流體力學(xué)讀書(shū)筆記

1、高等流體力學(xué)讀書(shū)筆記 論文題目: 特征線法讀書(shū)筆記 姓 名: 楊 志 偉 學(xué) 號(hào): 113108000839 專(zhuān) 業(yè):兵器發(fā)射理論與技術(shù)指導(dǎo)教師: 周 建 偉 日 期: 2013年12月 1 特征線法1.1 理論的引出在考慮了兩對(duì)面管壁都外折使得兩束膨脹波相交，以及膨脹波束在自由邊界上反射等問(wèn)題時(shí)，單有繞外鈍角流動(dòng)的公式就不夠使用了，需要一種使用于解復(fù)雜問(wèn)題的方法，這就是特征線法。在概況性上說(shuō)，特征線法確實(shí)比繞外鈍角的解法進(jìn)了一步，只要是兩個(gè)自變數(shù)的雙曲線型偏微分方程都能用。定常超聲速流（包括平面及軸對(duì)稱(chēng)的無(wú)旋和有旋流）與一維費(fèi)定常流（不論亞聲速還是超聲速）的運(yùn)動(dòng)方程都是雙曲型的。這幾種流動(dòng)能

2、在數(shù)學(xué)上歸在一起，正是反映了在物理上這幾種流動(dòng)都是以波的形式進(jìn)行變化這樣一個(gè)事實(shí)。定常亞聲速流場(chǎng)上，流動(dòng)的變化不是以波的形式進(jìn)行的，任何擾動(dòng)都沒(méi)有界線可言，擾動(dòng)遍及全場(chǎng)，變化都是連續(xù)的，任何流動(dòng)參數(shù)（速度、密度和壓強(qiáng)等）不僅本身連續(xù)，而且它對(duì)空間坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)也都連續(xù)。與此相反，在定常超聲速流場(chǎng)上，擾動(dòng)都是有界的，像激波在流場(chǎng)中是以突躍面的形式存在的，流動(dòng)參數(shù)本身在突躍面上有突躍的變化，稱(chēng)為強(qiáng)突躍；另一種擾動(dòng)也是有界的，例如膨脹波（或微弱壓縮），界線是馬赫波，流動(dòng)參數(shù)本身在波上是連續(xù)的，但它的導(dǎo)數(shù)在波上可以不連續(xù)。如圖1所以，定常超聲速氣流流過(guò)外鈍角，在第一道膨脹波的上游，各流動(dòng)參數(shù)都是均一的，對(duì)

3、的導(dǎo)數(shù)到處都是零，但一到上便開(kāi)始變化了，雖然流動(dòng)參數(shù)本身在還是連續(xù)的，但無(wú)變化的直勻流區(qū)突然在這條線上有變化的扇形膨脹地帶相接，諸流動(dòng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)在上必是突然從零變?yōu)槟骋欢ㄖ怠Ｔ谧詈笠坏啦ㄉ?，?dǎo)數(shù)從一定值躍變?yōu)榱恪Ｔ谥虚g各道波上，流動(dòng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)取了特殊的突躍值零。圖1 外鈍角繞流流動(dòng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其上發(fā)生突躍的線（或面）稱(chēng)為弱突躍線（或面），以區(qū)別與流動(dòng)參數(shù)本身發(fā)生突躍的強(qiáng)突躍面（如激波）。馬赫線（膨脹波或微弱壓縮波）就是弱突躍線。當(dāng)然，突躍之中可以包括突躍值為零（即不發(fā)生突躍）的情況。這樣就可以把繞外鈍角流動(dòng)的扇形地帶中的每一道膨脹波都包括在內(nèi)，都是弱突躍線。 上述幾種流動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程都是雙曲型二

4、階偏微分方程。解雙曲型二階偏微分方程時(shí)，存在有一類(lèi)特殊的曲線，即函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在這種曲線上所以不連續(xù)，因而知道了因數(shù)在這種曲線一側(cè)的數(shù)值時(shí)，不可能靠級(jí)數(shù)展開(kāi)去推得函數(shù)在曲線另一側(cè)的數(shù)值來(lái)。雙曲型二階偏微分方程所獨(dú)有的這種函數(shù)導(dǎo)數(shù)可以不連續(xù)的曲線，在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為特征線。流場(chǎng)上的弱突躍線就是數(shù)學(xué)上的特征線。根據(jù)數(shù)學(xué)上的特征線理論，用數(shù)值解法解決定常超聲速流動(dòng)的問(wèn)題，就是氣體動(dòng)力學(xué)中的所謂特征線法。特征線理論除了定義特征線、并根據(jù)定義找出特征線方程之外，還確定；沿特征線上的各參數(shù)的變化之間必須遵守一定的關(guān)系，這是特征線所具有的另一方面的性質(zhì)。所以說(shuō)，特征線有兩種性質(zhì)：一是跨過(guò)這種曲線，函數(shù)(例如位函數(shù)

5、)的二階導(dǎo)數(shù)可以不連續(xù)；二是沿著這種曲線，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)(例如流速)的變化之間又必須遵守一定的規(guī)律。就是說(shuō)，既有突躍的一面、又有規(guī)律性的一面。在做計(jì)算時(shí)，要同時(shí)利用這兩種性質(zhì)，尤其是利用沿特征線的規(guī)律性。這個(gè)規(guī)律性在繞外鈍角流動(dòng)的問(wèn)題中已經(jīng)用過(guò)了，那就是氣流折角與流速有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。不過(guò)，這個(gè)關(guān)系在繞外鈍角流動(dòng)的問(wèn)題里，沒(méi)有從數(shù)學(xué)上強(qiáng)調(diào)它是沿特征線的關(guān)系，表面上看來(lái)反而像是跨特征線似的。原因是，在那個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題上，沒(méi)有全面討論流場(chǎng)，只是畫(huà)了要用的馬赫線。事實(shí)上，與流線成角的馬赫線還有另一族存在，如圖2上的線。后面可以證明，在這個(gè)具體問(wèn)題上，所謂沿特征線的變化關(guān)系正是沿那一族馬赫線的變化關(guān)系。圖

6、2 外鈍角繞流的馬赫線本節(jié)先把定常平面超聲速流和軸對(duì)稱(chēng)超聲速流的運(yùn)動(dòng)方程列一下，以說(shuō)明數(shù)學(xué)上的共同點(diǎn)，然后導(dǎo)出這些方程列的特征線來(lái)。接下去詳細(xì)講解特征線法在乎面無(wú)旋定常超聲速流問(wèn)題上的應(yīng)用及解題法。后面再講超聲流流過(guò)圓錐體的稻確解及軸對(duì)稱(chēng)特征線法。1.2 兩個(gè)自變數(shù)的運(yùn)動(dòng)方程平面不可壓位流的運(yùn)動(dòng)方程是而在平面定常無(wú)旋可壓流的條件下，此式府寫(xiě)為如下形式通乘以，并引用符號(hào)，則上式化為 （1-1）定常無(wú)旋軸對(duì)稱(chēng)流的運(yùn)動(dòng)方程直接寫(xiě)為 （1-2） 這兩個(gè)方程是同一類(lèi)型的，都是具有兩個(gè)獨(dú)立變數(shù)的二階非線性偏微分方程。它們有時(shí)也稱(chēng)為擬線性方程，因?yàn)閷?duì)最高階導(dǎo)數(shù)而言是線性的。此二式可寫(xiě)成一個(gè)共同的形式 （1-

7、3）一般說(shuō)來(lái)，式中的系數(shù)，是，的函數(shù)。這樣一個(gè)二階偏微分方程，究竟屬于哪種類(lèi)型，要看判別式大于、等于、還是小于零?，F(xiàn)在式（1-1）中的式（1-2）中的在超聲速流()中，這兩個(gè)判別式都大于零，所以式（1-1）與（1-2）都是雙曲型的方程?，F(xiàn)在總概括成式（1-3）來(lái)研究，目的是要得到解決實(shí)際問(wèn)題的具體辦法。不過(guò)，并不能單純從數(shù)學(xué)角度來(lái)研究式（1-3）的解法，而是要與氣體流動(dòng)的物理情況密切結(jié)合起來(lái)。函數(shù)就是速度位，就是分速，就是分速。也常把和組成的平面稱(chēng)為“速度面”。1.3 哥西問(wèn)題及特征線方程在一定的邊界條件下直接積分式（1-3）是很困難的，所以就希望用數(shù)值解的辦法求出需要的答案。以平面流動(dòng)來(lái)說(shuō)，

8、假設(shè)知道了待求函數(shù)在某一條曲線上的函數(shù)值，如果能夠設(shè)法求出函數(shù)在該曲線附近的數(shù)值，就能把全流場(chǎng)上的解答一步步地找出來(lái)，這在數(shù)學(xué)上叫做哥西問(wèn)題。哥西問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法是這樣：給定函數(shù)的偏微分方程，并在平面上沿某一條曲線給定該函數(shù)的數(shù)值，問(wèn)能否推出曲線附近的函數(shù)值。在所討論的問(wèn)題中，未知函數(shù)是。此處限于討論介質(zhì)屬性(各流動(dòng)參數(shù))是連續(xù)的流場(chǎng)。這樣，和(諸分速)就是和的連續(xù)函數(shù)。如果從曲線出發(fā)，往附近任意走一小步，和的改變量應(yīng)為 （1-4） （1-5）因此，如果能夠以曲線為基地逐步向外開(kāi)拓，位函數(shù)除了應(yīng)該滿(mǎn)足式（1-3）之外，還應(yīng)滿(mǎn)足式（1-4）及式（1-5）。而要做到這一點(diǎn)，各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值必須是

9、能夠確定的。難道說(shuō)有不確定的情況嗎？有的，下面就談這個(gè)問(wèn)題。從幾何上想一下，微分方程式（1-3）的每一個(gè)解可以看作是，空間中的一個(gè)三維曲面，叫做積分曲面，而且每個(gè)解都定義了一個(gè)滿(mǎn)足式（1-3）的函數(shù)。在積分曲面上可以畫(huà)出很多條不同的空間曲線，每一條曲線在平面上都有一定的投影。在指定點(diǎn)處，從這些被投影的曲線向外每走一小步，就可按式（1-4）與式（1-5）確定出相應(yīng)的與值。注意，積分曲面上的任意一點(diǎn)處，式（1-3）都是能滿(mǎn)足的。此外，式（1-4）及式（1-5）是適用于位于該曲面上的任何曲線的無(wú)限小微段所對(duì)應(yīng)的改變量。因此，位函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足下列三式 （1-6） （1-7）這一組方程可以看作

10、是，及的線性代數(shù)方程，解得 （1-8）以及的形式與是類(lèi)似的，分母行列式都一樣，只是分子行列式有所不同罷了。由式（1-8）可以看出，如果分母行列式等于零，那么，諸二階偏導(dǎo)數(shù)就不能確定，也就無(wú)法根據(jù)給定曲線上的函數(shù)值來(lái)推算在曲線附近的函數(shù)值。這樣一類(lèi)具有特殊性質(zhì)的曲線，它們雖然是積分曲面上的線條，但是及的導(dǎo)數(shù)在這些線上可以不連續(xù)，這類(lèi)曲線，如果存在的話(huà)，稱(chēng)為解的特征曲線（或簡(jiǎn)稱(chēng)為特征線），特征線在平面上的投影，稱(chēng)為物理面特征線。注意到及就是和，位函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)不連續(xù)就意味著速度的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，因而所有流動(dòng)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)也都不連續(xù)。這正符合在本節(jié)開(kāi)頭處說(shuō)的弱突躍的定義。所以特征線的物理意義很清楚，就是弱突

11、躍線。令式（1-8）的分母等于零，即得特征線在物理平面上的投影的微分方程，是 （1-9）由此，得 （1-10）式（1-10）就是物理面特征線的微分方程，它規(guī)定廠物理特征線斜率的變化規(guī)律。該式只有當(dāng)時(shí)才有意義?？梢?jiàn)，只有雙曲型的偏微分方程才具有特征線。橢圓型方程，由于而不存在特征線。再看，該式中有正負(fù)號(hào)、表示在同一點(diǎn)可以有兩個(gè)斜率，也就是說(shuō)在平面上有兩族特征線存在。負(fù)號(hào)定為第族特征線，正號(hào)定為第族特征線。而在式（1-10）中的3個(gè)系數(shù)，是與與有關(guān)系的。為了作出物理面特征線，就必須確定及沿著特征線是怎樣變化的。1.4 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沿特征線的變化在特征線上，既然分母行列式等于零，那么，在用式（1-3）

12、、式（1-6）及式（1-7）求的3個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，分子行列式也必須為零，否則會(huì)出現(xiàn)無(wú)限大的答案；而在物理問(wèn)題里，參數(shù)總是有限值。分子行列式為零便規(guī)定了與的變化之間有一定的關(guān)系。以求這個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)約分子行列式來(lái)說(shuō)（和也一樣），它是式（1-8）的分子，即 （1-11）由此解得 （1-12）把式（1-10）代入式（1-12），得導(dǎo)數(shù)沿特征線的變化規(guī)律（也稱(chēng)為“相容性條件”）為 （1-13）式（1-13）給定了平面上的特征線斜率與，之間的關(guān)系。因，故又把式（1-13）稱(chēng)為速度面上的特征線方程。與物理面特征線相類(lèi)似，速度面特征線也有兩族，第族取負(fù)號(hào)，第族取正號(hào)。為了明確起見(jiàn)，常把物理面和速度面上的兩族特

13、征線方程分別寫(xiě)為 （1-14a） （1-14b） （1-15a） （1-15b）需要強(qiáng)調(diào)一下，式（1-10）雖然是根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)發(fā)生突躍的條件導(dǎo)出來(lái)的，然而決不是說(shuō)在每一個(gè)具體的流動(dòng)問(wèn)題里都必定發(fā)生弱突躍，只是說(shuō)凡發(fā)生弱突躍必在特征線上罷了。同理，式（1-13）也只是規(guī)定了沿特征線的變化規(guī)律，并沒(méi)有說(shuō)沿每一條特征線都必須有變化，只是說(shuō)沿著特征線如果有變化，其變化規(guī)律必是式（1-13）。在具體問(wèn)題中究競(jìng)在四條特征線上發(fā)生弱突躍，究競(jìng)沿哪條特征線侖變化，那是由具體的邊界條件所規(guī)定的。在繞外鈍角流動(dòng)的例子中，第族特征線是發(fā)生弱突躍的線，但沿著第族特征線沒(méi)有變化；第族特征線是參數(shù)沿之起變化的線，但不是

14、發(fā)生弱突躍的線。1.5 利用特征線關(guān)系式作數(shù)值解可以利用式（1-14）及（1-15），根據(jù)給定的導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行數(shù)值解去求其他點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。因?yàn)槲缓瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)就是流速，正是所要求的參數(shù)。具體求解的時(shí)候，耍把式（1-14）及式（1-15）中的微分用差分代替，并根據(jù)上游的已知數(shù)據(jù)結(jié)合邊界條件一步步作下去。參看圖3，假定有十分靠近的、且不在同一條特征線上的兩點(diǎn)，并知道了這兩點(diǎn)上的一切流動(dòng)參數(shù)。這時(shí)用式（1-14）可以算出過(guò)，兩點(diǎn)的特征線方向來(lái)。實(shí)際存在的特征線一般是曲線，但當(dāng)，十分靠近時(shí)，過(guò)的第族特征線與過(guò)的第族特征線的交點(diǎn)也不會(huì)離，太遠(yuǎn)，做初步近似，可以用宜線段代替曲線。這樣只要根據(jù)算出來(lái)的斜率值，并從和分

15、別作兩直線段，便得一個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)新點(diǎn)的幾何倫置很容易確定，即 （1-16） （1-17）和分別是過(guò)點(diǎn)的第族特征線斜率與過(guò)點(diǎn)的第族特征線斜率。解此二代數(shù)方程，得坐標(biāo)。導(dǎo)數(shù)值和可用式（1-17）求出。因至是沿第族特征線變化的，故按式（1-15b）得 （1-18）同理，因至是按第族特征線變化的，故按式（1-15a）有關(guān)系式 （1-19）腳注1，2，11分別表示，點(diǎn)的數(shù)值。聯(lián)解式（1-18）及式（1-19），即得點(diǎn)的及之值。圖3 特征線網(wǎng)示意圖若需要精確一些的話(huà)，可在求出初步近似的及值之后，把點(diǎn)的，值算出來(lái)，然后用，與的平均，值再重列式（1-18）及式（1-19），解出更精確一步的及值來(lái)。如果原給的不

16、止，兩點(diǎn)，還有，一系列不在同一條特征線上的點(diǎn)，則重復(fù)上述步驟，可得，等新點(diǎn)。再以，為新的起點(diǎn)，即又可求出，等點(diǎn)來(lái)。這樣就可以根據(jù)給定的情況算出下游一定區(qū)域中的流動(dòng)情況或反推出上游一定區(qū)域中的流動(dòng)情況來(lái)。如果已知數(shù)據(jù)的點(diǎn)正好給在一條特征線上，就無(wú)法推算新的點(diǎn)。這時(shí)需要附加其他條件一起進(jìn)行計(jì)算，這在后面再講。2 平面無(wú)旋流的特征線法2.1 物理面與速度面上的特征線方程參看式（1-1），平面定常無(wú)旋流的， ， 把這些值代人式（1-14a）及式（1-14b），得物理面上兩族特征線方程為 （1-20）式（1-20）表示的是特征線和軸之間夾角的正切關(guān)系式。如果算一下特征線與速度矢量之間的夾角的正切，即可證

17、明特征線就是馬赫線。因?yàn)樘卣骶€與軸之間的夾角是，速度矢量與軸之間的夾角是，二者之差的正切是 （1-21）該式說(shuō)明特征線與速度矢量之間的夾角為馬赫角，所以特征線就是馬赫線。下方符號(hào)是第族特征線，相應(yīng)地，在式（1-20）中取下方符號(hào)；上方符號(hào)是第二族。參看圖4，順著正的指向看過(guò)去，第族特征線向左伸，第族則向右伸。圖4 特征線與流線的關(guān)系如記與軸之間的夾角為，則把式（1-20）作適當(dāng)變換或直接按圖4寫(xiě)下物理特征線方程 （1-22）再把，代人式（1-15a）及式（1-15b），得速度面特征線方程（即位函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沿特征線的變化關(guān)系）（1-23）若用合速及角度來(lái)表示上式，形式會(huì)簡(jiǎn)潔得多。換算如下 ，微分得

18、合并此2式，得將此式與式（1-23）聯(lián)立消去，最后得在均能流場(chǎng)中，是常數(shù)，將上式分子分母通除以后得 （1-24）此式又稱(chēng)為“相容性條件”。式巾的正號(hào)是沿第族特征線變化的關(guān)系式，相應(yīng)地在式（1-23）中取下方符號(hào)。上方符號(hào)則是第族。該式規(guī)定：沿特征線，如有變化，必有相應(yīng)的變化；當(dāng)然也可以不變?？傊?，兩族物理面特征線及速度面特征線方程是 （1-25） （1-26）2.2 平面無(wú)旋流的特征線網(wǎng)圖注意式（1-24），該式中不包含物理面上的坐標(biāo)（即無(wú)項(xiàng)）。因此，可以直接積分。因?yàn)橐彩堑暮瘮?shù)數(shù)因此，可以直接積分，以求人人省一條曲線在“方程，并在，一對(duì)應(yīng)131313131313131313131313131

19、313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313，代入式（1-24），得正負(fù)號(hào)的上下次序換了一下，把第族特征線的符號(hào)寫(xiě)在上面了。積分得（1-27）若規(guī)定時(shí)，氣流方向，則。2.3 四種邊值問(wèn)題圖5 第一邊值問(wèn)題第一邊值問(wèn)題：已知定常超聲速流場(chǎng)上某一條普通曲線上所有各點(diǎn)的坐標(biāo)及值和值，求以線及過(guò)，兩點(diǎn)的兩條特征線和所圍區(qū)

20、域內(nèi)的流動(dòng)情況。注意給定的只是曲線，特征線和是未知的，等問(wèn)題解完了才能確定下來(lái)。解法是這樣的：參看圖5，在物理面的給定曲線上選取一系列的點(diǎn)， ，間距一艇說(shuō)來(lái)應(yīng)很小，具體取決于所需的精確度。各點(diǎn)的坐標(biāo)及和值皆已知，具體執(zhí)行計(jì)算時(shí)采用如下步驟。引用記號(hào)將特征線方程和相容件條件式（1-25）和(7N)改寫(xiě)成以下形式 沿 沿 沿 沿此處，表示第族特征線，表示第族特征線。在圖5止，假設(shè)，等是第族特征線；，等是第族特征線。因此，從和點(diǎn)出發(fā)求點(diǎn)時(shí)，可得下列方程式中，和是指與點(diǎn)的和的平均值；而和則是指與點(diǎn)的和的平均值。由此解得 （1-28a） （1-28b） （1-28c） （1-28d）其中的，計(jì)算過(guò)程要作迭代。開(kāi)始時(shí)，為了求平均值，需要估計(jì)處的流動(dòng)參數(shù)和，然后按式（1-28）算出點(diǎn)處的參數(shù)。得到新值和以后，即可計(jì)算新的平均值，。按此步驟作迭代，直到點(diǎn)處的第次的值與第次的值之差小于一個(gè)規(guī)定值（例如)，就認(rèn)為迭代收斂了。更多的細(xì)節(jié)不在此討論了。然后從起，每?jī)蓚€(gè)鄰點(diǎn)決定一個(gè)新點(diǎn)的位置及流動(dòng)參數(shù)。例如和決定。的幾何位置由過(guò)的