平面向量知識點(diǎn)總結(jié)及訓(xùn)練題

1、第五章 平面向量一、向量的相關(guān)概念:1.向量的概念:我們把既有大小又有方向的量叫向量注意:1數(shù)量與向量的區(qū)別:數(shù)量只有大小,是一個(gè)代數(shù)量,可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小;向量有方向,大小,雙重性,不能比較大小2、向量的表示方法:幾何表示法:用有向線段表示;用字母a 、b 等表示;用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母:AB ;坐標(biāo)表示法:,(y x yj xi a =+=3、向量的模:向量AB 的大小長度稱為向量的模,記作|AB |.4、特殊的向量:長度為0的向量叫零向量,記作0的方向是任意的長度為1個(gè)單位長度的向量,叫單位向量.說明:零向量、單位向量的定義都是只限制大小,不確定方向.5、相反向量:與a 長度

2、相同、方向相反的向量記作 -a6、相等的向量:長度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量a 與b 相等,記作=b a ; 7、平行向量(共線向量:方向相同或相反的向量,稱為平行向量記作b a /平行向量也稱為共線向量8、兩個(gè)非零向量夾角的概念:已知非零向量a 與b ,作=a ,OB =b ,則(=0AOB 叫a 與b 的夾角說明:(1當(dāng)0=時(shí),a 與b 同向;(2當(dāng)=時(shí),a 與b 反向;(3當(dāng)2=時(shí),a 與b垂直,記a b ;規(guī)定零向量和任意向量都垂直。(4注意在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的01809、實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)與向量a 的積是一個(gè)向量,記作a ,它的長度與方向規(guī)定如下:(=

3、a a ; (當(dāng)0>時(shí),a 的方向與a 的方向相同;當(dāng)0<時(shí),a 的方向與a 的方向相反;當(dāng)0=時(shí),=0a ,方向是任意的10、兩個(gè)向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量a 與b ,它們的夾角為,則cos |=b a b a叫做a 與b 的數(shù)量積(或內(nèi)積 規(guī)定00=a11、向量的投影:定義:|b |cos 叫做向量b 在a 方向上的投影,投影也是一個(gè)數(shù)量,不是向量;當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值;當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值;當(dāng)為直角時(shí)投影為0;當(dāng) = 0時(shí)投影為 |b |;當(dāng) = 180時(shí)投影為 -|b |R a b a b =|cos ,稱為向量b 在a 方向上的投影投影的絕對值稱為射影二、重要定理、公

4、式:1、平面向量基本定理:1e ,2e 是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么,對于這個(gè)平面內(nèi)任一向量,有且僅有一對實(shí)數(shù)21,使+=2211e e a 如圖,在直角坐標(biāo)系內(nèi),我們分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量i 、j 作為基底a ,由平面向量基本定理知,有且只有一對實(shí)數(shù)x 、y ,使得+=j y i x a 1 我們把,(y x 叫做向量a 的(直角坐標(biāo),記作,(y x a =2 其中x 叫做a 在x 軸上的坐標(biāo),y 叫做a 在y 軸上的坐標(biāo),2式叫做向量的坐標(biāo)表示與.a 相等的向量的坐標(biāo)也為.,(y x特別地,0,1(=i ,1,0(=j ,0,0(0=(2 若,(11y x A

5、,(22y x B ,則(1212,y y x x -=一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)2、兩個(gè)向量平行的充要條件向量共線定理:向量b 與非零向量a 共線的充要條件是:有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù),使=a b 設(shè),(11y x a =,(22y x b =,則0/1221=-=y x y x b a b a 3、兩個(gè)向量垂直的充要條件設(shè),(11y x a =,(22y x b =,則 002121=+=y y x x b a b a4、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式(1設(shè),(y x a =,則222|y x a +=或|a = (2如果表示向量a 的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別

6、為A ,(11y x 、B ,(22y x ,那么(221221|y y x x AB -+-=(平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式5、兩向量夾角的余弦(0 222221212121|cos y x y x y y x x b a ba +=三、向量的運(yùn)算向量的加減法,數(shù)與向量的乘積,向量的數(shù)量(內(nèi)積及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì) 11(,a x y = ,22(,b x y = 特別注意:(1結(jié)合律不成立:c b a c b a ( ;(2消去律不成立=ca b a 不能=c b(30=b a 不能得到a =0或b =0乘法公式成立:2222|(-=-=-+b a b a b a b a 22222|2|2

7、(+±=+±=±b b a a b b a a b a線段的定比分點(diǎn)公式: 設(shè)點(diǎn)P 分有向線段21P P 所成的比為,即P1=2PP ,則+=+=.1,12121y y y x x x (線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式當(dāng)=1時(shí),得中點(diǎn)公式:=21(1+2OP 或+=+=.2,22121y y y x x x平移公式: 設(shè)點(diǎn)P (x ,y 按向量a =(h ,k 平移后得到點(diǎn)P (x ,y ,則P O '=+a 或+='+='.,k y y h x x曲線y =f (x 按向量a =(h ,k 平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為:y -k =f (x -

8、h 正弦定理其中R 表示三角形的外接圓半徑: (12sin sin sin a b cR A B C= (2a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC (3sin ,sin ,sin ,222a b c A AB C R R R= 余弦定理(12b =222cos a c ac B +-(2bca cb A 2cos 222-+=(312a S a h =;1sin 2S bc A =B ac C ab sin 21sin 21=;附:ABC 的判定:+=222b a c ABC 為直角A + B =22c <+22b a ABC 為鈍角A + B <22c >+2

9、2b a ABC 為銳角A + B >2附:證明:abc b a C 2cos 222-+=,得在鈍角ABC 中,22222200cos c b a c b a C <+<-+< 在ABC 中,有下列等式成立C B A C B A tan tan tan tan tan tan =+. 證明:因?yàn)?C B A -=+所以(C B A -=+tan tan ,所以C BA BA tan tan tan 1tan tan -=-+,結(jié)論!三角形的四個(gè)“心”;重心:三角形三條中線交點(diǎn).外心:三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn). 內(nèi)心:三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn). 垂心:三角形

10、三邊上的高相交于一點(diǎn).非零向量a有關(guān)系是是a 方向上的單位向量 練習(xí)題:一、平面向量的概念及其運(yùn)算1、若向量a 、b 滿足b a b a +=+,則a 與b 必須滿足的條件為 b a ,方向相同2、若c b =,則等于( B A .c b -B .b c -C .c b +D .c b - 3、正六邊形ABCDEF 中,=+EF CD BA ( D A .B .C .D .4、在邊長為1的正方形ABCD 中,設(shè)c b a =,則c b a +-= 25、在ABC 中,已知3=,則等于( A A .2(31+B .2(31+ C .3(41AB AC +D .2(41+6、在ABC 中,E 、F

11、 分別是AB 和AC 的中點(diǎn),若b a =,則等于( C A .(21b a + B .(21b a - C .(21a b - D .(21b a +-7、已知:向量b a , 同向,且7,3=b a ,則=-b a 2 1二、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示8、若115,3e e -=,則四邊形ABCD 是( C A .是平行四邊形B .菱形C .等腰梯形D .不等腰梯形9、已知4,3(,1,3(,4,2(-C B A 且CB CN CA CM 2,3=,試求點(diǎn)、N M 和MN 的坐標(biāo) 199頁(答案:18,9(,2,9(,20,0(-=N M 10、已知向量4,3(-=a ,則與a 同向的單

12、位向量是( A A .54,53(-B .54,53( C .4,3(- D .4,3(11、已知0,8(,2,3(=-A ,則線段AB 中點(diǎn)的坐標(biāo)是 (1,2 12、若三點(diǎn)9,(,4,2(,1,1(-x B A P 共線,求x (答案:3=x 13、若向量43,3(2-=x x x a 與AB 相等地,已知2,1(,2,1(B A -,則x 的值為( A A .-1 B .-1或-4 C .4 D .1或4三、線段的定比分點(diǎn)14、已知A 、B 、C 三點(diǎn)在同一條直線上,且A (3,-6,B (-5,2,若點(diǎn)C 的橫坐標(biāo)為6,求點(diǎn)C 分所成的比及點(diǎn)C 的縱坐標(biāo)(答案:9,113-= 15、若線

13、段AB 的端點(diǎn)3,6(,lg ,(lg -B y x A ,中點(diǎn)0,2(-M ,則=x 100 、 16、已知0,0(O 和A (6,3兩點(diǎn),若點(diǎn)P 在直線OA 上,且PA OP 21=,又P 是OB 的中點(diǎn),則點(diǎn)B 的坐標(biāo)為 (4,217、已知直線l 與x 軸,y 軸分別交于點(diǎn)A 、B ,AOB 的重心為(-1,3,則AB 中點(diǎn)坐標(biāo)為29,23(-18、已知三個(gè)點(diǎn)3,4(,4,1(,1,2(-D B A ,點(diǎn)C 在上,且=2,連結(jié)DC 并延長至E ,使41=,則E 點(diǎn)的坐標(biāo)為( D A .(0,1 B .(-8,35-C .(0,1或311,2( D .(38-,311 19、已知點(diǎn)A 5,

14、(x 關(guān)于,1(y P R 對稱點(diǎn)是3,2(-B ,則點(diǎn),(y x 到原點(diǎn)的距離是( D A .13B .15C .4D .17四、平面向量的數(shù)量積20、已知,33,3,2=b a b a ,則a 與b 的夾角等于 o 30 21、已知ABCD 為菱形,則(-+的值為 0 22、已知5=b ,且12=b a ,則向量a 在b 方向上的投影為 51223、已知向量a 與b 的夾角為o 120,且2,4=b a , (1求a 在b 方向上的投影 (2求b a 43+(3若向量kb a +與b a +5垂直,求實(shí)數(shù)k 的值 (答案:(1-2,(274,(341924、已知a 、b 滿足1,1=b a

15、 且3(2=-b a ,則=b a 21- 25、若b a b a -=+,且a 與b 不共線,則a 與b 的夾角為 o 90 26、已知 3,2(,132-=b a ,且b a ,求a 的坐標(biāo)27、已知1,(,1,2(=-=b a ,若a 與b 的夾角為鈍角,則 的取值范圍是( A A .,2(2,21(+- B .,2(+ C .,21(+- D .21,(-28、已知5,5(,0,6(-=b a ,則a 與b 的夾角為 o 13529、已知1,1(,2,3(-B A ,若點(diǎn)21,(-x P 在線段AB 的中垂線上,則x = 47五、平移30、把點(diǎn)A (3,4,按 2,1(=a 平移,求對

16、應(yīng)點(diǎn)A ' 的坐標(biāo),(y x '' (答案(4,6 31、把函數(shù)312-=x y 的圖象l 按2,1(-=a 平移得到l ',求l '的函數(shù)解析式(答案372+=x y 32、一個(gè)向量把點(diǎn)(2,-1平移到(-2,1,它把點(diǎn)(-2,1平移到( A A .1,2(-B .(-2,1C .(6,-3D .(-6,333、若向量a 使點(diǎn)(3,-9平移到點(diǎn)(1,1,則將函數(shù)21232+-=x x y 的圖象,按a 平移后的解析式為( A A .23x y =B .22(3-=x yC .102(32-=x yD .102(32+=x y 34、已知A (5,7、B

17、 (2,3,將按向量1,4(=a 平移后的坐標(biāo)為 (-3,-4六、解斜三角形35、在ABC 中,已知22,30,45=a A C o o ,求b ( 答案:232+ 36、在ABC 中,已知1,2,45=c b B o ,求a (答案226+ 37、在ABC 中,已知2,33,150=c a B o ,求b (答案7 38、在ABC 中,(15,3,120=c b A o ,求C B sin sin + (2ab c b a c b a 3(=-+,求C (答案:(1734(2o C 60= 39、若三角形的三邊長分別為,5,6,則此三角形一定是( A A .銳角三角形B .直角三角形C .鈍

18、角三角形D .銳角或鈍角三角形 40、在ABC 中,若C b a cos 2=,則ABC 為( B A .直角三角形B .等腰三角形C .等邊三角形D .等腰三角形或直角三角形 41、在ABC 中,1,60,3=b A S o ABC ,則a 的值為( C A .13 B .13 C .3 D .9 42、已知三點(diǎn)A (1,2,B (3,1,C (-1,0 (1若ABCD 為平行四邊形,求D 點(diǎn)坐標(biāo); (2若P 在直線AB =,求P 的坐標(biāo) (3求A 的大小(用反三角表示(答案:(1(-3,1;(245,25(P 或21,4(P ;(31010arccos -=A 43、已知 D ABC 的三個(gè)內(nèi)角 A、B、C 所對的邊的長分別為 a 、 b 、 c