重慶大學(xué) 工程力學(xué)3課件

1、平衡的必要與充分條件：該力系的合力該力系的合力FR為零。為零。空間匯交力系的平衡方程注意：注意：(1) 當(dāng)空間匯交力系平衡時(shí)，它與任何平面上的投影力 系也平衡。(2) 投影軸可任意選取，只要三軸不共面且任何兩根不 平行。3.1.1 空間匯交力系空間匯交力系=0Z=0Y=0XCA4545605 m30BDEG 桅桿式起重機(jī)可簡(jiǎn)化為如圖所示結(jié)構(gòu)。AC為立柱，BC，CD和CE均為鋼索，AB為起重桿。A端可簡(jiǎn)化為球鉸鏈約束。設(shè)B點(diǎn)滑輪上起吊重物的重量P=20 kN，AD=AE=6 m，其余尺寸如圖。起重桿所在平面ABC與對(duì)稱面ACG重合。不計(jì)立柱和起重桿的自重，求起重桿AB、立柱AC和鋼索CD，CE所

2、受的力。 例CA4545605 m30BDEG 1. 先取滑輪B為研究對(duì)象。注意，起重桿AB為桁架構(gòu)件，兩端鉸接，不計(jì)自重，它是一個(gè)二力構(gòu)件，把滑輪B簡(jiǎn)化為一點(diǎn)，它的受力圖如圖所示。xyB6030PFABFBC, 0=xF030 cos60 cos=BCABFF, 0=yF解： 這是一平面匯交力系，列平衡方程kN, 20= PFBCkN 6 .343=PFAB解得030 sin60 sin=PFFBCAB 2. 再選取C點(diǎn)為研究對(duì)象，它的受力圖如圖所示。 此力系在Axy平面上投影為一平面匯交力系，其中：,0=zF0coscos60cos=CECDACBCFFFF先列出對(duì)Az軸的投影方程 這是一

3、空間匯交力系，作直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy，把力系中各力投影到Axy平面和Az軸上。60 sinBCBCFF= 2 .50 sinCDCDFF=2 .50 sinCECEFF=2 .5056arctan arctan ACADxzAy4545BCF CEFCDFCFACFCEFCDBCF60列平衡方程, 0=xF045 sin45 sin=CDCEFF, 0=xF045 cos45 cos=CECDBCFFFkN 9 .1545 cos2 .50 sin260 sin=BCCECDFFFkN 4 .1060cos2 .50 cos2 =BCCDACFFF由此解得kN 6 .34=ABFkN 4 .10=

4、ACFkN9 .15=CECDFF所求結(jié)果如下：xzAy4545BCF CEFCDFCFACFCEFCDBCF60即平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個(gè)即平面匯交力系平衡的解析條件是：力系中各力在兩個(gè)坐標(biāo)軸中上的投影之代數(shù)和均等于零。坐標(biāo)軸中上的投影之代數(shù)和均等于零。由于提供的獨(dú)立的方程有兩個(gè)，故可以求解兩個(gè)未知量。3.1.2 平面匯交力系平面匯交力系由幾何法知：平面匯交力系平衡的必要和充分條件是該力系的合力為零，即0=RF=0Y=0X例例 重物A質(zhì)量m=10kg,懸掛在支架鉸接點(diǎn) B 處，A、C 為固定鉸支座，桿件位置如圖示，略去支架桿件重量，求重物處于平衡時(shí)，AB 、BC 桿的內(nèi)

5、力。（a）ABC045060由于求出的 和 都是正值，所以原先假設(shè)的方向是正確的，即 AB 桿承受拉力，BC 桿承受壓力。若求出的結(jié)果為負(fù)值，則說(shuō)明力的實(shí)際方向與原假定的方向相反。2F1F045cos30cos,00201=FFFx045sin30sin,00201=FFPFy聯(lián)立上述兩方程，解得： =88 ， =71.8 。1F2FNN 取鉸B為研究對(duì)象，其上作用有三個(gè)力：重力 mg；AB桿的約束反力F1 (設(shè)為拉力)及 BC 桿的約束反力F F2 2 （設(shè)為壓力），坐標(biāo)軸如圖b所示，例出平衡方程【解】【解】（b）045030TFSFBmgyx應(yīng)注意：應(yīng)注意： 為避免解聯(lián)立方程，可把一個(gè)軸放

6、在垂直于一個(gè)未知力的作用線上，這個(gè)未知力在軸上的投影為零，這個(gè)投影方程就只有一個(gè)未知數(shù)，不必解聯(lián)立方程。如在下例中這樣建立坐標(biāo)系FT 和F FN 相互藕合如 060cos30cos000=NTxFFF060cos30cos000=NTxFFF可求得 =？TFo(a)P030(b)TFyxNFP(c)oxyNFTFPCBAP思考題思考題勻速起吊重 P 的預(yù)制梁如圖所示，如果要求繩索 AB、BC 的拉力不超過(guò)0.6P ，問(wèn) 角應(yīng)在什么范圍內(nèi)？空間力偶系平衡的必要與充分條件是:該力偶系中所有的各力偶矩矢的矢量和為零 .0=M投影形式有, 0, 0, 0=zyxMMM3.2.1 平面力偶系平面力偶系3

7、.2.2 平面力偶系平面力偶系 平面力偶系平衡的必要和充分條件是：力偶系中各力偶矩的代數(shù)和等于零，即利用這個(gè)平衡條件，可以求解一個(gè)未知量。= 0M例例 兩力偶作用在板上，尺寸如圖，已知 = 1.5KN = 1KN,求作用在板上的合力偶矩。43FF =21FF =180803F4F1F2Fmmmm負(fù)號(hào)表明轉(zhuǎn)向?yàn)轫槙r(shí)針。 由式21MMM=則18. 03=FM08. 01 FmN = 300【解】【解】例例長(zhǎng)為 4 m 的簡(jiǎn)支梁的兩端 A、B 處作用有二個(gè)力偶矩，各為 。求 A 、B 支座的約束反力。mNM=161mNM= 42。A( )604Bm1M2Ma故mNFFBA=6解得mNFB= 6得06

8、0cos021=lFMMBFA 、FB為正值，說(shuō)明圖中所示F FA 、F FB 的指向正確。 作 AB 梁的受力圖，如圖（ b ）所示。AB梁上作用 有二個(gè)力偶組成的平面力偶系，在 A 、B 處的約束 反力也必須組成一個(gè)同平面的力偶 （ ， ）FAMFBM與之平衡?！窘狻俊窘狻坑善胶夥匠?0M( )BF1M2MAFdABb例例如圖所示，機(jī)構(gòu) ，在圖示位置平衡。已知：OA400mm， 600mm，作用在OA上的力偶矩之大小 1Nm。試求力偶矩 的大小和桿AB 所受的力F。各桿的重量及各處摩擦均不計(jì)。1OABOBO11M2M1OOAB0900451M2MABFABFBAOF030AO1MABFAB

9、F1OFB1O2M分析OA桿，有0=OM030sin10=MAOFABNFAB5=分析 桿，有BO10, 012=BOFMMABOmNM=32 作AB、AO及 桿的受力圖，AB桿為二力構(gòu)件1BO【解】【解】3.3.1 空間任意力系空間任意力系空間力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化后為:一個(gè)力一個(gè)力和一個(gè)力偶一個(gè)力偶故空間力系平衡的必要條件是力系的主矢及主矩都等于零,即0=FFR0)(00=FMM=222)()()(ZYXFR2220)()()(FMFMFMMzyx=這是空間力系的平衡方程空間任意力系平衡的必要與充分條件:力系中所有各力在任意相互垂直的三個(gè)坐標(biāo)軸上之投影的力系中所有各力在任意相互垂直的三個(gè)坐標(biāo)軸上之

10、投影的代數(shù)和等于零代數(shù)和等于零,以及力系對(duì)于這三個(gè)軸之矩的代數(shù)和分別等以及力系對(duì)于這三個(gè)軸之矩的代數(shù)和分別等于零于零.=, 0, 0, 0ZYX=, 0)(, 0)(, 0)(FMFMFMzyx在求解空間力系問(wèn)題時(shí)要注意幾點(diǎn):(1)約束性質(zhì)(2)當(dāng)空間任意力系平衡時(shí),它在任何面上的投影力系也平衡,可將空間轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)處理(3)除三投影式,三力矩式,還有四力矩,五力矩,六力矩式.取坐標(biāo)軸z與各力平行,則=, 0)(, 0)(, 0FMFMZyx3.3.2 空間平行力系空間平行力系空間平行力系平衡的必要充分條件是:該力系所有各力在與力線平行的坐標(biāo)軸上的投影代數(shù)和等于零,以及各力對(duì)于兩個(gè)與邊線垂

11、直的軸之矩的代數(shù)和分別為零.3.3.3 平面任意力系平面任意力系平面任意力系的平衡方程1) 一般式=000AMYX2)二矩式=000BAMMX兩個(gè)取矩點(diǎn)連線，不得與投影軸垂直BA,3)三矩式=000CBAMMM三個(gè)取矩點(diǎn)，不得共線CBA,注意：注意：以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能求出三個(gè)未知數(shù)以上格式分別有三個(gè)獨(dú)立方程，最多只能求出三個(gè)未知數(shù)。 懸臂剛架ABC上作用有分布荷載q=1kN/m,P=3kN,Q=4kN及力偶矩2kNm,剛架各部分尺寸如圖示.求固定端A處的約束反力及力偶矩.例例PABCmPq【解解】作受力圖,建坐標(biāo)系0, 0=PFFAXx0, 0=QFFAyy02, 0=qFF

12、Azz0123, 0)(=qPMFMQxx06, 0)(=mPMFMyy04, 0)(=PMFMyzQBCmPqxyzAyRAZRxmymAmzAxR若負(fù)值說(shuō)明與設(shè)定方向相反。mkNMz=12mkNMy= 20求解得:kNFAz2=kNFAy4=kNFAx3=mkNMx=131、填空題、填空題（1）空間匯交力系平衡的幾何條件是：該力系的多邊形 。自行封閉自行封閉( 2 )力對(duì)點(diǎn)O的矩矢在通過(guò)該點(diǎn)的任一軸上的投影等于 。力對(duì)該軸之矩力對(duì)該軸之矩2、選擇題、選擇題（1）空間力偶矩是（ ）A、代數(shù)量 B、滑動(dòng)矢量 C、定位矢量 D、自由矢量D【思考題思考題】 （2）一空間力系中各力的作用線均平行于某

13、一固定平面，而且該力系又為平衡力系，則可列獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)是（ ）。A、6個(gè) B、5個(gè) C、4個(gè) D、3個(gè)B（3）如果一空間力系中各力的作用線分別匯交于兩個(gè)固定點(diǎn)，則當(dāng)力系平衡時(shí)，可列獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)是（ ）。A、6個(gè) B、5個(gè) C、4個(gè) D、3個(gè)BaFFMFMFMATTzTyTx=)(,0)(,0)(、0)(,cos)(,cos)(=TzTTyTTxFMbFFMaFFMB、0)(,sin)(,sin)(=TzTTyTTxFMbFFMaFFMC、0)(,cos)(,cos)(=TzTTyTTxFMbFFMaFFMD、zxyCBAObaTFD（4）如圖所示，矩形板重P，用球鉸鏈C以及柔繩BD

14、支承在水平面上，則力 對(duì)x、y、z軸之矩為（ ）TFD3、長(zhǎng)方體長(zhǎng) 0.5m，寬b0.4m，高c0.3m，在其上作用力F80N，方向如圖所示，試分別計(jì)算： （1）力F在x、y、z軸上的投影； （2 ) 力F在 軸上的投影。1zaxyz1x1y1zoF12cba222coscbacFFFz=N22480226 . 0=設(shè)力F與 軸之間的夾角為 ，則1zNcbacaFFFz648054cos222221=解法一解法一 一次投影法222coscbaaFFFx=N2408025 . 0=222coscbabFFFy=N2328024 . 0=解法二解法二 二次投影法設(shè)力F與oxy平面的夾角為 ，則得力

15、F在oxy平面上的投影的大小為22222coscbabaFFFxy=于是有NbaacbabaFFFxyx240cos2222222=NbabcbabaFFFxyy232sin2222222=NcbacFFFz224sin222= （4）合理選取坐標(biāo)系，列平衡方程求解）合理選取坐標(biāo)系，列平衡方程求解（5）對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的分析和討論。）對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的分析和討論。（1）弄清題意，明確已知量和待求量；）弄清題意，明確已知量和待求量；（2）恰當(dāng)選取研究隊(duì)象，明確所研究的）恰當(dāng)選取研究隊(duì)象，明確所研究的 的物體；的物體； （3）正確畫(huà)出研究隊(duì)象的受力圖（主動(dòng)力，約束反力，）正確畫(huà)出研究隊(duì)象的受力圖（主動(dòng)

16、力，約束反力， 二力構(gòu)件，三力匯交平衡）；二力構(gòu)件，三力匯交平衡）；圖示一塔示起重機(jī)。機(jī)架m1=50t，重心在o點(diǎn)。已知起重機(jī)的最大起吊質(zhì)量m2=25t，欲使起重機(jī)在空載與滿載時(shí)都不會(huì)翻到，平衡錘的質(zhì)量m3 應(yīng)如何？cbxyFRxaLW1圖o例例圖中 a=3m,b=1.5m,c=6m, l=10m,W=m2g, =m3gW1=m1g。QPF 的方向鉛垂向下?！窘狻俊窘狻繖C(jī)架重量、起吊重量及平衡錘重量分別設(shè)為W1 、 W、 Q。這是一個(gè)平面一般力系的特例平面平行力系。取坐標(biāo)如圖，可知合力R的投影為cbxyFRxaLW1ogmmmFgmgmgmFFFFRyRyxRx)(, 0321321=式中x隨

17、 m2、m3 而變，其他各量都是不變的。 合力的作用線與x 軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為x，則由合力矩定理得即cbxyFRxaLW1o(a)()(FMFMARA=321321321)()()()(mmmcmlambamxcgmlagmbagmxFR=欲使起重機(jī)不翻倒tcbamm5 .376) 5 . 13 (50)(13=即得應(yīng)有應(yīng)有 ax0(1) 空載時(shí)， =0，w=0， x0，由( )式得2ma0)(31cmbam欲使起重機(jī)不致翻倒，應(yīng)有為了保證安全，可取m3 =36.537t。（2） 滿載時(shí)， m2 =25t,，x 由( ) 式得aataclmbmmamcmlmbmmmmacmlambam1 .3

18、63610255 . 150)()()(2133321321321=tmt5 .371 .363 物體系是由幾個(gè)物體組成，可分別分析各個(gè)物體的受力情況，畫(huà)出受力圖。 根據(jù)受力圖的力系類型，可知各有幾個(gè)獨(dú)立的平衡方程，如平面一般力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程等。 總計(jì)獨(dú)立平衡方程數(shù)，與問(wèn)題中未知量的總數(shù)相比較。 若未知量總數(shù)超過(guò)獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則問(wèn)題是靜不定的。1) 靜定問(wèn)題與靜不定問(wèn)題靜定問(wèn)題與靜不定問(wèn)題 若未知量總數(shù)小于獨(dú)立的平衡方程總數(shù)，則系統(tǒng)可能不平衡，而若計(jì)算表明，所有的平衡方程都能滿足，則說(shuō)明系統(tǒng)處于平衡，但題給的條件有些是多余的或系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是不穩(wěn)固的。 若未知量總數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡

19、方程總數(shù)，則問(wèn)題是靜定靜定的。注意：注意： （1） 在總計(jì)獨(dú)立的平衡方程數(shù)時(shí)，應(yīng)分別考慮系統(tǒng)中每一個(gè)物體，而系統(tǒng)的整體則不應(yīng)再加考慮。因?yàn)橄到y(tǒng)中每一個(gè)物體既已處于平衡，整個(gè)系統(tǒng)當(dāng)然處于平衡，其平衡方程可由各個(gè)物體的平衡方程推出，因而是不獨(dú)立的。 （2）在求解物體系的平衡問(wèn)題時(shí)，不僅要研究整體，還要研究局部個(gè)體，才能使問(wèn)題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)正好等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)的受力圖開(kāi)始，逐步求解。 物體系：由幾個(gè)物體通過(guò)一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)。如圖3a、圖3b所示。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG圖3a2) 物體系的平衡問(wèn)題物體系

20、的平衡問(wèn)題1 、內(nèi)力和外力、內(nèi)力和外力外力外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。內(nèi)力內(nèi)力：在系統(tǒng)內(nèi)部，各個(gè)物體之間，或一 個(gè)物體的這一部分與哪一部分之間， 相互作用的力。如圖3c所示。mqCADBE30。a3aF圖3bCB20kNACxFCyFBNFAxFAyFxy2kN/mEGExFEyFGNF10kNCE圖3cCyFCxFDNFExFEyFCD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG 三鉸拱橋如圖所示，由左右兩段借鉸鏈C連接起來(lái)，又用鉸鏈A，B與基礎(chǔ)相連接。已知每段重P = 40 kN，重心分別在D，E處，且橋面受一集中載荷F =10 kN。設(shè)各鉸鏈都

21、是光滑的，試求平衡時(shí)，各鉸鏈中的力。尺寸如圖所示。例解：先取整體為研究對(duì)象。受力分析如圖。 = , 0FBM0m 62m 12m 3=PFFAyFAy= 42.5 kN, 0=yF02=FPFFByAyFBy= 47.5 kN, 0=xF(a) 0=BxAxFF再取AC段為研究對(duì)象。受力分析如圖。ACDFCxPFAxFAyFCy, 0=xF = , 0FCM0m 5m 6m 6=PFFAyAx由平衡方程。FAx= 9.2 kNFCx= 9.2 kN0=CxAxFF代入(a) 式得FBx= -9.2 kN, 0=yF0=PFFCyAyFCy= 2.5 kN負(fù)號(hào)表示力的方向和圖示方向相反。l/8q

22、BADMFCHEl/4l/8l/4l/4 組合梁AC和CE用鉸鏈C相連，A端為固定端，E端為活動(dòng)鉸鏈支座。受力如圖所示。已知： l =8 m，F(xiàn)=5 kN，均布載荷集度q=2.5 kN/m，力偶矩的大小M= 5 kNm，試求固端A，鉸鏈C和支座E的約束力。例CE1.取CE段為研究對(duì)象。受力分析如圖。解：, 0=yF01=ECFFF = , 0FMC0281=lFMlFE聯(lián)立求解。 FE=2.5 kN， FC=2.5 kNF1M3l/8Hl/8FCFE由平衡方程l/8qBADMFCHEl/4l/8l/4l/4421qlFF=由列平衡方程。聯(lián)立解之。 FA= 15 kN， MA= 2.5 kNmM

23、AF2l/4IAFCHl/8l/8FACF再取AC段為研究對(duì)象，受力分析如圖。028382=lFlFlFMCA = , 0FAM02=FFFFCA, 0=yF A，B，C，D處均為光滑鉸鏈，物塊重為P，通過(guò)繩子繞過(guò)滑輪水平地連接于桿AB的E點(diǎn)，各構(gòu)件自重不計(jì)，試求B處的約束力。 P例025=AxFrPr = , 0FCMFAyFAxFCxFCyPFBxFAyFAxFByFE解：取整體為研究對(duì)象。受力分析如圖，由平衡方程。再取桿AB為研究對(duì)象，受力分析如圖。022=EByBxrFFrFr = , 0FAM0=EBxAxFFF, 0=xF由平衡方程,5 . 1 PFBx=PFBy2=聯(lián)立求解可得P

24、FAx5 . 2=解得 齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)如圖所示。齒輪的半徑為r，自重P1。齒輪的半徑為R=2r，其上固定一半徑為r的塔輪，輪與共重為P2 = 2P1。齒輪壓力角為 =20 被提升的物體C重為P = 20P1。求：（1）保持物C勻速上升時(shí)，作用于輪上力偶的矩M；（2）光滑軸承A，B的約束力。ABrrRMCPP1P2例 (1). 取，輪及重物為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。解方程得1211n32,64. 3,64.10cosPFPPFPFPRPrFByBx= 0cos, 00cos, 00sin, 0n2nn=RFrPFMPFPFFFFFBByyBxx列平衡方程解：解：ABrrRMCPP1P2CBKP

25、FBxFByFnP2rPrFMPFPFPFFAyAx1n1n11n10cos9cos64.3sin= 0cos , 00cos, 00sin , 0n1nn=rFMFMPFFFFFFAAyyAxx 2. 再取輪為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。解方程得由平衡方程ABrrRMCPP1P2AKMP1FAxFAynF 如圖所示，已知重力P，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪半徑為R，動(dòng)滑輪半徑為r，且R=2r=l, =45 。試求：A，E支座的約束力及BD桿所受的力。DKCABEP例DKCABE 1. 選取整體研究對(duì)象，受力分析如圖所示。由平衡方程解平衡方程81345 sin8545cos825PFP

26、FPFFPFAEyAExA=045sin,0045 cos,002522,0=PFFFFFFlPlFFMEyAyExAxAEFAPFExFEy解： 2. 選取DEC研究對(duì)象，受力分析如圖所示。列平衡方程 02245 cos, 0=lFlFlFFMExKDBC823PFDB=ECKD解平衡方程FKFEyFExDBFCyFCxFDKCABEP2PFK=顯然 剛架結(jié)構(gòu)如圖所示，其中A，B和C都是鉸鏈。結(jié)構(gòu)的尺寸和載荷如圖所示。試求A，B，C三鉸鏈處的約束力。PqABCbaa/2a/2M例ABCxyqbPMFAxFAyFBxFBy 1. 取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示。由平衡方程),2121(212q

27、bPaMaFAy=)2123(212qbMPaaFPFAyBy=解方程得解：, 0)( =FMB0222=bqbaFaPMAy, 0=yF0=PFFByAy, 0=xF0=qbFFBxAx 2. 再取AC為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。由平衡方程ACxyqbFAxFAyFCyFCx)2321(212qbPaMbFAx=)2121(212qbPaMbFCx=)2121(212PaMqbaFCy=)2121(212qbPaMbFBx=解方程得, 0)(=FMC02=aFbqbbFAyAx, 0=xF0=qbFFCxAx, 0=yF0=CyAyFFPqABCbaa/2a/2M 重為P = 980 N的

28、重物懸掛在滑輪支架系統(tǒng)上，如圖所示。設(shè)滑輪的中心B與支架ABC相連接，AB為直桿，BC為曲桿，B為銷釘。若不計(jì)滑輪與支架的自重，求銷釘B作用在與它相連接的每一構(gòu)件上的約束力。 ABCDEFIH0.6 m0.8 m45P例 取滑輪B為研究對(duì)象，受力分析如圖。由平衡方程, 0=xF045 cos2=PFBx, 0=yF0245 sin2=PPFBy解得N 34745 cos2=PFBxN 847245 sin2=PPFBy解：B2PHF2PFBxFBy45例題3-15PABCDEFIH0.6m0.8m45PABCDEFIH0.6m0.8m45 再取銷釘B為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。0542=CB

29、ByFPF, 0=yF, 0=xF053=CBABBxFFF由平衡方程N(yùn) 340 1=ABFN 660 1=CBF解得B2PBAFBCFByFBxF 渦輪發(fā)動(dòng)機(jī)的渦輪葉片上受到的燃?xì)鈮毫珊?jiǎn)化成作用在渦輪盤(pán)上的一個(gè)軸向力和一個(gè)力偶。圖示中FO ， MO , 斜齒輪的壓力角為，螺旋角為，節(jié)圓半徑r及l(fā)1 , l2尺寸均已知。發(fā)動(dòng)機(jī)的自重不計(jì)，試求輸出端斜齒輪上所受的反作用力F 以及徑向推力軸承O1和徑向軸承O2 處的約束力。 例 取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立如圖坐標(biāo)系O1xyz，畫(huà)出系統(tǒng)的受力圖。 其中在徑向推力軸承O1處的約束力有三個(gè)分量。在徑向軸承O2處的約束力只有兩個(gè)分量。 在斜齒輪上所受的

30、壓力F 可分解成三個(gè)分力。周向力Fy ，徑向力Fx 和軸向力Fz 。其中：解：, cos cosFFy= sin cosFFz=, sinFFx=由 以 上 方程 可 以 求出 所 有 未知量。系統(tǒng)受空間任意力系的作用，可寫(xiě)出六個(gè)平衡方程。, 0=xM, 0=yM, 0=zM0)(2122=llFlFyy0)(2122=llFrFlFxzx0=OyMrF, 0=xF, 0=yF, 0=zF021=xxxFFF021=yyyFFF01=OzzFFF 水平傳動(dòng)軸上裝有兩個(gè)膠帶輪C和D，半徑分別是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 套在C 輪上的膠帶是鉛垂的，兩邊的拉力F1=3 400 N，

31、F2=2 000 N，套在D輪上的膠帶與鉛垂線成夾角 =30o，其拉力F3=2F4。求在傳動(dòng)軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，拉力F3和F4以及兩個(gè)徑向軸承處約束力的大小。 例 以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，建立如圖坐標(biāo)系Oxyz，畫(huà)出系統(tǒng)的受力圖。 解：解： 為了看清膠帶輪C和D的受力情況，作出右視圖。 下面以對(duì) x 軸之矩分析為例說(shuō)明力系中各力對(duì)軸之矩的求法。力FAx和FBx平行于軸 x ，力F2和F1通過(guò)軸 x 。它們對(duì)軸 x 的矩均等于零。 力FAz和FBz對(duì)軸 x 的矩分別為0.25 Faz和1.25 FBz 。 力F3和F4可分解為沿軸 x 和沿軸 z 的兩個(gè)分量，其中沿軸 x 的分量對(duì)軸 x 的矩為零。所以

32、力F3和F4對(duì)軸 x 的矩為 0.75（F3+F4）cos 30o 系統(tǒng)受空間力系的作用，可寫(xiě)出五個(gè)平衡方程。, 0=xF030sin)( 43=FFFFBxAx, 0=zF0)(30 cos)(2143=FFFFFFBzAz, 0=xM0m 75. 030 cos)(m 25. 1m 25. 043=FFFFBZAZ, 0=yM0m 2 . 0)(m 4 . 0)(4321=FFFF, 0=zM0m 75. 030 sin)(m 25. 1m 25. 043=FFFFBxAx又已知F3 =2F4，故利用以上方程可以解出所有未知量。( 1 ) 當(dāng)某平面一般力系的主失 時(shí)，則該力系一 定有合力偶

33、。( )0=iRFF （2）當(dāng)平面一般力系向某一點(diǎn)簡(jiǎn)化為合力偶時(shí)，如果向另 一點(diǎn)簡(jiǎn)化，則其結(jié)果是一樣的。（ ）2、填空題、填空題（1）平面任意力系的平衡方程，可寫(xiě)成三種形式，即 、 和 其中 和 對(duì)矩心的位置必須附加條件。一矩式一矩式二矩式二矩式三矩式三矩式二矩式二矩式三矩式三矩式1 1、是非題、是非題【分析與討論分析與討論】 對(duì)對(duì)錯(cuò)錯(cuò)靜不定或超靜定靜不定或超靜定( 2 )一給定平衡系統(tǒng)，若能列出的獨(dú)立平衡方程的個(gè)數(shù)少于所求未知數(shù)的個(gè)數(shù)，則該問(wèn)題屬于 問(wèn)題。（3）指出下列圖示結(jié)構(gòu)中，哪些是靜定結(jié)構(gòu)，哪些是超靜定結(jié)構(gòu)？靜定結(jié)構(gòu)有 ，靜不定結(jié)構(gòu)有 。cb、d、a)(aABFCAB)(bF1FDCB

34、A)(cFAC)(dFB3、選擇題、選擇題如圖所示，沿邊長(zhǎng)為正方形的各邊分別作用有力，且 ，則該力系向A點(diǎn)簡(jiǎn)化的結(jié)果是：（ ）4321FFF、FFFFFF=4321A、主矢量RF 主矩B、主矢量R2F 主矩C、主矢量R3F 主矩D、主矢量R0 主矩FaMA2=FaMA2=FaMA2=FaMA2=DBC3F1F2F4FAD4、若將下圖中A處改為活動(dòng)鉸支座，則未知量數(shù)目為8個(gè)，但在圖示荷載下仍能平衡。當(dāng)主動(dòng)力的合力在x軸上的投影不為零時(shí)，系統(tǒng)能否平衡？CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG 桁架是由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接形成的幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。桁架中

35、所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架。桁架中的鉸鏈接頭稱為節(jié)點(diǎn)。 為簡(jiǎn)化桁架計(jì)算，工程實(shí)際中采用以下幾個(gè)假設(shè)： (1)桁架的桿件都是直桿； (2)桿件用光滑鉸鏈連接； (3)桁架所受的力都作用到節(jié)點(diǎn)上且在桁架平面內(nèi)； (4)桁架桿件的重量略去不計(jì)，或平均分配在桿件兩端的節(jié)點(diǎn)上。這樣的桁架，稱為理想桁架?？倵U數(shù)mn總節(jié)點(diǎn)數(shù)32 = nm33nm=2( )32 nm平面復(fù)雜（靜不定）桁架32 = nm平面簡(jiǎn)單（靜定）桁架32 nm非桁架（機(jī)構(gòu)） 桁架的計(jì)算就是二力桿內(nèi)力的計(jì)算。如果桁架是平衡的，則假想地截取桁架的一部分為分離體也是平衡的。若分離體只包含一個(gè)節(jié)點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)法，為平面匯交力系的平衡

36、；若分離體包含兩個(gè)以上的節(jié)點(diǎn)，稱為截面法，為平面任意力系的平衡。 應(yīng)注意：（1）首先判斷桁架是否靜定；（2）除了懸臂桁架外一般要先求支座反力；（3）所有桿件的內(nèi)力先設(shè)為拉力，計(jì)算結(jié)果為負(fù)，說(shuō)明該桿為壓力；（4）用節(jié)點(diǎn)法時(shí)，節(jié)點(diǎn)上的未知力一般不能多于兩個(gè)，用截面法時(shí)，節(jié)點(diǎn)上的總未知力一般不能多于三個(gè)，否則不能全部解出。（5）若只要求桁架中某幾個(gè)桿件的內(nèi)力時(shí)，可以適當(dāng)?shù)剡x取一截面截取某一部分為分離體，選擇適當(dāng)?shù)牧胤匠?，可較快地求得某些桿的內(nèi)力。 (1) 節(jié)點(diǎn)法求解平面桁架 桁架內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)都受平面匯交力系作用，為求桁架內(nèi)每個(gè)桿件的內(nèi)力，逐個(gè)取桁架內(nèi)每個(gè)節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，求桁架桿件內(nèi)力的方法即為節(jié)點(diǎn)法

37、。例已知:P=10kN,尺寸如圖；求桁架各桿件受力.解: 1)取整體，畫(huà)受力圖.= 0ixF= 0iyF= 0BM0=BxF042=AyFPkN5=AyF0=PFFByAykN5=ByF2)取節(jié)點(diǎn)A，畫(huà)受力圖.= 0iyF030sin01= FFAy解得kN101=F(壓)= 0ixF030cos012= FF解得kN66. 82=F(拉)3)取節(jié)點(diǎn)C,畫(huà)受力圖.= 0ixF030cos30cos0104= FF解得kN104=F(壓)= 0iyF030sin0413=FFF解得kN103=F(拉)4)取節(jié)點(diǎn)D,畫(huà)受力圖.= 0ixF025=FF解得解得kN66. 85=F(拉)三桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷

38、、其中兩桿在三桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩桿在一條直線上，另一桿必為零力桿。一條直線上，另一桿必為零力桿。12SS=且四桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩兩在四桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、其中兩兩在一條直線上，同一直線上兩桿一條直線上，同一直線上兩桿內(nèi)力等值。內(nèi)力等值。12SS=34SS=兩桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、且兩桿不在兩桿節(jié)點(diǎn)無(wú)載荷、且兩桿不在一條直線上時(shí)，該兩桿是零力桿。一條直線上時(shí)，該兩桿是零力桿。特殊桿件的內(nèi)力判斷特殊桿件的內(nèi)力判斷021= SS例已知:,101kN=P,72kN=P桿長(zhǎng)均為1m;求:1,2,3桿受力.解:1)取整體,求支座約束力.= 0ixF0=AxF= 0BM03221=AyFPP(2) 截面法 用假想的截

39、面將桁架截開(kāi)，取至少包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)以上部分為研究對(duì)象，考慮其平衡，求出被截桿件內(nèi)力，這就是截面法。kN9=AyF021=PPFFByAykN8=ByF= 0iyF2)沿m-n截面將桁架斷開(kāi),取左邊部分受力分析如圖。= 0EM0130cos101=AyFF解得= 0iyF060sin102=PFFAykN4 .101=F(壓)解得kN15. 12=F(拉)= 0ixF060cos0231=FFF解得kN81. 93=F(拉) 懸臂式桁架如圖所示。a=2 m，b=1.5 m，試求桿件GH，HJ，HK的內(nèi)力。 aaaabbFABCDEFGHIJKL例解： 先 用截面 m-m 將桿HK，HJ ， GI

40、， FI 截?cái)啵∮野腓旒転檠芯繉?duì)象，受力分析如圖。ABCDFGHImmFFHKFGIFHJFFImm由平衡方程, 0)(=FIM023=bFaFHK解得FFHK2= 用截面 n-n 將桿EH，EG ， DF ， CF截?cái)?。由平衡方? 0)(=FFM022=bFaFEH解得FFEH34=ABCDEFnnFFEHFDFFEGFCFnn 取右半桁架為研究對(duì)象，受力分析如圖。aaaabbFABCDEFGHIJKL最后 取節(jié)點(diǎn)H為研究對(duì)象，受力分析如圖。由平衡方程, 0=xF022=HKGHEHFbaaFF, 0=yF022=HJGHFbabFHFHKFHJFEHFGH解得FabaFFFEHHKGH

41、65)(22=222FbabFFGHHJ=aaaabbFABCDEFGHIJKL(a)(b)定義定義：兩個(gè)相接觸物體，當(dāng)其接觸處產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸處產(chǎn)生的阻礙物體相對(duì)滑動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。 3.6.13.6.1 滑動(dòng)摩擦滑動(dòng)摩擦(1) 靜滑動(dòng)摩擦靜滑動(dòng)摩擦 如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，當(dāng)水平方向無(wú)拉力時(shí)，顯然有P=FN?，F(xiàn)在該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當(dāng)拉力F由零逐漸增加但又不很大時(shí)，物體仍能維持平衡。(a)(b)由此可見(jiàn)，支承面對(duì)物體的約束力除了法向約束力FN外還有一個(gè)阻礙物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向約束力Fs，此力即靜滑動(dòng)摩

42、擦力靜滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱靜摩擦力靜摩擦力。顯然有Fs=F，因此靜靜摩擦力摩擦力也是約束力，隨著F的增大而增大。然而，它并不能隨F的增大而無(wú)限地增大。而有一個(gè)最大值Fmax，稱為最大靜摩擦力，最大靜摩擦力，此時(shí)物體 處于平衡的臨界狀態(tài)。當(dāng)主動(dòng)力F大于Fmax時(shí)，物體將失去平衡而滑動(dòng)。即maxs0FFNsmaxFfF=上式稱為庫(kù)侖摩擦定律庫(kù)侖摩擦定律，是計(jì)算最大靜摩擦力的近似公式。式中 fs 稱為靜摩擦因數(shù)，靜摩擦因數(shù)，它是一個(gè)無(wú)量綱的量。一般由實(shí)驗(yàn)來(lái)確定。(3) 動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律動(dòng)滑動(dòng)摩擦定律 當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，接觸物體之間仍有阻礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這種阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力動(dòng)滑動(dòng)摩擦力，簡(jiǎn)稱動(dòng)摩

43、擦力動(dòng)摩擦力，以Fd 表示，大小可用下式計(jì)算。NddFfF =式中 fd 是動(dòng)摩擦因數(shù)動(dòng)摩擦因數(shù)，通常情況下， sdff (2) 靜滑動(dòng)摩擦定律靜滑動(dòng)摩擦定律(4) 摩擦角與自鎖現(xiàn)象摩擦角與自鎖現(xiàn)象N與F的合反力為R。 物體平衡時(shí)，P與R等值、反向、共線，但 R與 均隨主動(dòng)力改變而改變，但R的變化有限度。maxFF =m=mm0當(dāng)時(shí)，為摩擦角物體平衡時(shí),/maxfNFtgm=即摩擦角正切等于摩擦系數(shù)。（極限情況下,全反力作用形成錐）若面法線間的夾角 小于等于 ,即主動(dòng)力的合力作用線在摩擦錐內(nèi),物體處于平衡,這種現(xiàn)象稱為自鎖自鎖。mPNRF3.6.2 3.6.2 考慮摩擦?xí)r物體的平衡問(wèn)題考慮摩擦

44、時(shí)物體的平衡問(wèn)題 考慮有摩擦的平衡問(wèn)題時(shí)，其解法與前幾章基本一樣。但需指出的是，在受力分析和列平衡方程時(shí)要將摩擦力考慮在內(nèi)，因而除平衡方程外，還需增加補(bǔ)充方程 0 Fs fs FN，因此有摩擦的平衡問(wèn)題的解通常是一個(gè)范圍。為了避免解不等式，往往先考慮臨界狀態(tài)（ Fs = fs FN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。應(yīng)該強(qiáng)調(diào)的是摩擦力的方向在臨界狀態(tài)摩擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，下不能假設(shè)，要根據(jù)物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來(lái)判斷，只有摩擦力只有摩擦力是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向是待求未知數(shù)時(shí)，可以假設(shè)其方向 。 求解時(shí)，根據(jù)具體的問(wèn)題采用解析法或幾何法求解，下面舉例說(shuō)明

45、, 0=xF0 coss= FF, 0=yF0 sinN=FPF 取物塊A為研究對(duì)象，受力分析如圖。列平衡方程。解解: :例AF F聯(lián)立求解得N 46. 330 cos4s=FN 6 . 3 sinsNsmax=FPfFfF最大靜摩擦力N 46. 3s=F所以作用在物體上的摩擦力為maxsFF 因?yàn)?小物體A重P =10 N，放在粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜摩擦因數(shù) fs=0.3。今在小物體A上施加F=4 N的力， =30，試求作用在物體上的摩擦力。yAxPF FFNFs(a) 構(gòu)件A及B用楔塊C聯(lián)結(jié)，如圖(a)所示，楔塊自重不計(jì)， 。已知楔塊與構(gòu)件間的摩擦系數(shù) fs= 0.1, 求

46、能自鎖的傾斜角 。解：(1) 解析法解析法 研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡0sincos , 0N2s1N1=FFFxF例0cossin , 0s2s1N1=FFFyF 再考慮補(bǔ)充方程 ,N2ss2N1ss1FfFFfF=聯(lián)立解之得11.42 ,2tan12tanf2ss=ff(b)21FF =(c)fff2 ,=(2) 幾何法幾何法 仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C 兩端所受的全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點(diǎn)處的法線的夾角均等于摩擦角f 如圖(c) 所示。由幾何關(guān)系不難得 42.11271. 51 . 0tg ,1 . 0 tgf1fsf=f以上是考

47、慮臨界狀態(tài)所得結(jié)果，稍作分析即可得時(shí)能自鎖當(dāng) 42.1120 f=例FAFNBFBFNAABCFxxyhOFBhdBAFx, 0=xF0NN=BAFF, 0=yF0=FFFBA平衡方程為, 0)(=FOM0)(2N=xFFFdhFBAA取支架為研究對(duì)象,受力分析如圖。（1）解析法解析法解:一活動(dòng)支架套在固定圓柱的外表面，且h = 20 cm。假設(shè)支架和圓柱之間的靜摩擦因數(shù) fs = 0.25。問(wèn)作用于支架的主動(dòng)力F 的作用線距圓柱中心線至少多遠(yuǎn)才能使支架不致下滑（支架自重不計(jì)）。聯(lián)立求解得,2NNFFFBA=cm 40=xBBAAFfFFfFNsNs , =補(bǔ)充方程21hhh=ff tan)2( tan)2(dxdx=解得cm 40 tan2f=hx（2 2）幾何法）幾何法 由以上二個(gè)例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全由以上二個(gè)例子可以看出，當(dāng)有摩擦處的約束力以全約束力形式給出，如能利用二力平衡條件