第十二章微分方程的冪級(jí)數(shù)解法ppt課件

1、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法微分方程的冪級(jí)數(shù)解法一、問題的提出一、問題的提出,22yxdxdy 例例如如解不能用初等函數(shù)或其積分式表達(dá)解不能用初等函數(shù)或其積分式表達(dá).尋求近似解法尋求近似解法: 冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法;數(shù)值解法數(shù)值解法.雅卡比逐次逼近法雅卡比逐次逼近法;二、二、 特解求法特解求法),(yxfdxdy 問題問題.),(00的的特特解解滿滿足足求求yyyxfdxdyxx .)()()()(),(0000101000mllmyyxxayyaxxaayxf 其中其中,0的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)所所求求特特解解可可展展開開為為xx 202010)()(xxaxxayy.,21為為待待定定的的系系數(shù)

2、數(shù)其其中中naaa.0|02的的特特解解滿滿足足求求 xyyxdxdy解解，00 x, 00 y,33221 nnxaxaxaxay設(shè)設(shè)方程方程的冪級(jí)數(shù)展開式帶入原的冪級(jí)數(shù)展開式帶入原將將yy , 342321432xaxaxaa24433221)( xaxaxaxax,32123121 nnxnaxaxaay例例1 1,201, 0, 0,21, 054321 aaaaa.2012152 xxy所所求求解解為為 43122321221)2(2xaaaxaaxax比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)的同次冪的系數(shù), 得得小結(jié)小結(jié): : 無初始條件求解無初始條件求解 1nnnxaCy可設(shè)

3、可設(shè)(C是任意常數(shù)是任意常數(shù)) 如如果果方方程程0)()( yxQyxPy中中的的系系數(shù)數(shù))(xP與與)(xQ可可在在RxR 內(nèi)內(nèi)展展為為x的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,那那么么在在RxR 內(nèi)內(nèi)原原方方程程必必有有形形如如 nnnxay 0 的的解解. . 定理定理三、二階齊次線性方程冪級(jí)數(shù)求法三、二階齊次線性方程冪級(jí)數(shù)求法作法作法,0 nnnxay設(shè)設(shè)解解為為的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)，展展開開為為將將0)(),(),(xxxfxQxP 比較恒等式兩端比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)的同次冪的系數(shù), 確定確定y.0的的解解求求方方程程 yyxy,0nnnxay 設(shè)方程的解為設(shè)方程的解為解解例例2 2,10 nn

4、nxnay則則21)1( nnnxanny, 0, yyxyyyy帶入帶入將將,)1)(2(02nnnxann , 00 nnnxa10 nnnxnaxnnnxann 02)1)(2(, 0)1()1)(2(02 nnnnxanann,22 naann, 2 , 1 , 0 n,313aa ,1515aa ,!)!12(112 kaak, 3 , 2 , 1 k,202aa ,804aa ,2!02kkkaa 原方程的通解原方程的通解 0121020!)!12(!2nnnnnnxanxay),(10是是任任意意常常數(shù)數(shù)aa四、小結(jié)四、小結(jié)微分方程解題思路微分方程解題思路一階方程一階方程高階方程高階方程分離變量法分離變量法全微分方程全微分方程常數(shù)變易法常數(shù)變易法特征方程法特征方程法待定系數(shù)法待定系數(shù)法非全微分方程非全微分方程非變量可分離非變量可分離冪級(jí)數(shù)解法冪級(jí)數(shù)解法降降階階作作變變換換作變換作變換積分因子積分因子思考題思考題 什么情況下采用什么情況下采用“冪級(jí)數(shù)解法求解冪級(jí)數(shù)解法求解微分方程？微分方程