小升初數(shù)學典型例題

1、典型應用題【平均數(shù)問題】例1小強騎自行車從甲地到乙地，去時以每小時15千米的速度前進, 回時以每小時30千米的速度返回。小強往返過程中的平均速度是每小時 多少千米？（江西省第二屆“八一杯”小學數(shù)學競賽試題）講析：我們不能用（15+30） +2來計算平均速度，因為往返的時間 不相等。只能用“總路程除以往返總時間”的方法求平均速度。設甲乙兩地全長為單位.1 ”,則去時所用時間是1+15=1;返回的時間是親。所以，往返的平均速度是每小時+（1 + A）=20（千米）。1J JU例2動物園的飼養(yǎng)員給三群猴子分花生。如果只分給第一群，則每 只猴子可得12粒；如果只分給第二群，則每只猴子可得15粒；如只分

2、給 第三群，則每只猴子可得20粒。那么平均分給三群猴子，每只猴子可得 B。（北京市第八屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽試題）講析：設花生總粒數(shù)為單位“1”，由題意可知，第一、二、三群猴子的只數(shù).分別相當于花生總數(shù)的 1和、于是可知，把所有花生分給這三群猴子，平均每只可得花生例3某班在一次數(shù)學考試中，平均成績是 78分，男、女生各自的平 均成績是75.5分和81分。問：這個班男、女生人數(shù)的比是多少？（全國第三屆“華杯賽”決賽第二試試題）講析：因男生平均比全班平均少2.5分，而女生平均比全班平均的多 3分，故可知2.5 X男生數(shù)=3X女生數(shù)。2.6 ： 3二女生數(shù)：男生數(shù)即男生數(shù)：女生數(shù)=6:5。例4某次

3、數(shù)學競賽原定一等獎10人，二等獎20人，現(xiàn)在將一等獎 中最后4人調(diào)整為二等獎，這樣，得二等獎的學生平均分提高了 1分，得 一等獎的學生的平均分提高了 3分。那么，原來一等獎平均分比二等獎平 均分多 分。（1994年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：設原來一等獎每人平均是a分。二等獎每人平均是b分。則有:10a+20b=6X （a+3） +24x （b+1）即:a-b=10. 5也就是一等獎平均分比二等獎平均分多 10.5分?！拘谐虇栴}】例1甲每分鐘走50米，乙每分鐘走60米，內(nèi)每分鐘走70米，甲乙 兩人從A地，內(nèi)一人從B地同時相向出發(fā)，內(nèi)遇到乙后 2分鐘又遇到甲， A、B兩地相柜米。（199

4、0年小學生報小學數(shù)學競賽試題）講析：如圖5.30,當乙丙在D點相遇時，甲已行至C點?？上惹蟪?乙、兩相遇的時間，也就是乙行距離 AD的時間。圖 5.30乙每分鐘比甲多走10米，多少分鐘就多走了 CD呢？而CD的距離, 就是甲、丙2分鐘共行的距離：（70+50） X 2=240休）。于是可知，乙行 AD的時間是240+10=24 （分鐘）。所以，AB兩地相距米數(shù)是（70+60） X 24=3120 （米）例2在一條公路上，甲、乙兩個地點相距600米，張明每小時行走4 千米，李強每小時行走5千米。8點整，他們兩人從甲、乙兩地同時出發(fā) 相向而行，1分鐘后他們都調(diào)頭反向而行，再過 3分鐘，他們又調(diào)頭相

5、向 而行，依次按照1、3、5、7（連續(xù)奇數(shù)）分鐘數(shù)調(diào)頭行走。那么， 張、李兩個人相遇時是8點分。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克競賽初賽試題） 講棺 無論是相向還是反向行走，每分鐘兩人共同走了之+於=415（千米）=150 （米）他倆相向走（1+5）分鐘，反向走（3+7）分鐘后兩人相距：600+150 X（ 3+7） - （1+5）=1200 （米）所以，只要再相向行走1200+150=8 （分鐘），就可以相遇了。從而 可知，相遇所需要的時間共是1+3+5+7+7+8=24 （分鐘）也就是相遇時是8點24分。例3快、中、慢三輛車同時從同一地點出發(fā)，沿同一公路追趕前面 的一個騎車人。這三輛車分別

6、用 6分鐘，10分鐘、12分鐘追上騎車人。 現(xiàn)在知道快車每小時走24千米，中車每小時走20千米，那么，慢車每小 時走多少千米？（全國第一屆“華杯賽”決賽第二試試題）講析：如圖5.31所示，A點是三車的出發(fā)點，三車出發(fā)時騎車人在 B 點，A1、A2、A3分別為三車追上騎車人的地點?？?AI：iA1中忸一La：圖5 .第快車6分鐘行MX = 24 （千米）中車1吩鐘行仟粕.所以騎車人的速度是每小時行.（4-2.4）- （上之） jou bu二14 （千粕,騎車人在快車出發(fā)后6分鐘共行14 X2=14 （千米）.這段時間 ou快車走完2.4千米追上了他。由此可見三輛車出發(fā)時，騎車人已走的路程 是AB

7、=2.4-1.4=1 （千米）。所以，慢車的速度是：11P每小時走+有X ）-前=19（千米）°6UoU例4 一輛車從甲地開往乙地。如果把車速提高 20%,可以比原定時 問提前一小時到達；如果以原速行駛 120千米后，再將速度提高25%。 則可提前40分鐘到達。那么，甲、乙兩地相距 千米。（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：首先必須考慮車速與時間的關系。因為車速與時間成反比，當車速提高 20%時，所用時間縮短為原來 的=5/6.所以原速行班全程需用m L =6 （小時）0L十*4v同理，當車速提高25%時，所用時間縮短為原來的3.如果從開始就提高車速，行完全程就可提前；6

8、乂 Cl-1） =11（小時）o現(xiàn)在只提前40分鐘，少提前了 q一 £ =且（小時），這是j 601 j因為前120千米是按原速行駛.即若提高車速25%行120千米就可以提 前2小時巾1 夕所以，甲乙兩地相距120乂寧儲270 （千米）.例5游船順流而下每小時行8千米，逆流而上每小時行7千米，兩 船同時從同地出發(fā)，甲船順流而下，然后返回。乙船逆流而上，然后返回， 經(jīng)過2小時同時回到出發(fā)點，在這2小時中，有小時甲、乙兩船的航行方向相同。（上海市第五屆小學數(shù)學競賽初賽試題）講析：關鍵是要理解上行與下行時間各占全部上下行總時間的百分之 幾。因為兩船2小時同時返回，則兩船航程相等。又上行船速

9、是每小時行 7千米，下行船速是每小時行8千米，說明上行時間是下行時間的則下 行時間是2乂廠=二（小時），上行時間是小時。所以可知，甲，乙 兩船航行方向相同時間是*卷=卷（小時）.例6甲、乙兩車分別從A、B兩城同時相向而行，第一次在離 A城 30千米處相遇。相遇后兩車又繼續(xù)前行，分別到達對方城市后，又立即 返回，在離A城42千米處第二次相遇。求 A、B兩城的距離。（小學生科普報小學數(shù)學競賽預選賽試題）講析：如圖5.32所示。兩車第一次在C地相遇，第二次在D地相遇。aU 乙I5.32甲、乙兩車從開始到第一次 C點相遇時，合起來行了一個全程。此時 甲行了 30千米，從第一次相遇到第二次 D點相遇時，

10、兩車合起來行了兩 個全程。在這兩個全程中，乙共行（30+42）千米，所以在合行一個全程 中，乙行（30+ 42） +2=36 （千米）,即A、B兩城的距離是30 + 36=66 （千米）。例8甲、乙兩車分別從A、B兩地出發(fā)，在A、B之間不斷往返行駛， 已知甲車的速度是每小時15千米，乙車的速度是每小時35千米，并且甲、乙兩車第三次相遇（兩車同時到達同一地點叫相遇）的地點與第四次相遇 的地點恰好相距100千米。那么A B兩地的距離等于千米。（1993年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：根據(jù)甲、乙兩車的速度比為 3： 7,我們可將A B兩地平均分 成10份（如圖5.33）。一，一女n飛.乘飛氣看

11、入f圉5 33因為甲、乙兩車速度之比為3： 7,所以甲每走3份，乙就走了 7份。 于是它們第一次在a3處相遇。甲再走4.5份，乙走10.5份，在a7與28之 中點處甲被乙追上，這是第二次相遇；甲再又走 1.5份，乙走3.5份，在 a9點第三次兩車相遇；甲走6份，乙走14份在a5點第四次兩車相遇。力與町相距10。千米，所以，A E兩地之間相距100+宗= 250（千米）O例9在400米環(huán)形跑道上，A、B兩點相距100米（如圖5.34）。甲、乙兩人分別從A、B兩點同時按逆時針方向跑步。甲每秒跑 5米，乙 每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘，那么，甲追上乙需要 秒鐘。民 久生%普比%也弱3

12、困5 33（1992年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）講析：各跑100米，甲比乙少用的時間是100 + 4-100+ 5=5 （秒鐘）, 現(xiàn)在甲要比乙多跑100米，需20秒鐘。由20+ 5=4 （個百米），可知， 乙跑400米以后，甲就比乙多跑100米。這樣便剛好追上乙。甲跑完（400+100）米時，中途停了 4次，共停40秒鐘。故20X 5+40=140 （秒）。當乙跑完400米以后，停了 10秒，甲剛好到達同一地點。所以，甲 追上乙需要140秒鐘。例10甲、乙二人在同一條環(huán)形跑道上作特殊訓練：他們同時從同一 地點出發(fā)，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到達出發(fā)點后立即回頭加速跑 第二2圈。跑第一圈

13、時，乙的速度是甲速度的;，甲跑第二圈時速度比第一圈提 高了，乙跑第二圈時速度提高了? 已知甲、乙二人第二次相遇點距離第一次相遇點190米，問這條環(huán)形跑道長多少米？（全國第四屆“華杯賽”復賽試題）講析：圖為甲、乙兩人每跑到原出發(fā)點時，就返回頭跑。于是，從出 發(fā)點切開，然后將環(huán)形跑道拉直，這樣，他倆就可以看作在AB線段上的往返跑步（如圖5.35）。跑第一圈時，乙的速度與甲的速度的比是 3 : 2。 當甲從誦到E點時,乙共跑了BD=,（個）全程.此時甲加速跑回.而乙還在技原速跑到A點。甲E DC =+ 一 0&1=fF-iE1T 乙圖 5. 3511?0當乙從D點按原速跑到A點時，甲加速跑了

14、： > （10）-4 = |（個）全程，即剛好到達 D點。所以，在AD段中，甲、乙兩人都是按各自的加速度相向而行。不難 求得At t EC = AC - AE =一 = a85 8 401Q則AB = 19。心l= 400 （米）“即這條環(huán)形跑道長4口0米.例11圖5.36,大圈是400米跑道，由A到B的跑道長是200米，直 線距離是50米。父子倆同時從A點出發(fā)逆時針方向沿跑道進行長跑鍛煉， 兒子跑大圈，父親每跑到B點便沿直線跑，父親每100米用20秒，兒子 每100米用19秒。如果他們按這樣的速度跑，兒子在跑第幾圈時，第一 次與父親再相遇？（全國第二屆“華杯賽”復賽試題）講析：容易計算

15、出，父親經(jīng)過150秒剛好跑完3小圈到達A點，兒 子經(jīng)過152秒剛好跑完2圈到達A點，兒子比父親慢2秒鐘，所以兒子 將沿跑道追趕父親。因為A到B彎道長200米，兒子每跑100米比父親快一秒，可知恰 好在B點追上父親。即，兒子在跑第三圈時，會第一次與父親相遇。例12甲班與乙班學生同時從學校出發(fā)去某公園。甲班步行的速度是每小時4千米，乙班步行的速度是每小時3千米。學校有一輛大客車，它 的速度是每小時48千米。這輛車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學 生在最短時間內(nèi)到達，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離之比是0（1991年全國小學數(shù)學奧林匹克決賽試題）講析：要使兩個班在最短時間內(nèi)到達，只有讓兩個班

16、都同時運行且同 時到達。設甲班先步行后乘車。甲班、乙班和客車的行進路線如圖5.37所示AB、CD分別表示甲班和乙班步行距離。當甲班從A地行至B地時，汽車共行了： AB+2- BC又汽車速度是甲班的12倍，所以AB+2* BC=12 * AB,即BC = ?*ABq同理，當乙班從C地行至D地時，汽車共行了 CD+2- BC又，汽車速度是乙班的16倍，所以CD +2 BC = 16 * CD,即.BC =* CD.于是有，-* AB = * CD& <-d-KAB： CD=15： 11。即甲班與乙班需要步行的距離之比為 15： 11。例13王經(jīng)理總是上午8點鐘乘公司的汽車去上班。有一

17、天，他 6點 40分就步行上班，而汽車仍按以前的時間從公司出發(fā)，去接經(jīng)理，結(jié)果 在路途中接到了他。因此，王經(jīng)理這天比平時提前 16分鐘到達公司。那 么汽車的速度是王經(jīng)理步行速度的倍。（小學生科普報小學數(shù)學奧林匹克通訊賽試題）講析：如圖5.38, A點表示王經(jīng)理家，B點表示公司，C點表示汽車 接王經(jīng)理之處。王經(jīng)理比平時提前16分鐘到達公司，而這16分鐘實際上是汽車少走 了 2 AC而剩下的時間，則汽車行 AC路程需要8分鐘，所以汽車到達C 點接到王經(jīng)理的時間是7點52分鐘。王經(jīng)理步行時間是從6點40分到7點52分，共行72分鐘。因此，汽車速度是王經(jīng)理步行速度的 72+8=9 （倍）?！颈稊?shù)問題】

18、例1倉庫里有兩個貨位，第一貨位上有78箱貨物，第二貨位上有42 箱貨物，兩個貨位上各運走了相同的箱數(shù)之后， 第一貨位上的箱數(shù)還比第 二貨位上的箱數(shù)多2倍。兩個貨位上各運走了多少箱貨物？（1994年天津市小學數(shù)學競賽試題）第一堆比第二堆貨講析：因為兩堆貨物各運走相同數(shù)量的貨物之后, 物多2倍。即此時第一堆貨物是第二堆貨物的 3倍所以，42的3倍的積與78的差，就是兩堆中各運走貨物的箱數(shù)的 2 倍。故兩個貨位各運走的貨物箱數(shù)是（42X3-78） +2=24 （箱）。例2 一筆獎金分一等獎、二等獎和三等獎。每個一等獎的獎金是每個二等獎獎金的2倍，每個二等獎獎金是每個三等獎獎金的 2倍。如果評 一、二

19、、三等獎各兩人，那么每個一等獎的獎金是 308元；如果評一個一 等獎，兩個二等獎，三個三等獎，那么一等獎的獎金是多少元？（全國第二屆“華杯賽”復賽試題）講析：我們可將二等獎和三等獎都換成一等獎。一個二等獎相當于J個一等獎，一個三等獎相當于9個一等獎。獎金總數(shù)是303 乂（2乂2乂2）=1078 （元）如果評1個一等獎，2個二等獎，3個三等獎時，每個一等獎的獎金 為：01078-（1+；乂2 +，乂今=392 1元o例3甲、乙兩個小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到 20粒。如果甲給 乙一定數(shù)量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的2倍。如果乙給甲同樣數(shù)量 的糖后，甲的糖就是乙的糖粒數(shù)的3倍。那么，甲、乙兩個

20、小朋友共有糖 B。（1994年全國小學數(shù)學奧林匹克初賽試題）。講析：甲給乙一定數(shù)量的糖之后，甲是乙的2倍。這說明甲乙兩個糖 數(shù)之和是3的倍數(shù)；同理，乙給甲一定數(shù)量的糖后，甲是乙的 3倍，這說 明甲乙兩個糖數(shù)之和又是4的倍數(shù)。所以，甲、乙兩人糖粒總數(shù)一定是 12的倍數(shù)。又，每袋糖都不到20粒，所以甲乙兩個糖數(shù)之和應為 12、24、36 中的一個數(shù)。經(jīng)檢驗，當總糖數(shù)是24時，即甲為17粒、乙為7粒時，符合要求。 即兩個小明友共有糖24粒。例4 一小和二小有同樣多的同學參加金杯賽。學校用汽車把學生送 往考場。一小用的汽車，每車坐15人，二小用的汽車，每車坐13人，結(jié) 果二小比一小要多派一輛汽車。后來

21、每校各增加一個人參賽，這樣兩校需要的汽車就一樣多了。最后又決定每校再各增加一人參加競賽，二小又要比一小多派一輛汽車。問最后兩校共有多少人參加競賽？（全國第一屆“華杯賽”決賽試題）講析： 原來二小比一小多一輛車，各增加一人后，兩校所需車一樣多。由此可見，一小增一人就要增加一輛車，所以原來汽車恰好全部坐滿，即原來一小人數(shù)是15 的倍數(shù)。后來又增加1 人， 這時二小又要多派一輛車，所以在第二次增加人數(shù)之前，二小的車也恰好坐滿。即人數(shù)是13 的倍數(shù)。因此， 原來每校參加的人數(shù)都是15 的倍數(shù)。 而加 1 之后， 是 13 的倍數(shù)。即求 15 的某個倍數(shù)恰等于13 的倍數(shù)減1。因為15X6=90, 13

22、X7=91,所以，兩校各有92人參加競賽。從而可知，兩校共有184 人參加競賽?！灸挲g問題】例 1 小明今年5 歲，爸爸的年齡是小明的7 倍，再過多少年爸爸的年齡是小明年齡的3 倍？（ 1993 年吉林省“金翅杯”小學數(shù)學競賽試題）講析： 可先求出當爸爸年齡是小明年齡的3 倍時，小明的年齡是多少歲：（5X7-5） + （ 3-1） =15 （歲）。故，再過10 年，爸爸的年齡是小明年齡的3 倍。例 2 今年祖父的年齡是小明年齡的6 倍。幾年后，祖父年齡是小明年齡的 5 倍。又過幾年后，祖父年齡是小明年齡的4 倍。問：祖父今年多少歲？（全國第二屆“華杯賽”少年數(shù)學競賽試題）講析： 因為今年祖父年

23、齡是小明年齡的6 倍。 所以， 年齡差是小明年齡的 5 倍，即一定是5 的倍數(shù)。同理， 又過幾年后，祖父的年齡分別是小明年齡的5 倍和 4 倍， 可知年齡差也是4 和 3 的倍數(shù)。而年齡差是不變的。由3、4、5的公倍數(shù)是60、120、可知，60是比較合理的。所以,小明今年的年齡是60+ （6-1） =12 （歲）；祖父今年的年齡是12X6=72 （歲）。例3 1994年姐妹兩人年齡之和是55歲。若干年前，當姐姐的年齡只 有妹妹現(xiàn)在這么大時，妹妹的年齡恰好是姐姐年齡的一半。 姐姐是哪一年 出生的？（長沙地區(qū)數(shù)學競賽預選賽試題）講析：設若干年前，妹妹的年齡為 x歲，則現(xiàn)在妹妹為2x歲；姐姐 在“若干年前”那一年的年齡也為 2x歲，則姐姐現(xiàn)在的年齡為3x歲。由 2x+3x=55,可知，x=11o所以，今年姐姐的年齡是3X11=33（歲）。故姐姐是1960年出生的。【時鐘問題】例1把一個時鐘改裝成一個玩具鐘，使得時針每轉(zhuǎn)一圈，分針轉(zhuǎn) 16 圈，秒針轉(zhuǎn)36圈。開始時三針重合。問：在時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，三 針重合了幾次？（不計起始和終止的位置）（全國第三屆“華杯賽”決賽口試試題）講析