(yè)名稱計算機營銷機械建筑化

19、工招聘人數(shù)124620102935891157651670436若用同一行業(yè)中應聘人數(shù)與招聘人數(shù)比值的大小來衡量該行業(yè)的就業(yè)情況,則根據(jù)表中數(shù)據(jù),就業(yè)形勢一定是（ B ） A計算機行業(yè)好于化工行業(yè) B建筑行業(yè)好于物流行業(yè). C機械行業(yè)最緊張. D營銷行業(yè)比貿(mào)易行業(yè)緊張例12.（2004年高考江蘇卷）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(xR)的部分對應值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406則不等式ax2+bx+c>0的解集是.（6）幾何意義法幾何意義法就是利用探索性問題的題設所給的數(shù)或式的幾何意義去探索結論，由于數(shù)學語言的抽象性，有些探索性問題的題設表述不易理解，在解題時若能積極地考慮題設中數(shù)或式的幾何意義所體現(xiàn)的內(nèi)在聯(lián)系，巧妙地轉換思維角度，將有利于問題的解決。例13.設x、y為實數(shù)，集合A(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|16x2+8x2y+5=0,C=(x,y)|ykx+b，問是否存在自然數(shù)k,b使（AB）C？分析：此題等價于是否存在自然數(shù)k，b，使得直線ykx+b