高中數(shù)學(xué)曲線軌跡方程的求法

1、題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座曲線的軌跡方程的求法高考要求 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一 求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系 這類問(wèn)題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義，性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn) 重難點(diǎn)歸納 求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法 (1)直接法 直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 (2)定義法 若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義

2、(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等)，可用定義直接探求 (3)相關(guān)點(diǎn)法 根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 (4)參數(shù)法 若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程 求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性 要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念 典型題例示范講解 例1如圖所示，已知P(4，0)是圓x2+y2=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程 命題意圖 本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程 知識(shí)依托 利用平面幾何的基本知識(shí)和兩點(diǎn)間的

3、距離公式建立線段AB中點(diǎn)的軌跡方程 錯(cuò)解分析 欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題 技巧與方法 對(duì)某些較復(fù)雜的探求軌跡方程的問(wèn)題，可先確定一個(gè)較易于求得的點(diǎn)的軌跡方程，再以此點(diǎn)作為主動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡上的點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn)，求得軌跡方程 解 設(shè)AB的中點(diǎn)為R，坐標(biāo)為(x,y)，則在RtABP中，|AR|=|PR| 又因?yàn)镽是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理 在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此點(diǎn)R在一個(gè)圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)即

4、在所求的軌跡上運(yùn)動(dòng) 設(shè)Q(x,y)，R(x1,y1)，因?yàn)镽是PQ的中點(diǎn)，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得 x2+y2=56,這就是所求的軌跡方程 例2設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線 y2=4px(p0)上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OAOB，OMAB，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線 命題意圖 本題主要考查“參數(shù)法”求曲線的軌跡方程 知識(shí)依托 直線與拋物線的位置關(guān)系 錯(cuò)解分析 當(dāng)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2)時(shí)，注意對(duì)“x1=x2”的討論 技巧與方法 將動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y用其他相關(guān)的量表示出來(lái)，然后再消掉這些量，從而就建立了關(guān)于x、y的關(guān)系 解法一 設(shè)

5、A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x0)直線AB的方程為x=my+a由OMAB，得m=由y2=4px及x=my+a，消去x,得y24pmy4pa=0所以y1y2=4pa, x1x2=所以，由OAOB，得x1x2 =y1y2所以故x=my+4p,用m=代入，得x2+y24px=0(x0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn) 解法二 設(shè)OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得AB的方程為，過(guò)定點(diǎn)，由OMAB，得M在以O(shè)N為直徑的圓上（O點(diǎn)除外）故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24px=0

6、(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn) 解法三 設(shè)M(x,y) (x0)，OA的方程為，代入y2=4px得則OB的方程為，代入y2=4px得由OMAB，得M既在以O(shè)A為直徑的圓 上，又在以O(shè)B為直徑的圓 上（O點(diǎn)除外），+得 x2+y24px=0(x0)故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y24px=0(x0)，它表示以(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn) 例3某檢驗(yàn)員通常用一個(gè)直徑為2 cm和一個(gè)直徑為1 cm的標(biāo)準(zhǔn)圓柱，檢測(cè)一個(gè)直徑為3 cm的圓柱，為保證質(zhì)量，有人建議再插入兩個(gè)合適的同號(hào)標(biāo)準(zhǔn)圓柱，問(wèn)這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)圓柱的直徑為多少？命題意圖 本題考查“定義法”

7、求曲線的軌跡方程，及將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 知識(shí)依托 圓錐曲線的定義，求兩曲線的交點(diǎn) 錯(cuò)解分析 正確理解題意及正確地將此實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題是順利解答此題的關(guān)鍵 技巧與方法 研究所給圓柱的截面，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，找到動(dòng)圓圓心的軌跡方程 解 設(shè)直徑為3,2,1的三圓圓心分別為O、A、B，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩等圓P、Q,使它們與O相內(nèi)切，與A、B相外切 建立如圖所示的坐標(biāo)系，并設(shè)P的半徑為r,則|PA|+|PO|=(1+r)+(1 5r)=2 5點(diǎn)P在以A、O為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2 5的橢圓上，其方程為=1 同理P也在以O(shè)、B為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2的橢圓上，其方程為(x)2+y2=1 由、可解得，r=故

8、所求圓柱的直徑為 cm 例4已知A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M到A與到B的距離比為常數(shù),求點(diǎn)M的軌跡方程，并注明軌跡是什么曲線 解 建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)|AB|=2a,則A(a,0）,B(a,0) 設(shè)M(x,y）是軌跡上任意一點(diǎn) 則由題設(shè)，得=,坐標(biāo)代入，得=,化簡(jiǎn)得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)當(dāng)=1時(shí)，即|MA|=|MB|時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x=0，點(diǎn)M的軌跡是直線(y軸) (2)當(dāng)1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡方程是x2+y2+x+a2=0 點(diǎn)M的軌跡是以(，0）為圓心，為半徑的圓 學(xué)生鞏固練習(xí) 1 已知橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，P是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F1P到Q，

9、使得|PQ|=|PF2|，那么動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是( )A 圓B 橢圓 C 雙曲線的一支D 拋物線2 設(shè)A1、A2是橢圓=1的長(zhǎng)軸兩個(gè)端點(diǎn)，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端點(diǎn)，則直線A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程為( )A B C D 3 ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B(,0),C(,0)，且滿足條件sinCsinB=sinA,則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi) 4 高為5 m和3 m的兩根旗桿豎在水平地面上，且相距10 m，如果把兩旗桿底部的坐標(biāo)分別確定為A(5，0)、B(5，0)，則地面觀測(cè)兩旗桿頂端仰角相等的點(diǎn)的軌跡方程是_ 5 已知A、B、C是直線l上的三點(diǎn)，且|AB|=|BC|=6，O切直線

10、l于點(diǎn)A，又過(guò)B、C作O異于l的兩切線，設(shè)這兩切線交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程 6 雙曲線=1的實(shí)軸為A1A2，點(diǎn)P是雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，引A1QA1P，A2QA2P，A1Q與A2Q的交點(diǎn)為Q，求Q點(diǎn)的軌跡方程 7 已知雙曲線=1(m0,n0)的頂點(diǎn)為A1、A2，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q (1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)M的軌跡方程；(2)當(dāng)mn時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率 8 已知橢圓=1(ab0),點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外角平分線為l，點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，F(xiàn)2Q交l于點(diǎn)R (1)當(dāng)P點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求R形成的軌跡方程；(2)設(shè)

11、點(diǎn)R形成的曲線為C，直線l y=k(x+a)與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB的面積取得最大值時(shí)，求k的值 參考答案 1 解析 |PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓 答案 A2 解析 設(shè)交點(diǎn)P(x,y）,A1(3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,y0)A1、P1、P共線，A2、P2、P共線，解得x0=答案 C3 解析 由sinCsinB=sinA,得cb=a,應(yīng)為雙曲線一支，且實(shí)軸長(zhǎng)為,故方程為 答案 4 解析 設(shè)P(x,y），依題

12、意有,化簡(jiǎn)得P點(diǎn)軌跡方程為4x2+4y285x+100=0 答案 4x2+4y285x+100=05 解 設(shè)過(guò)B、C異于l的兩切線分別切O于D、E兩點(diǎn)，兩切線交于點(diǎn)P 由切線的性質(zhì)知 |BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=186=|BC|，故由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以B、C為兩焦點(diǎn)的橢圓，以l所在的直線為x軸，以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，可求得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為=1(y0)6 解 設(shè)P(x0,y0）(x±a),Q(x,y) A

13、1(a,0),A2(a,0) 由條件而點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲線上，b2x02a2y02=a2b2 即b2(x2)a2()2=a2b2化簡(jiǎn)得Q點(diǎn)的軌跡方程為 a2x2b2y2=a4(x±a) 7 解 (1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,y1)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),則A1P的方程為 y=A2Q的方程為 y= ×得 y2= 又因點(diǎn)P在雙曲線上，故代入并整理得=1 此即為M的軌跡方程 (2)當(dāng)mn時(shí)，M的軌跡方程是橢圓 ()當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；()當(dāng)mn時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e= 8 解 (1)點(diǎn)F2關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為Q，連接PQ，F(xiàn)2PR=QPR，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|又因?yàn)閘為F1PF2外角的平分線，故點(diǎn)F1、P、Q在同一直線上，設(shè)存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(c,0),F2(c,0) |F1Q|=|F2P|+|PQ|