2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.4基本不等式及其應(yīng)用教師用書理蘇教版

1、(江蘇專用)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.4基本不等式及其應(yīng)用教師用書理蘇教版基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)ta+b1 .基本不等式洞&一廠(1)基本不等式成立的條件：a、0,bno.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號2 .幾個重要的不等式1 1)a2+b2>辿a,beR).ba2 2)a+尸2(a,b同號).ab<a+b2a2 + b2(4) -2(a,bg>Ja2"b)(a,beR).以上不等式等號成立的條件均為a=b.3 .算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)a+b設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為一2一,幾何平均數(shù)為洞，基本不等式可敘述

2、為兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，當(dāng)兩個正數(shù)相等時兩者相等4 .利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0,貝U(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,x+y有最小值25.(簡記：積定和最小)2(2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時,xy有最大值.(簡記：和定積最大)【知識拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立問題(1)恒成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則不等式f(x)>A在區(qū)間D上恒成立？f(X)min>A(XCD)；若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則不等式f(x)<B在區(qū)間D上恒成立？f(x)ma<B(xeD).(2

3、)能成立問題：若f(x)在區(qū)間D上存在最大值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)>A成立？f(x)maAA(xCD)；若f(x)在區(qū)間D上存在最小值，則在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)<B成立？f(x)min<RxCD).(3)恰成立問題：不等式f(x)>A恰在區(qū)間D上成立？f(x)>A的解集為D;不等式f(x)<B恰在區(qū)間D上成立？f(x)<B的解集為D.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打或“X”)函數(shù)y=x+J的最小值是2.(x)x(2)函數(shù)f(x)=cosx+xC(0,三)的最小值等于4.(X)cosx2“x>0且y&g

4、t;0”是“5+丫>2”的充要條件.(x)yx(4)若a>0,則a3+02的最小值為24a.(x)不等式a2+b2>2ab與a2也>廊有相同的成立條件.(x)(6)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項考點自測1 .(教材改編)設(shè)*>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為答案81解析x>0,y>0,，g_y>、/xy,x+y2即xy<(-)=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時，(xy)max=81.2 .(教材改編)若0<x<1,則Jx3-2x的取值范圍是.答案(0,平解析由0<x<1知32x>0故由A2x

5、飛32x2x+ 3-2x3；24 ，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時，上式等號成立.4- 0<tJx_3-2x <34".3.（教材改編）當(dāng)點（x, y）在直線x+3y 2=0上移動時，函數(shù)z=3x+27y + 3的最小值是答案 9解析 z=3x+33y+3>2 , 33y +3= 2/3 + 3=232+3= 9,當(dāng)且僅當(dāng)3x=33y,即x= 1,y=z取最小值.4.（教材改編）已知x>0, y>0,且x+4y=1,則xy的最大值為答案116解析 1 = x+4y>2 -J4xy= 4Jxy,-xy<(-)2=,y4，161當(dāng)且僅當(dāng)x= 4y=2，即<

6、;1 x=2?1 y=8時,1 (xy)max=.5.（教材改編）若x（0,兀），則sinx + -；封2 ；若a,sin xbn2 5g a lg b;若 xC R,則x + 4 >4.其中正確結(jié)論的序 xbe (0 , +°°),則 lg a+ lg工日_入巴 .答案解析 因為xC（0,兀），所以sin x（0,1,所以成立;只有在lg a>0, lg b>0即a>1, b>1時才成立; x+4 =|x| 十x|x| x =4,當(dāng)且僅當(dāng)x=±2 時="成立題型分類深度剖析題型一利用基本不等式求最值命題點1通過配湊法利用基

7、本不等式例1 (1)已知0<x<1,則x(4 3x)取得最大值時x的值為.5 一1(2)已知x<-,則f(x)=4x2 + ；-的最大值為44x 5 x2 + 2一一.(3)函數(shù)y =-(x>1)的取小值為 .x 12答案(1)3 (2)1(3)23+2解析(1) x(43x)=1 (3x)(4 -3x)<1 - ：3x+ 1-3x 2 = 4, 3323當(dāng)且僅當(dāng)3x=4-3x,即x=2時，取等號. 3一， 5 ，(2)因為 x<-,所以 5-4x>0, 411則 f (x) =4x-2+45 =- (5 -4x+54) + 3<- 2+3= 1

8、.，1-，”，當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=7-即x=1時，等號成立5 4x1故f(x)=4x2+的最大值為1.4x- 5x + 2 x 2x + 1 + x x 2 +3(3) y=r =xix 1 2+2 x 1 +3一x-1= (x-1) +3+2>2 J3+2.x- 1 丫當(dāng)且僅當(dāng)(x1)=x-p,即x= V3+ 1時，等號成立命題點2通過常數(shù)代換法利用基本不等式例2已知a>0,b>0,a+b=1,則1+1的最小值為ab答案4解析.a>0,b>0,a+b=1,11a+ba+bba',a+b-a+b-2+a+b>2+2aI-7-=4,即F匚的最小值為4,當(dāng)

9、且僅當(dāng)a=b=3時等號成立abab2引申探究1 .條件不變，求(1+；)(1+b)的最小值.1a+ba+b b ad+J+bxa+丁 )(1+丁 L/y + b)=5+2(b+a)>5+4=9.ab1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時，取等號2 .已知a>0,b>0,1+1=4,求a+b的最小值.ab解由1+1=4,得;+工=1.ab4a4ba+b=(；+白(a+b)=1+2+為1+2%仔4=1.4a4b24a4b24a4b一，1，一當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號.3 .將條件改為a+2b=3,求二十匚的最小值.ab解.a+2b=3,-3a+|b=11111212a2b-a+b=(a+b)(3

10、a+3b)=3+3+3b+3a>1 +2b2 2=1 + &-3a 3 .當(dāng)且僅當(dāng)a=42b時，取等號思維升華(1)應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”是指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件.(2)在利用基本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有兩種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后

11、利用基本不等式求解最值(1)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值是1Ial(2)設(shè)a+b=2b>0,則狗+R取最小值時，a的值為答案(1)5(2)-2解析(1)方法一由x+3y=5xy可彳#+=1,5y5x,-.3x+4y=(3x+4y)(5y+專943x12y、1312c555y5x55一.(當(dāng)且僅當(dāng)言=魯，即x=1,y=；時，等號成立)，5y5x2，3x+4y的最小值是5.、，23y萬法一由x+3y=5xy,得x=-5y-I1-x>0,y>0,1-y>5,9y-3x+4y=5y-7+4y=13y-g+9+4-4y555c4+4y5y-11395-+

12、5''151T4(y5)(2)a+b=2,(3x+4y)min=5.1|a|_2|a|2|a|十b一4|a|十ba+b|a|4|a|十bab|a|a=4|a|+4|a|+-b->4|a|+2當(dāng)且僅當(dāng)7TT=唱時等號成立.4|a|bbJal4|1V=而+1,又a+b=2,b>0,當(dāng)a2時，京+*取得最小值.題型二基本不等式的實際應(yīng)用例3設(shè)x,v,z均為大于1的實數(shù)，且z為x和y的等比中項,則始+黃的最小值為.(2)(2016江蘇蘇州暑假測試)設(shè)正四面體ABCD勺棱長為乖,P是棱AB上的任意一點(不與點A,B重合)，且點P到平面ACD平面BCD勺距離分別為x,y,則:十

13、；的最小值是.xy答案(1)9(2)2+/8解析(1)由題意得z2=xy,lgx>0,lgy>0,11lgzJgz_2.x+lgylgx+lgy"4lgx十lgy4lgxlgy188lgx22lgy511gylgx88lgx2lgy當(dāng)且僅當(dāng)8g三二第,即lgy=2lgx,即y=x2時取等號.(2)過點A作AOL平面BCDF點Q則O為BCD勺重心，所以O(shè)B=：乂+3乂乖=42,32所以AO-,6222=2.又VP-BC葉VP-ACDV-BCD)所以；$BCD-y+SACD-x=1S；ABCD-2,即x+y=2.所以3+1=1(3+1)(x+y)=1(4+333xy2xy2V

14、3y)>2+3,當(dāng)且僅當(dāng)x=343,y=M31時取等號.思維升華(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)x,y>0,且x+y=4,若不等式+'>m恒成立，則實數(shù)m的最大值為xy.(2)某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(xN*),則每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值

15、是萬元.答案94億)8解析1414x+y1y4x198x+y=(x+y)(丁)=4(5+x+寸M(5+2><2)=4'當(dāng)且僅當(dāng)y=2x=3時等節(jié)成立.v25年平均利潤為X=-x-7+1825=(x+58,x+竺*、x.25=10,x；x',.y=18-(x+25)<18-10=8,當(dāng)且僅當(dāng)x="，即x=5時，取等號 x題型三基本不等式的綜合應(yīng)用命題點1基本不等式與其他知識交匯的最值問題例4若不等式x+2yXy<a(x+y)對任意白實數(shù)x,yC(0,十8)恒成立，則實數(shù)a的最小值為答案4+1-2解析yx恒成立.1 + y x1 + 2因為,1 +

16、 2t(t>0),則 2>小u 1再令 1 +2t = u( u>1)，則 t =2-,故 a> 1 +u 1 252u+-22uU + 5>2乖(當(dāng)且僅當(dāng) u=45時等號成立)，故U + 5 2>2，5 2,從而 0<一4一uu5u4V5+ 1 拓V5+ 1 口口<T,故 a>r,即 a2 -5-222V5+1min =.2命題點2求參數(shù)值或取值范圍3 1例5已知a>0, b>0,若不等式a+a+3b恒成立，則m的最大值為x2 + ax+11*(2)已知函數(shù)f(x) =一(aCF),若對于任意的xN, f(x)>3恒成立

17、，則a的取值 x i I范圍是答案(1)12(2)-8,+oo)3,31m斛析(1)由一十匚-,aba+3b得me(a+3bx|+-)=當(dāng)+，+6.abab9ba,9ba.又百+b+6>249+6=12(當(dāng)且僅當(dāng)至二日時等號成立)，.m<12,m的最大值為12.*x+ax+118(2)對任意xCN,f(x)>3恒成立，即一x-j->3恒成立，即知a>-(x+-)+3.設(shè)g(x)=x+jxCN,則g(2)=6,g(3)=x3.g(2)>g(3),.g(x)min=137,.一(x+$+3W3,，a>8,故a的取值范圍是8,+8).33思維升華(1)應(yīng)用基

18、本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或范圍.跟蹤訓(xùn)練3(2016江蘇三校聯(lián)考)北京、張家港2022年冬奧會申辦委員會在俄羅斯索契舉辦了發(fā)布會，某公司為了競標(biāo)配套活動的相關(guān)代言，決定對旗下的某商品進行一次評估.該商品原來每件售價為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最高為多少元？(2)為了抓住申奧契機，擴大該商

19、品的影響力，提高年銷售量，公司決定立即對該商品進行技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價到x元，公司擬投入、(x2600)萬元作為技改費用，投入50萬元作為固定宣傳費用，投入x萬元作為浮動宣傳費用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量5a至少達到多少萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時商品的每件定價.解(1)設(shè)每件定價為t元，-t25依題意得(8iX0.2)t>25X8,整理得t265t+1000<0,解得25WtW40.所以要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價最高為40元.(2)依題意知，x>25,且ax>25X8+50+6(x2-600)

20、+5x,等價于a>+x+;(x>25).x6515011501由于M+6xr6x=10，150x當(dāng)且僅當(dāng)=-,即x=30時等號成立，所以a>10.2.x6當(dāng)該商品改革后的銷售量a至少達到10.2萬件時，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時該商品的每件定價為30元.現(xiàn)場糾錯系列8.利用基本不等式求最值典例(1)已知x>0,y>0,且x+j=1,則x+y的最小值是一3(2)函數(shù)y=12x(x<0)的值域為x錯解展示解析(1)x>0,y>0,1=x+y>2xy,Jxy>22,x+y>2Jxy=4>y2,，x+y

21、的最小值為42.(2).2x+3>2乖，y=1-2x-3<1-26.xx，函數(shù)y=12xx(x<0)的值域為(一00,12加.答案(1)4/(2)(8,1-276現(xiàn)場糾錯解析:x>0,y>0,-x+y=(x+y)(1+2)xyy2x=3+(+歹>3+2。2(當(dāng)且僅當(dāng)y=g時取等號),當(dāng)x=也+1,y=2+小時，(x+y)min=3+22.-2x| 二=1 + 26,當(dāng)且僅x "當(dāng)x=(2)1x<0,.-.y=l-2x-X=1+(-2x)+(-33)>1+23等號，故函數(shù)y=1-2x(x<0)的值域為1+2巡，+8).x答案(1)3

22、+242(2)1+2乖)+00)糾錯心得利用基本不等式求最值時要注意條件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要驗證等號成立的條件課時作業(yè)1.(教材改編)已知a,beR,且ab>0,則下列不等式中，恒成立的序號是 a2+b2>2ab； a+1)>2yab;1 12®-+->-j=；abab答案解析因為a2+b2>2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立，所以錯誤；對于，因為ab>0,所以b'+a>2、/b.a=2.對于，當(dāng)a<0,b<0時，明顯錯誤.abab2.(教材改編)用長為16cm的鐵絲圍成一個矩形，則所圍成的矩形的最大面積

23、是2cm.答案16解析設(shè)矩形長為xcm(0<x<8),則寬為(8x)cm,.,_x+8x2，一.,1面積S=x(8-x).由于x>0,8-x>0,可得S<(一2一)=16，當(dāng)且僅當(dāng)x=8-x,即x=4時，Smax=16.所以矩形的最大面積是16cm2.2x一.3.當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)=x2+1有取值，為.答案大1. 一2x解析f(x)=E4.（2016 鹽城模擬=2耳w|=1,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號x+一x一x22）函數(shù)y=2L2的最小值為.x+1答案解析小值2x2+1+1y-7x212.=Jx2in+_1>2,當(dāng)且僅當(dāng)后臼=_2,即x=0時，y取

24、到最x+1'x+1c.1t+15.設(shè)正數(shù)a,使a+a2>0成立，右t>0,貝U2logatloga_2(填>“<”).答案解析因為 a + a 2>0,所以 a< 2 或 a>1,又a>0,所以a>1,因為所以10gt + 1廠 1a-2 > lOg at =2lOg at .6.設(shè)f(x)= x2+x+ 1, g(x) =x2+ 1,f x 則的取值范圍是g x答案12解析3xx2+x+1x +1x= * 1 + x2+l當(dāng)x = 0時,=1;當(dāng)x>0時,11W1+2 = x + -x32；當(dāng)x<0時,1x+I=

25、(Lrfx*7.（2016吉林九校第二次聯(lián)考）若正數(shù)a,b滿足；+（=1,則a1+b1的最小值是答案619 _ 1a 1 + b 1 - a 1解析T=-+ 9( a 1) >2aa-1時T8.(2016 南京一模)已知x, yC R且滿足x2+2xy+4y2 = 6,則z = x2+4y2的取值范圍為.11a.一，正數(shù)設(shè)滿石十丘口動解得a>1.同理可得一，1r-4,a=6,當(dāng)且僅當(dāng)a-1=9(a1),即2=3時等號成立，最小值為6.答案4,122A2解析2xy=6(x2+4y2),而2xy<乂J,22x2+4y2-6-(x+4y)<2,.x2+4y2>4(當(dāng)且僅

26、當(dāng)x=2y時取等號).又.(x+2y)2=6+2xy>0,IP2xy>6,z=x2+4y2=6-2xy<12(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號).綜上可知4<x2+4y2<12.人,心a+bL9.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差數(shù)列，x,c,d,y成等比數(shù)列，則的取小值cd為.答案4a+b=x+y,解析由題意，知cd=xy,所以a+b2=x+y2=x+y2+2xy=x±£+2cdxyxyxy>2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，等號成立.10.某民營企業(yè)的一種電子產(chǎn)品，2015年的年產(chǎn)量在2014年基礎(chǔ)上增長率為a；2016年計劃a

27、+b,在2015年的基礎(chǔ)上增長率為b(a,b>0),若這兩年的平均增長率為q,則q與一2一的大小關(guān)玄早不TH.a+b答案qw2一解析設(shè)2014年的年產(chǎn)量為1,則2016年的年產(chǎn)量為(1+a)(1+b),解析因為E =a+17 = (a-1)+t+1>3,a i當(dāng)且僅當(dāng)a=2時等號成立.12.（2016 南通模擬2）設(shè)實數(shù)x, y滿足:一y2=1,則3x22xy的最小值是答案 6+4/解析 方法一 因為x4y2=1,所以3x2-2xy =3x22xy3-§x 2 1zy 4y 1 1令 y 2, 5),貝U 3x2 2xy =3 2k 4 32k=72121-4k4-k,再

28、令 t =3-2k(2,4),則 k =，故 3x2 2xy =4t一 t 2十 6t 一 844>T=6+ 4也 當(dāng)且僅當(dāng)t=2，2時等號成立. t + 8 +6 6一38方法二令 t =3x22xy,則 y=z一代入方程y2= 1 并化簡得 8x4+ (4 6t) x2+ 12= 0, 2x4令 u = x2>4 ,則 8u2 +(46t)u + t2=0 在4 , + 8）上有解，從而由A= 4-6t 2-32t2>0,3 6t -4I 16 >0,得t212t+4>0,解得t>6+42,當(dāng)取得最小值時，u3=2 + 22?兩足題息.2、，x 2 x x 萬法二 因為 4y = 1 = (2+y)(2y)所以令5 + y=t,則21y=.(1+q)2=(1+a)(1+b),i1：1+a+1+ba+b.1+q=7i+a1+b<2=1T2-,ab，qwa/,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，取"=：一，一1,一，11.(2016泰州模擬)已知a>b>1且210gab+310gba=7,貝Ua+b2的最小值為答