淺談數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)設(shè)計

1、淺談數(shù)學(xué)開放題及其教學(xué)設(shè)計48廣州市番禺區(qū)新造職中廣東廣州楊慧君【摘 要】 素質(zhì)教育的核心是培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力,而學(xué)生的創(chuàng)新能力往往是在解決數(shù)學(xué)問題的過程中培養(yǎng)起來的,數(shù)學(xué)開放題正是為了培養(yǎng)學(xué)生的能力。因此加強對數(shù)學(xué)開放題的研究就顯得意義深遠。 本文試圖對數(shù)學(xué)開放題的教育價值、特征、 含義、 分類和教學(xué)設(shè)計作一論述，以期拋磚引玉?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)開放題教學(xué)設(shè)計一、數(shù)學(xué)開放題的教育價值、特征和分類大量的研究表明，數(shù)學(xué)開放題的教育價值在于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極態(tài)度，在于尋求解答的過程中主體的認知結(jié)構(gòu)的重建，在于能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心，全體學(xué)生都可以參與解答過程而不管他是屬于何種程度和水平，在于能使學(xué)生

2、經(jīng)歷知識再創(chuàng)造的過程，有助于學(xué)生創(chuàng)新意識和探索能力的養(yǎng)成。數(shù)學(xué)題的作用首先表現(xiàn)在幫助學(xué)生熟悉和掌握數(shù)學(xué)知識，發(fā)展學(xué)生的智能。由于教育選拔功能的需要，數(shù)學(xué)題的作用還表現(xiàn)在評價學(xué)生的學(xué)業(yè)成績上。因此，數(shù)學(xué)題就自然成為數(shù)學(xué)教學(xué)的中心， “問題是數(shù)學(xué)的心臟” ，問題解決是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，這正是數(shù)學(xué)題重要性的表現(xiàn)?，F(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)題絕大多數(shù)是封閉題，實踐表明封閉題已不能完全滿足數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的要求，所以，研究數(shù)學(xué)開放題并運用于數(shù)學(xué)教學(xué)具有特別重要的現(xiàn)實意義。從上面我們可以看到研究數(shù)學(xué)開放題的重要性，正所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。所以我們就要對開放題有個充分了解才行，那究竟開放題又是怎樣的一種題型？

3、關(guān)于開放題的含義，還沒有統(tǒng)一的界定。一般認為：條件不充分或結(jié)論不唯一的題目，稱為開放題。弄清它的含義，能使我們更好地理解和研究開放題。其實開放題是相對傳統(tǒng)的封閉題而言的。（一）數(shù)學(xué)開放題的特征數(shù)學(xué)開放題一般具有以下特征：（1） 所提的問題常常是不確定的和一般性的，其背景情況也是一般詞語來描述的，主體必須收集其他必要的信息，才能著手解題。（2） 沒有現(xiàn)成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現(xiàn)，但是在求解過程中往往需要從多角度進行思考和探索。（3） 有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過程中主體的認知結(jié)構(gòu)的重建。（4） 常常通過實際問題的提出

4、，主體必須用數(shù)學(xué)語言將其數(shù)學(xué)化，也是建立數(shù)學(xué)模型。（5） 在求解過程中往往可以引出新的問題，或?qū)栴}加以推廣，找出更一般，更有概括性的結(jié)論。（6） 能激起多數(shù)學(xué)生的好奇心，全體學(xué)生都可以參與解答過程，而不管他是屬于何種程度和水平。但是開放題是相對封閉題來而言的，在我們清楚開放題的特征后，為了讓大家更清楚地區(qū)分開放題和封閉題，請看下面兩個簡單的數(shù)學(xué)問題。問題1:數(shù)列2, 4, 8成等比數(shù)列。問題2:試寫出公比3為的等比數(shù)列。明顯可以發(fā)現(xiàn)問題1的答案是唯一的，一般我們稱為封閉題，而問題 2的答案不是 唯一的，我們稱它為開放題。所以我們可以看出一個題目是否開放，與該題目本身結(jié)構(gòu) 有關(guān)。(二)數(shù)學(xué)開放

5、題的分類對數(shù)學(xué)開放題的分類，從構(gòu)成數(shù)學(xué)題系統(tǒng)的四要素(條件、依據(jù)、方法、結(jié)論) 出發(fā)，定性地可分成四類，如果尋求的答案是數(shù)學(xué)題的條件，則稱為條件開放題；如果 尋求的答案是依據(jù)或方法則稱為策略開放題；如果尋求的答案是結(jié)論，則稱為結(jié)論開放 題；如果數(shù)學(xué)的條件、解題策略或結(jié)論都要求解答者自行設(shè)定與尋找，則稱為綜合開放 題。對開放題的分類討論，有助于理解問題的開放度，有利于教師把握一個數(shù)學(xué)開放題 是否適用于課堂教學(xué)，或者有利于教師改變開放題的設(shè)問方式以幫助課堂教學(xué)，或者有 利于有利于考試評分的可操作性與公平性。為了讓大家更清楚地區(qū)分開放題的各種類 型，下面我們住逐一來看下面開放題的四種類型的題目。1、

6、條件開放題這種類型的題目是給定結(jié)論來反探滿足結(jié)論的條件， 而滿足結(jié)論的條件并不唯一， 這類題常以基本知識為背景加以設(shè)計而成。例1、(2002年全國高考文科題)對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：(1)焦點在Y軸上；(2)焦點在X軸上；(3)拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6;(4)拋物線的通徑長為5;(5)由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為(2, 1)。能使這拋物線方程為y2 10x的條件是。這題是探索條件型答案不唯一的開放題，但很常見，對每一層次的學(xué)生都能找到答案，因此大部分同學(xué)都會躍躍欲試。2、策略開放題這類題要求學(xué)生依據(jù)題目提供的題設(shè)信息，尋找切合實際的多種途徑解決問題。

7、具 體表現(xiàn)為一題多變、一題多解、引中推廣等，從而使學(xué)生接受挑戰(zhàn)，進入發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的 角色，具有較強的素質(zhì)要求。1例2:已知x 0 ,函數(shù)y x ,是否存在最值？若存在，請求出最值，若不存在， x請說明原因。學(xué)生很快能想到運用基本不等式，求得最小值為2.(此題滿足運用基本不等式的條件“一正二定三相等”)如果把“ X 0”改為“ x 2”，此題又該如何求解？因為條件修改后已不滿足運用基本不等式的第三個條件，x不能取到不等式等號成立的值，那又該從哪入手？于是引出第二種解法：運用函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù) y=x+ 1在(0, 1)上是減函數(shù)，在1,+ oo) x上是增函數(shù)，在x=2時取得最小值。1 一一.如果

8、把題目改為已知x1 ,求函數(shù)y=x+ 的取小值。x- 1這時，應(yīng)想到拆項法，x=(x-1)+1,x-10,再考慮運用基本不等式，當且僅當x-1=1時等號成立，即x=2時，函數(shù)y取得最小值，最小值為3。通過引導(dǎo)學(xué)生對問題特征的差異和隱含關(guān)系等進行具體的分析，作出問題的聯(lián)想, 用不同的策略去處理和解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣泛性，深刻性，靈活性，獨特性, 從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。3、結(jié)論性開放題這種類型的題目是在給定條件下探索結(jié)論的多樣性 ，基本解法是：根據(jù)命題的條件及所學(xué)的知識進行探索，常用分類討論、等價轉(zhuǎn)換、數(shù)形結(jié)合、試驗等方法。例3、某住宅小區(qū)內(nèi)有一塊空地，物業(yè)管理部門根據(jù)小區(qū)實際情況，設(shè)計

9、出如圖的 娛樂場所：AB, BG CDL DE AH ED AC=a,BC=b其中 ABC為人們的活動場地， AEBffi CD助小花園。問：若ABCSCBDf目似，四邊形AEDCM什么四邊形？為什么? 解：當ABSCDBM,四邊形AED矩形. ABS ACDB ./ CBDh ACB / CBD廿 BCD=90 / BCD廿 ACB=90.E=/ D=/ ACD=90 四邊形AEDCft矩形當 ABS BDCM, 四邊形AEDCft直角梯形或矩形vZ E=/ D=90AE/ CD.ABS ABDC里嗎即CDBC ACvZ CBDh BAE丁 / BAE力 CABb2.b-,則 /CBDW C

10、AB a RtAAEB RtAABCAEAB2.2a bAB 門口,即AEAC2. 2. 2若 a b-,則a2 2b2,即a v2b. a a 當a 72b時，即AEw CD時四邊形AEDE直角梯形 當a 72b時，即AE=CD寸四邊形AEDC巨形這類題目我們常常以答案個數(shù)的多少去衡量題目開放度的大小。4、綜合性開放題對于這類問題，由于主體思考角度與經(jīng)驗背景不同，必然會提出多種多樣的解題策 略，得到各種不同的精確的或近似的、繁冗的或簡練的、可推廣的或難以推廣的結(jié)論。 這樣的問題的條件、解題策略與結(jié)論都呈現(xiàn)極大的開放性。例4（1999年全國高考試題（文、理）第18題）a、B是兩個不同的平面，m

11、i n是平面a及B之外的兩條不同直線，給出四個 論斷：mil n,a, B,n，B,mla,以其中三個論斷作為條件，余下一個 論斷作為結(jié)論，寫出你認為正確的一個命題。該題是條件開放結(jié)論也開放。四個論斷都作為條件，剩余一個則是結(jié)論，條件和結(jié) 論都不是固定的，而是可變的，解答該題時考生需要去思考、分析、嘗試、 猜想、論證， 極具挑戰(zhàn)性、探索性。例5、上海市出租車現(xiàn)行收費標準為：3公里以下（含3公里）收起步費10元，3 公里以上至10公里（含10公里）部分每公里收費2元，10公里以上部分每公里收費3 元。如果小王所乘的公里數(shù)分別是6公里，15公里，那么他所需付出的出租車費用 分別是多少？（為解題方便

12、，途中等候費忽略不計。）這是一個從生活實際出發(fā)的應(yīng)用題，它將“書本世界”與學(xué)生的“生活世界、經(jīng)驗 世界”相互溝通，計算雖極其簡單，但卻需要根據(jù)不同情況分別求出所需費用。如果對此應(yīng)用題進一步增加設(shè)問：如果小王所乘的公里數(shù)為x,那么他所需付出的出租車費用是多少？如果小王從甲地乘出租車到乙地有 18公里，而他有兩種乘車方案，方案一：從甲地乘一輛出租車到達乙地；方案二：先從甲地上車，行駛到10公里處下車，再換乘另一輛出租車到達乙地，分兩次付費。試問：小王選擇哪一種乘車方案省錢？甲、乙、丙三人合乘一輛出租車，并商定車費要合理分擔(dān)。如果甲在全程三分之 一處下車，乙在全程三分之二處下車，內(nèi)一人坐到終點，全程

13、共計車費48元。你認為他們?nèi)绾畏謹傑囐M比較合理？那么上述應(yīng)用題通過引用開放性設(shè)計后，就變成了一個綜合性開放題，使得原本就 有一定價值的實際問題更具有現(xiàn)實意義和可發(fā)展性。上面幾個例子，可以體會到數(shù)學(xué)開放題的優(yōu)勢：一方面，數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)可以提 高學(xué)生解決實際問題的能力；另一方面，在解決問題的過程中，學(xué)生會自己找出解決問 題的新辦法或策略，有時還可表現(xiàn)為對某些定理和公式的結(jié)論進行深化和延伸，達到創(chuàng) 造性地解決問題的效果，最終培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)造思維。二、數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)設(shè)計研究數(shù)學(xué)開放題，弄清它的含義、分類，一個重要的目的就是要利用開放題對學(xué)生進行教育，充分發(fā)揮開放題的教育價值。讓開放題進入數(shù)

14、學(xué)教學(xué)課堂，讓學(xué)生解決開放題，是實現(xiàn)開放題教育價值的重要途徑，一般來說，數(shù)學(xué)題的教學(xué)，有下面幾個環(huán)節(jié)。2、 呈現(xiàn)問題無論是條件性、策略性開放題，還是結(jié)論性、綜合性開放性題，教師可以根據(jù)教學(xué)的需要，把握好時機，合理、適時的呈現(xiàn)各類開放題。如：在“線面垂直和面面垂直的判定和性質(zhì)”復(fù)習(xí)課中，教師可出示前面的“例4”。這個問題的開放度比較大，又具有一定的層次性，盡管學(xué)生之間的能力有差異，但每個學(xué)生都能“做得出”，滿足了各種層次學(xué)生的要求，再通過尋找規(guī)律，能使學(xué)生更進一步理解“垂直關(guān)系”的含義和有關(guān)解題方法，有利于達到復(fù)習(xí)目標。2、研究問題一般地，研究解決開放題的方法大致有：學(xué)生個別學(xué)習(xí)、小組討論學(xué)習(xí)，

15、班內(nèi)組際交流學(xué)習(xí)和教師講解等幾種形式。例如，在研究“例2”時，教師首先讓每個學(xué)生根據(jù)自己的能力積極參與，獨立完成這個題目，并鼓勵學(xué)生充分利用開放題的多樣性，找出多種答案。由于該開放題的開放度比較大，所以每個學(xué)生都或多或少能獲得幾個答案。這大大激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，每個學(xué)生在學(xué)習(xí)中都有一定的成就感，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。接著進行小組交流，通過組內(nèi)討論，不同層次的學(xué)生集思廣益，互通啟迪，縮小了差異。這樣，借助于這個開放題的教學(xué)過程。既為學(xué)生提供了充分發(fā)展個性的機會，又充分暢通了學(xué)生之間交流信息的渠道，有利于促進學(xué)生的思維活動。3、小結(jié)問題對開放題進行小結(jié)?？梢圆捎脤W(xué)生代表發(fā)言小結(jié)，也可以教師進行

16、總結(jié)性發(fā)言。小結(jié)是誘發(fā)學(xué)生產(chǎn)生頓悟，使認知結(jié)構(gòu)產(chǎn)生質(zhì)的飛躍的重要的步驟。同時可以幫助學(xué)生去偽存真，糾正學(xué)生思維的偏差。小結(jié)除了羅列一些可能的答案外，更重要是要歸納規(guī)律和提出有關(guān)問題之間的聯(lián)系。如能再適當提問，可以增加問題的開放度，又可以促進學(xué)生進一步思考、探索， 把問題向課外延伸，使理論與實際緊密結(jié)合，做到 “言盡意不盡”，真正達到教育的目的。數(shù)學(xué)開放題的教學(xué)要注意以下幾點：(1) 教師對于有關(guān)的問題，事先要作好充分的準備與估計，這樣方能得心應(yīng)手地對付課堂內(nèi)可能發(fā)生的發(fā)生的情況。(2) 課堂上要讓學(xué)生自己去動手做，讓學(xué)生充分的通過自己的思考，互相交流，互相啟發(fā)找出答案。(3) 啟發(fā)要得當，要善于從學(xué)生正確的或不正確的答案中，分析其思路，及時肯定成績，指出不足，引導(dǎo)前進。(4) 開放題教學(xué)是對教師臨場應(yīng)變能力的挑戰(zhàn)，教師既要照顧到差生的解答水平，又要鼓勵優(yōu)生去尋找更高水平更一般的解答，并力圖使各種智力體驗變成大家的財富。(5) 教師是開放題教學(xué)的鼓勵者。要時刻當好學(xué)生的參謀，不斷地啟發(fā)、鼓勵學(xué)生大膽地探索，要了學(xué)生的心理，掌握學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮學(xué)生的主動性和和積極性。讓學(xué)生能品嘗“勝利的果實”。同時教師要善于對學(xué)生開放題的解答進行評價。要學(xué)會觀察、分析、歸納各種結(jié)論的正確性，并善于用簡練的語言抓住重點，總結(jié)規(guī)律，并能對具體問題有獨到的見解。(6) 開放題和封閉