程序編制中的數(shù)學處理--非圓曲線節(jié)點的計算

1、程序編制中的數(shù)學處理非圓曲線節(jié)點的計算數(shù)控系統(tǒng)一般只有直線和圓弧插補功能，對于非圓曲線輪廓，只能用直線或圓弧去逼近它。節(jié)點就是逼近線段與非圓曲線的交點，也是個逼近線段的起點和終點。一個已知曲線方程的節(jié)點數(shù)與逼近線段的形狀（直線還是圓弧）、曲線方程的特性以及允許的逼近誤差有關。節(jié)點計算，就是利用這三者之間的數(shù)學關系，求解出各節(jié)點的坐標。一、等間距的直線逼近的節(jié)點計算已知非圓曲線方程 y=f（x）從曲線X軸的起點坐標開始，以等間距x來劃分曲線起點到終點的區(qū)間，可得一系列X軸的坐標點的值，設起點的X坐標值為x0=a，則有：x1=a+x，x2=a+2x，x3=a+3x，. Xi=a+ix，.

2、將這些X坐標值代入方程 y=f（x），則求得一系列Y坐標值：yi=f（xi）（i=1，2，3，.）那么（xi，yi）（i=1，2，3）就是所求得的節(jié)點坐標值。相鄰兩點的直線段就是逼近線段。等間距法的關鍵是合理確定x，既要滿足允許誤差的要求，又要使節(jié)點盡可能少。通常采用試算和校驗的方法確定x，方法步驟如下：1取x初值，一般取0.1。2計算（xi，yi）（i=1，2，3）。3誤差驗算：設任一逼近直線MN，其方程為：ax+by+c=0，則與MN平行且距離為允的直線MN的方程為：求解聯(lián)立方程：若：    只有一個解，則逼近誤差等于允，x正好滿足誤差要求。

3、0;       沒有解，則逼近誤差小于允，x滿足誤差要求，可適當增大其取值，返回2。        有兩個解，則逼近誤差大于允，x太大，應減小其取值。返回2。    等間距法計算簡單，但由于必須保證曲線曲率最大處的逼近誤差小于允許值，所以程序可能過多。二、等弦長直線逼近的節(jié)點計算    使所有逼近線段的長度相等。計算步驟如下：（1）確定允許的弦長。 用等弦長逼近，最大誤差max一定在曲線的曲率半

4、徑最小Rmin處，則為：（2）求Rmin。曲線任一點的曲率半徑為：        取dR/dx=0，即 根據(jù)求得，并由       式（2-3）求得x后， 將x值代入式（2-2）       求、得Rmin。（3）以曲線起點A為圓心，做半徑為的圓交曲線于B點，聯(lián)立求解：得節(jié)點坐標xB、yB。（4）順序以B、C、.為圓心，重復步驟（3），即可求得其余各節(jié)點坐標值。三、等誤差直線逼近的節(jié)點計算 

5、60;  使所有逼近線段的誤差相等。計算步驟如下：（1）以起點A（xa，ya）為圓心，以允為半徑作圓，稱為允差圓，其方程為：記為：（2）作圓與曲線的公切線PT，求其斜率k。K=（yT-yP）/（xT-xP）為求yT、yP、xT、xP，求解聯(lián)立方程：（3）以A為起點，作平行于公切線PT的直線AB，交曲線于B點。AB的方程為：（4）求B點的坐標值。聯(lián)立求解曲線方程和AB的方程：（5）按上述步驟順序求得C，D，各節(jié)點的坐標。四、圓弧逼近的節(jié)點計算曲率圓法，是一種等誤差圓弧逼近法。計算步驟如下：（1）以曲線的起點（xn，yn）開始作曲率圓，其參數(shù)為：     圓心：半徑：（2）以點（n，n）為圓心，（Rn±允）為半徑作偏差圓，求偏差圓于曲線的交點（xn+1，yn+1）。解聯(lián)立方程：（3）求過（xn，yn）和（xn+1，yn+1）兩點，半徑為R