(完整版)課例：拋物線的定點(diǎn)弦問題(簡(jiǎn)案)

1、課題：拋物線的定點(diǎn)弦問題上海大學(xué)附屆中學(xué)李昉2021年11月26日一、教材分析：拋物線,作為四種二次曲線一一圓、橢圓、雙曲線、拋物線中的最后一種, 教材在這一小節(jié)中簡(jiǎn)單介紹了拋物線的幾何性質(zhì)及一種奇特的光學(xué)性質(zhì),學(xué)生通過對(duì)這些性質(zhì)的學(xué)習(xí),可進(jìn)一步掌握拋物線的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程,同時(shí)也為學(xué)生 進(jìn)一步探究拋物線的其它性質(zhì)留下了廣闊的空間.拋物線的性質(zhì),除了書上介紹 的之外,還有如拋物線的焦點(diǎn)弦問題、拋物線的定點(diǎn)弦問題等等,都可以作為我 們教學(xué)中探究的課題.拋物線性質(zhì)的探究,對(duì)丁培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的水平、 培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生勇丁探究的精神等,都具有重要的作用.二、教學(xué)目標(biāo)1. 熟練掌握

2、向量的數(shù)量積運(yùn)算、直線與拋物線相交問題中的常規(guī)解題思路、分類討論思想與方法等2. 學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識(shí)探究、解決問題的方法；形成縱向思考問題、逆向思考問題的意識(shí),優(yōu)化思維品質(zhì)3. 培養(yǎng)學(xué)生勇丁探究的精神,提升學(xué)生合作交流的水平三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識(shí)探究、解決問題的思路和方法四、教學(xué)方法及手段：以“疑為樞紐,創(chuàng)設(shè)問題情景,師生互動(dòng),生生互動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生共同探究解決問題五、教學(xué)過程：(一) .問題引入：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,設(shè)直線l與拋物線y2 2x相交于A, B兩點(diǎn),(1)假設(shè)l: y x 3,求OA OB , (2)假設(shè)l: y 2(x 3)

3、,求OA OB(學(xué)生分兩組解答問題,老師強(qiáng)調(diào)：聯(lián)立方程組消元時(shí)方法的選擇以及常規(guī)的解題思路)(二) .問題探究：1. 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題：上述兩組問題中,所給的直線方程不同,而所得結(jié)果卻是一樣的,考 察兩條直線的方程,有何共同之處？不同之處？假設(shè)直線過點(diǎn) (3,0),當(dāng)它 的斜率改為3, k或直線斜率不存在,其結(jié)果還是一樣嗎？2. 引導(dǎo)學(xué)生提出問題：?jiǎn)栴}一：從這兩組問題的解答中,你能概括出怎樣的一個(gè)命題？它是真 命題還是假命題？命題：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中,直線l與拋物線y2 2x相交于A,B兩點(diǎn), 假設(shè)直線l過點(diǎn)T (3,0),那么OA OB 3,是真命題(學(xué)生答復(fù),老師補(bǔ)充歸納)3. 引

4、導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行推廣問題二：至此,我們已經(jīng)在原來問題的根底上,對(duì)直線的斜率進(jìn)行了推 廣,一般來說,對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行推廣可以從“特殊到一般、數(shù) 字到字母、具體到抽象等方面考慮,那么,圍繞這個(gè)命題, 我們還可以進(jìn)一步作怎樣的探究？學(xué)生：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與拋物線y2 2x相交于A,B兩點(diǎn), 假設(shè)直線l過點(diǎn)T(t,0),那么OA OB ？(師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論：)結(jié)論：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中,直線l與拋物線y2 2x相交于A, B兩點(diǎn), 假設(shè)直線l過點(diǎn)T(t,0),當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在x軸正向或負(fù)向且直線斜 率c1 一 一 C 取k2范圍時(shí),OA OB t2 2t,即數(shù)量積只與點(diǎn)的

5、橫坐標(biāo)2t有關(guān)而與直線的斜率無關(guān)4 .引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步推廣問題三：至此,我們對(duì)直線的斜率、直線過的定點(diǎn)都作了推廣,那么,圍繞這個(gè)問題,還能再作進(jìn)一步的推廣嗎？學(xué)生：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與拋物線y2 2px(p 0)相交于A,B點(diǎn),假設(shè)直線l過點(diǎn)T (t,0),貝UOA OB ？(師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論：)結(jié)論：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中,直線l與拋物線y2 2px(p 0)相交于A, B兩點(diǎn),假設(shè)直線l過點(diǎn)T(t,0),當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)在x軸正向或負(fù)向且直線斜率取k2衛(wèi)范圍時(shí),oA oB t2 2pt,即數(shù)量積2t只與點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線焦參數(shù)有關(guān),而與直線的斜率無關(guān)5 .引導(dǎo)

6、學(xué)生逆向思考：?jiǎn)栴}四：剛剛我們圍繞著問題一中的命題作了縱向考慮,即將特殊情況 進(jìn)行了推廣,獲得了一般的結(jié)論.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中,有 時(shí)會(huì)遇到這樣一類問題,即正面解決比較困難,那么我們可以 從其反面來考慮.因此圍繞這個(gè)命題,我們的研究還可以作逆 向的思考,你可以探究一個(gè)怎樣的問題？學(xué) 生：設(shè)直線l與拋物線y2 2x相交丁 A,B兩點(diǎn),假設(shè)OA OB 3,那么直 線l過定點(diǎn)T3,0嗎？老師引導(dǎo)：設(shè)直線過定點(diǎn)t,0,由上述研究過程可以得出如下結(jié)論： 結(jié)論：在平面直角坐標(biāo) 系xoy中直線l與拋物線y2 2x相交于A, B兩點(diǎn),假設(shè)OA OB 3,那么當(dāng)直線l與拋物線的交點(diǎn)A, B位丁x軸兩側(cè)時(shí),所有

7、直線l過定點(diǎn)3,0,當(dāng)直線l與拋物線的交點(diǎn) A, B位于x軸同側(cè)21.且直線l的斜率滿足：k 時(shí),直線l過定點(diǎn)1,0 t6 .引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究:問題五：既然上述結(jié)論不一定成立,那么我們可以作進(jìn)一步的探究在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l與拋物線y2 2 px p 0相交uuu uuu于A, B兩點(diǎn),右 OA OB mm為正的常數(shù),那么直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么？是定點(diǎn)嗎？師生一起通過同上解法,得到如下結(jié)論:結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線l過點(diǎn)t,0,與拋物線y2 2 pxunn uurp 0相交于A, B兩點(diǎn),假設(shè)OA OB m也正的常數(shù),當(dāng)直線l與拋物線交點(diǎn)A, B位丁 x軸兩側(cè)時(shí),

8、所有直線過定點(diǎn)p 77,0,當(dāng)直線l與拋物線的交點(diǎn)A,B位于x軸同側(cè),且直線l斜率滿足:k2壹時(shí),直線l過定點(diǎn)p Jp,0三.小結(jié)：這堂課,我們研究了直線與拋物線相交時(shí)的定點(diǎn)弦問題.對(duì)于一個(gè)問 題的探究,我們的方法可以從特殊到一般,即作縱向考慮,也可以作逆向 的思考.探究一個(gè)問題,要學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題,從而解決問題,這 里掌握方法最重要四.作業(yè)：思考：關(guān)于拋物線的焦點(diǎn)弦問題,我們還可以作哪些方面的探究？五設(shè)計(jì)說明：本節(jié)課是一節(jié)探究課,設(shè)計(jì)這樣一個(gè)問題,主要是為了使學(xué)生感悟并 學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,綜合應(yīng)用知識(shí)探究、解決問題的思路和方法.本節(jié)課設(shè)計(jì)的這個(gè)問題,有三個(gè)可以研究的變量,即直線的斜率、直 線經(jīng)過的定點(diǎn)以及拋物線中參變量.教學(xué)設(shè)計(jì)分兩局部進(jìn)行,首先我們通 過上述問題一至問題三,從特殊到一般,不斷引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題中的三個(gè)變 量作縱向的探究；其次進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題作逆向的思考,培養(yǎng)學(xué)生的 逆向思維,優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì).逆向思維是指由果索因,知本求源,從原問題的相反方向著手的一種 思維