初二因式分解詳解

1、初中因式分解詳解一、提公因式法.如多項式 4? + bm + cm = m(a + /? + c),其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式.二、運用公式法.運用公式法，即用a1 一 ° =(。+ /2)(。一辦a1 ±2ablr = (a±b)2,a' ±b' = (a±b)(a2 干。+ 從)三、分組分解法.(一)分組后能直接提公因式例1、分解因式：cun + an + bm + bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前 兩項

2、都含有對后兩項都含有九因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的朕 系。解：原式=( +4)+ (力 +。)= (? + ) +仇?+ )每組之間還有公因式！=(m +11)(61 + /7)思考：此題還可以怎樣分組？此類型分組的關(guān)鋌：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。 例 2、分解因式：2ax-1 Oay + 5by-bx解法一：第一、二項為一組； 第三、四項為一組。解：原式=(2or-10ay) + (5Z?y-/?x) =2a(x - 5y) 一 b(x - 5y) = (x_5y)(2._b)練習(xí):分解因式 1、a2 -

3、ab + ac-bc解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組。原式=(2ax - bx) + (-10" + 5by) =x(2a b) 5y(2a - b) = (2f/-/2)(x-5y)2、xy-x-y + (二)分組后能直接運用公式例3、分解因式：x2 -y2 +ax + ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外 分組。解：原式=(/-y2) + (ax + ay) = (x+y)(x-y) + a(x+y) = (x + y)(x-y + a)4、x2 -y2 -z2 -2yz例4、分解因式：a2-2ab

4、+ b2 -c2 解：=(a2 -2ab + b2)-c2 =(a -b)2 c2 = (a-b-c)(a-b + c) 注意這兩個例題的區(qū)別！ 練習(xí)：分解因式3、x2-x-9y2-3y綜合練習(xí)：(1) X3 +x2y-xy2 -y3(2) a一bx? + bx ax + a b(3)/+6盯+ 9y2-16rJ+8。-1(5) a4-2a3 +a2-9(7) x2 -2xy-xz + yz + y2(9) y(y_2)_(*l)(m + l)(4) a2 -6ab +12Z? + 9b2 -46/(6) 4a2x-4a2y-b2x + b2y(8) 一 2a + -2b + 2ab +1(1

5、0) (a + c)(a -c) + b(b - 2a)(11) a2(b + c) + b2 a + c) + c2 (a + b) + 2ahc (12) a3 +b3 +c3 - 3abe四、十字相乘法.(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式a2 + ( + q)x + pq = (x+ p)(x + q)進(jìn)行分解,特點：(1)二次項系數(shù)是1；(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。例5、分解因式：X2 +5x + 6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),從中可以

6、發(fā)現(xiàn)只有2x3的分解適合，即2+3=5。12、X解：/+5x + 6 = x?+(2 + 3)x + 2x313= (x + 2)(x + 3)1X2+1X3=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：x2 -7x4-6解：原式=/+(_)+(_6)卜 +(-1)(-6)-1= (x-1)(a6)1-6(-1) + (-6) =-7練習(xí) 5、分解因式/+1敘 + 24 (2)a2-15t/ + 36 (3)x2 +4x-5練習(xí) 6、分解因式/+x -2(2)y2-2y-15(3)x2-10x-2412"X"

7、C = CjC2C?b = qc, +b =+ acax2 +bx + c = (axx + c. )(a1x + )(二)二次項系數(shù)不為1的二次三項式+bx + c 條件：(1)(2)(3)分解結(jié)果：例7、分解因式：3x2 -llx + 10分析：1><?235(-6) + (-5) = -11解：3x2 -lLv + 10 = (x-2)(3x-5) 練習(xí)7、分解因式：(1) 5x2+7x-6(3) 10x2-17x + 3(2) 37x + 2(4) -6y2 +lly+ 10(三)二次項系數(shù)為1的齊次多項式例 8、分解因式：a2 -8«/7-128/?2分析：將看

8、成常數(shù)，把原多項式看成關(guān)于。的二次三項式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。lSb 116b8b+(-16b)= -8b解：a 2 一- 12汕2 = a2 + 8 + (-16Z?)o + 8 x (-16匕)=(a + 8b)(a -16b)練習(xí) 8、分解因式 / -3xy + 2y2(2)m2 -6nm + Sn2(3)a2 一(山一6川(四)二次項系數(shù)不為1的齊次多項式 例 9、2%2 -7xy + 6y21、/-2y2-3y(-3y)+(-4y)= -7y解：原式=(x-2)，)(2x-3y)例10、廠廠一3沖+ 2 把沖看作一個整體1、/ -1-2(-1)+(-2)= -3解：原式=(個-1

9、)(孫一 2)練習(xí) 9、分解因式：(1) 15x2 +7xy-4y2(2) a2x2 -6ax + 8綜合練習(xí) 10、(1) 8x6-7x3-1(3) (x+y)2-3(x+y)-10(5) x2y2 -5x2y-6x2(7) x2 +4xy+ 4y2 -2x-4y-3(9) 4x2 -4xy-6x + 3y + y2 -10(2) 12x2 -llxy-15y2(4) (a + b)2 -4a-4b+ 3(6) "/-4nm + 4/72 -3m + 6/z + 2(8) 5(a + b)2 + 23(a2 -b2)- 10(a -b)2(10) 12(x + y)2 +11 (x

10、2 - y2) + 2(x - y)思考：分解因式：abcx2 +(a2b2 +c2)x + abc五、主元法.例 11、分解因式：a-2 -3xy-Oy2 +x + 9y-2 解法一：以A-為主元解：原式(10產(chǎn)-9, + 2) /=- x(3y D (5y 2)(2y D、-22-1(-5)+(-4)= -91-(5y-2)= x-(5y-2)x + (2y-l)= (x-5y + 2)(x + 2y-)-(5y-2)+(2y-l)= -(3y-l)解法二：以y為主元1解：原式=-10y - y(3x - 9) + (x + x 2)12= _10y2 +(3x-9)y-Q2-1+2=1T

11、K)y2+(3x_9)y_*_lXx + 2a2 (X-l)= -2y + (x-l)5y-(x + 2)5-")=一 (2y + x - l)(5y - x - 2)5(x- 1)-2(a+2)=(3a9)練習(xí) 11、分解因式(1)/ -y* 2 +4x + 6y-5 / +xy-2y2 -x + 7y-6(3)x2 +xy-6y2 +x + 13y-6(4) ci" + ub 6/? + 5a + 35 - 36六、雙十字相乘法，定義：雙十字相乘法用于對+ Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F型多項式的分解因式。條件：（1） A = aia2i C = cxc

12、2, F = ff2 g+a2cl =8, cj +c2f1 = E , af2 +a2f = Da1c2+a2c = B, cf2+c2f =E , axf2 +a2f =D則 Av2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = («)x + cxy + f )(a2x + c2 + f2)例 12、分解因式(1) x2-3xy-10y2+x + 9y-2(2) /+“一6)二+x + 13y-6 解： x2-3xy-0y2 +x + 9y-2應(yīng)用雙十字相乘法:Wk-1應(yīng)用雙十字相乘法:3xy-2xy =沖，4y + 9y = 13y , -2x + 3x = x 原式

13、=(x 2y + 3)(x + 3y 2)練習(xí) 12、分解因式(1) x2 +-2y2-x + 7y-6(2) 61-7沖一3)/-xz + 7yz-2z2七、換元法。例 13、分解因式(1) 2005x2 -(20052 -1)x-2005(2) (x + l)(x + 2)(x + 3)(x + 6) + x2 解：(1)設(shè) 2005=4,則原式=/一(。2-1口一。= (X+l)(X-4)= (2005x + l)(x-2005)(2)型如4機(jī)4 + 6的多項式，分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘。原式=(/ +7x + 6)(/ + 5x + 6) + x2設(shè)工二+5工 + 6 =

14、4,則x?+7x + 6 = A + 2x原式=(A + 2x)A + x2 = A2 + 2Ax+ a2=(A + x)2 = (x2 + 6x + 6/練習(xí)13、分解因式 (/ +個+),2)2 - 4心(/ +),2)(2) (x2 + 3x + 2)(4x2 + 8.v + 3) + 90 (3) (a2 +1)2 + (a2 +5)2 -4(ti2 +3)2例14、分解因式(1) 2«? 一工3一6工2 -x+2觀察：此多項式的特點是關(guān)于X的降幕排列，每一項的次數(shù)依次少1,并且系數(shù)成“軸對稱”。這種多項式屬于“等 距離多項式工方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再

15、用換元法。解：原式=x (2廣X 6 十 -)=尸12(r + r) (x H)-6X 廠廠X1 > 1 )設(shè)x + = f,則r+=廣一2原式=x2 2(產(chǎn)-2) - f - 6 = x2(2/ =/一 54+ 2)=/(2工+.-r-10)-5 卜+ ： + 2)=(2-5工 + 2卜+2% + 1)= (x + 1)2(2x-1)(x-2)(2) x4 -4x5 +x2 +4x+l解：原式=x2 .V2 -4X + 1 + - + =x2.21X + -r1 I -4 x- +1Ix 廣/ 代設(shè)x-L = y,則/+=3，+2X廠(2) x4+2x3+x2+1 + 2(x + x2

16、)解法2添項。原式=/一 3x2 - 4x + 4x + 4=x(x2 - 3x - 4) + (4x + 4)= x* + l)(x - 4) + 4(x + l)= (x + l)(x2 - 4x + 4)= (x + l)(x-2)2原式=/ (y2 -4y + 3)= x2 (y-lX.v-3)=x=xj 2x + 二- 5 x- x + + 2 (x - - - l)(x - - - 3) = (x2 7-1卜-3x-l)練習(xí) 14、(1) 6.v4 + lxy -36x2 -7x + 6 八、添項、拆項、配方法。例15、分解因式x3-3x2+4 解法1拆項。I原式=+1 3廠+ 3

17、=(x +1)(/ _ x +1) _ 3(% + 1)(% I)； =(x +1)(- - x + 1 - 3x + 3)j= (x + l)(x2 -4x + 4):= (x + l)(x-2)21(2) x9+x6+x3-3解:(x9 -1) + (x6 -1)4- (x3 -1)=(X3 _ 1)(/ +X3 +1) +(X3 _ 1)(/ + 1) + (x3 -1)= (x3-l)(x6+x3+l + x3+l + l)=(x -1)(/ + x + l)(x6 + 2x3 + 3)練習(xí) 15、分解因式 x3-9x + 8(2) (x + l)4+(x2-l)2+(x-l)4(3)

18、 x4 -7x2 +1(4) x4 +x2 +2ax+-a2(5) x4+y4+(x + y)4(6) 2a2b2 +2a2c2 +2lrc2 -a4 -Z74 -c4九、待定系數(shù)法.例 16、分解因式x，+xy 6y2+x + 13y 6分析：原式的前3項/ +外-6)，2可以分為。+ 3)，)。一2)，)，則原多項式必定可分為(x + 3y + 7)(x 2y + ) 解：設(shè) x2 + xy - 6 y2 +x + 13y-6 = (x + 3y+ ?)(x-2y+ )(x + 3y + z)(x - 2y + n) =x2 +xy-6y2 + (? + n)x + (3/7 - 2m)y

19、 一 mn/. x2 +xy-6y2 +x + 13y-6 = x2 + xy-6y2 + (？ + n)x + (3 - 2m)y -mnm + = 1對比左右兩邊相同項的系數(shù)可得13-2m=13 mn = -6解得in = -2n = 3*'原式=(x + 3y 2)(a - 2y + 3)例17、(1)當(dāng)為何值時，多項式一一3，2+隊+5'-6能分解因式，并分解此多項式。(2)如果x'+ax:+/M + 8有兩個因式為x+1和x + 2,求的值。(1)分析：前兩項可以分解為(x+y)(x y),故此多項式分解的形式必為(x+y+a)(x-y+»解：設(shè) X?