級數(shù)部分和的變化

1、實驗一 級數(shù)部分和的變化實驗的目的1、理解掌握無窮級數(shù)的基本概念和性質(zhì)；2、掌握利用Matlab求無窮級數(shù)的部分和的基本方法；實驗的基本理論與方法1、常數(shù)項級數(shù)：一般地，如果給定一個數(shù)列，則由這個數(shù)列構(gòu)成的表達式 4-1)叫做(常數(shù)項)級數(shù)，記為即=其中第n項叫做級數(shù)的一般項。作級數(shù)(4.1)的前n項的和 4-2)當(dāng)n依次取1，2，3，時，它們構(gòu)造成一個新的數(shù)列：，。如果級數(shù)4-1)的部分和而成的數(shù)列有極限，即，則稱級數(shù)4-1)收斂，這時極限叫做級數(shù)4-1)的和，并寫作；如果沒有極限，則稱級數(shù)4-1)發(fā)散。2、級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和，則它的各項同乘以一個常數(shù)所得的級數(shù)也收斂，其

2、和為。性質(zhì)2 設(shè)有兩個級數(shù)：則級數(shù) 也收斂，且其和為。性質(zhì)3 在級數(shù)的前面部分去掉或加上有限項，不會影響級數(shù)的收斂性或發(fā)散性，不過在收斂時，一般來說級數(shù)的和是要改變的。性質(zhì)4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和。3、級數(shù)收斂的必要條件對于級數(shù)，它的一般項與部分和有如下關(guān)系。假設(shè)這級數(shù)收斂于和，則因此級數(shù)收斂的必要條件：當(dāng)n無限增大時，它的一般項趨于零，即實驗使用的函數(shù)與命令1、符號求和函數(shù)symsum1)、symsum(S)：其中S為待求和的級數(shù)的通項表達式。其功能是求出通項為S的級數(shù)關(guān)于系統(tǒng)默認變量的有限和。2)、symsum(S，v)：其中S為待求和的級數(shù)的通項表達式，v為求和變

3、量。其功能是求出通項為S的級數(shù)關(guān)于變量v的有限和(例如v從0到k-1的有限和)。3)、symsum(S，a，b)或symsum(S，v，a，b)：求從a到b的級數(shù)的和。其中b可以取有限數(shù)，也可以取無窮。此命令既可以用于求級數(shù)的部分和，也可以用于判別級數(shù)的收斂性。2、數(shù)值求和函數(shù)sum3、vpa實驗指導(dǎo)例1 求級數(shù)的下列部分和1) ；2) ；3) ；4) ；解： 1）先用數(shù)值計算方法求值。由于操作比較簡單，現(xiàn)在命令窗口中輸入以下代碼，并按回車運行，得到結(jié)果。format long;sum(2.0:64)ans = 3.689348814741910e+019由于數(shù)值計算中使用了double數(shù)據(jù)類

4、型，至多只能保留16位有效數(shù)字，因此結(jié)果并不很精確。若利用符號求和指令可以求出精確的結(jié)果。syms k; symsum(2k,0,64) ans = 368934881474191032312) 先用數(shù)值計算方法求值，然后再利用符號求和。%數(shù)值計算>> n=0:50;S1=sum(1./(2.(2*n-1).*(2*n-1);format long;S1S1 = -1.45069385566594%符號求和syms n; S2=symsum(1/(2(2*n-1)*(2*n-1),0,50);S2 S2 = -910609965885817386737779189711801299

5、17604150160442795459686302540617/627706502188085220283454769454811023943178803349365088700801744896003）利用分別用symsum進行兩種符號求和。syms k n;S3=symsum(3(k+1)/2k,k);S4=symsum(3(k+1)/2k,k,0,n-1);S3S4輸出結(jié)果S3 = 6*(3/2)kS4 = 6*(3/2)n-64）輸入程序syms n x;S50=symsum(-1)(n+1)*x/(n*(2*n-1),n,1,50)S50 =61183126836865976432

6、67023636391449051611/6972037522971247716453380893531230355680*x該題主要利用了級數(shù)的基本性質(zhì)進行運算。例2 求極限解：本題是求解級數(shù)與極限的綜合問題，在命令窗口中直接輸入下一語句求解。syms k n;lim=limit(symsum(1/k,k,1,n)-log(n),n,inf)lim = eulergamma得出的結(jié)果為Euler常數(shù)。其前100位數(shù)字為vpa(lim,100) ans = 0.5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848

7、677267776646709369470632917467495例3 求下列無窮級數(shù)的和1）； 2）。解：1）輸入程序語句>> syms n;symsum(1/(2*n-1)*(2*n+1),1,inf)ans =1/22）對于，在命令窗口中直接輸入下一語句求解。syms n;symsum(1/n2,1,inf) ans = 1/6*pi2類似地可以驗證，等。例4、利用無窮級數(shù)收斂的必要條件，判斷下列級數(shù)的斂散性：1）； 2）。解：對于級數(shù)，當(dāng)n無限增大時，它的一般項不趨于零，即，則級數(shù)發(fā)散。1）因為syms n;limit('(n/(2*n-1)2',n,inf) ans = 1/4即，由級數(shù)收斂的必要條件知，該級數(shù)發(fā)散。2）因為syms n;limit('(n(n+1/n)/(n+1/n)n',