知識(shí)講解_三角函數(shù)地概念

1、三角函數(shù)的概念【考綱要求】1.了解任意角的概念和弧度制概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.2.會(huì)表示終邊相同的角；會(huì)象限角的表示方法.3.理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，熟練掌握三角函數(shù)在各個(gè)象限中的符號(hào)、特殊角的三角函數(shù)值.4.熟練掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式并能運(yùn)用他們解決有關(guān)問題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】三角函數(shù)的概念角任同正的意角弦概角三、念的角余的三函弦推角數(shù)的廣函的誘、數(shù)基導(dǎo)弧本公度關(guān)式制系式【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一、角的概念與推廣1 任意角的概念：正角、負(fù)角、零角2象限角與軸線角：與終邊相同的角的集合：|2k, kZ第 1頁共11頁第一象限角的集合：| 2k2k, kZ2第二象限

2、角的集合：|2k2k, kZ23第三象限角的集合：|2k2k,kZ2第四象限角的集合：| 32k22k , kZ2終邊在 x 軸上的角的集合： |k , kZ終邊在 y 軸上的角的集合： |k, kZ2終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合： |k, k Z2要點(diǎn)詮釋：要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表現(xiàn)形式不是唯一的，終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，還要注意區(qū)間角與象限角及軸線角的區(qū)別與聯(lián)系.考點(diǎn)二、弧度制1 弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式：弧長(zhǎng) lr ，扇形面積 S扇形1 lr1 r 2（其中 r 是圓的半徑，是弧所對(duì)圓心角的弧度數(shù)） .222角度制與弧度制的換算：o o 180 o o o

3、180 ； 1 rad 0.01745 rad； 1rad ( ) 57.30 57 18'要點(diǎn)詮釋：要熟悉弧度制與角度制的互化以及在弧度制下的有關(guān)公式.考點(diǎn)三、任意角的三角函數(shù)1.定義：在角上的終邊上任取一點(diǎn)P( x, y) ，記 r OPx2y2則 sinycosxy， cotxrr, tanx， sec， csc.rryxy2.三角函數(shù)線：如圖，單位圓中的有向線段MP ， OM ， AT 分別叫做的正弦線，余弦線，正切線 .第 2頁共11頁3.三角函數(shù)的定義域： ysin， ycos的定義域是R； ytan ， ysec 的定義域是 |k,k Z ； ycot， ycsc的定義域

4、是 |k, k Z .24. 三角函數(shù)值在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)：要點(diǎn)詮釋：三角函數(shù)的定義是本章內(nèi)容的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn)，正確理解了三角函數(shù)的定義，則三角函數(shù)的定義域、三角函數(shù)在各個(gè)象限內(nèi)的符號(hào)以及同角三角函數(shù)之間的關(guān)系便可以得到牢固掌握利用定義求三角函數(shù)值時(shí)，也可以自覺地根據(jù)角的終邊所在象限進(jìn)行分情況討論.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示，是處理有關(guān)三角問題的重要工具，它能把某些繁雜的三角問題形象直觀地表達(dá)出來有關(guān)三角函數(shù)值的大小比較問題、簡(jiǎn)單三角不等式及簡(jiǎn)單三角方程的解集的確定等問題的解決常結(jié)合使用三角函數(shù)線，這是數(shù)形結(jié)合思想在三角中的具體運(yùn)用.考點(diǎn)四、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系式1.平方關(guān)系： sin

5、2cos21;sec21tan 2;csc21 cot 2.2.商數(shù)關(guān)系： tansincotcos.;sincos3.倒數(shù)關(guān)系： tancot1;sincsc1;cossec1要點(diǎn)詮釋：第 3頁共11頁同角三角函數(shù)的基本關(guān)系主要用于：（ 1 ）已知某一角的三角函數(shù)，求其它各三角函數(shù)值；（ 2 ）證明三角恒等式；（ 3 ）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式.三角變換中要注意“1 ”的妙用，解決某些問題若用“1 ”代換，如 1sin 2cos2，1sec2tan2tan 45oL ，則可以事半功倍；同時(shí)三角變換中還要注意使用“化弦法”、消去法及方程思想的運(yùn)用.考點(diǎn)五、誘導(dǎo)公式1. 2k(kZ ), 2的三角函數(shù)值等

6、于的同名三角函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值所在象限的符號(hào).32.，的三角函數(shù)值等于的互余函數(shù)值，前面加上一個(gè)把看成銳角時(shí)原函數(shù)值所在22象限的符號(hào) .要點(diǎn)詮釋：誘導(dǎo)公式其作用主要是將三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0o : 90o 角的三角函數(shù)值，本節(jié)公式較多，要正確理解和記憶，誘導(dǎo)公式可以用“奇變偶不變，符號(hào)看象限（奇、偶指的是的奇數(shù)倍、偶數(shù)倍） ”這個(gè)口訣進(jìn)行2記憶 .【典型例題】類型一、角的相關(guān)概念例 1.已知是第三象限角 ,求角的終邊所處的位置 .2【答案】是第二或第四象限角2【解析】方法一：是第三象限角，即 2k2k3 , k Z ，2k2k3, kZ ,243當(dāng) k2n時(shí)， 2n,n Z

7、 ,222n4 是第二象限角，2當(dāng) k2n1 時(shí)，2n32n72, n Z ,24第 4頁共11頁是第四象限角，2是第二或第四象限角.2方法二：由圖知 :的終邊落在二，四象限.2【總結(jié)升華】（ 1 ）要熟練掌握象限角的表示方法本題容易誤認(rèn)為是第二象限角，其錯(cuò)誤原因?yàn)檎J(rèn)2為第三象限角的范圍是(, 3) 解決本題的關(guān)鍵就是為了湊出2的整數(shù)倍，需要對(duì)整數(shù)進(jìn)行分類2（ 2 ）確定“分角” 所在象限的方法： 若是第 k (1 、2 、3 、4) 象限的角， 利用單位圓判斷，( nN * )n是第幾象限角的方法：把單位圓上每個(gè)象限的圓弧n 等份，并從x 正半軸開始，沿逆時(shí)針方向依次在每個(gè)區(qū)域標(biāo)上 1 、2

8、 、 3 、 4 ，再循環(huán)，直到填滿為止，則有標(biāo)號(hào)k 的區(qū)域就是角( nN * )終邊所在的范圍。n如： k=3 ，如下圖中標(biāo)有號(hào)碼3 的區(qū)域就是終邊所在位置2y3241x1423第 5頁共11頁舉一反三：【變式 1 】已知 是第二象限角 ,求角的終邊所處的位置 .3【答案】是第一或第二或第四象限角3【解析】方法一：是第二象限角，即2k2k, k Z ，kk 2223, kZ ,3633當(dāng) k3n 時(shí)，2n62n, kZ ,33是第一象限角，35當(dāng) k3n1時(shí)， 2n2n, kZ ,63是第二象限角，335當(dāng) k3n 22n時(shí)， 2n3, k Z ,23是第四象限角，3是第一或第二或第四象限角

9、.3方法二：k=2 ，如下圖中標(biāo)有號(hào)碼2 的區(qū)域就是終邊所在位置3第 6頁共11頁由圖知：的終邊落在一，二，四象限.3【變式 2】已知弧長(zhǎng) 50cm的弧所對(duì)圓心角為200 度，求這條弧所在的圓的半徑（精確到1cm ） .【答案】 29cm.類型二、任意角的三角函數(shù)例 2. 若 sin cos0，則角 在象限 .【答案】第一或第三【解析】方法一： 由 sin cos0sin0sin0知（ 1）或（ 2）0cos0cos由（ 1）知在第一象限，由（2 ）知在第三象限，所以在第一或第三象限.方法二： 由 sincos0有 sin20，所以 2k22kkZ ,即 kk2kZ當(dāng) k2n(nZ)時(shí)，為第一

10、象限，當(dāng)k2n 1(n Z ) 時(shí)，為第三象限故為第一或第三象限 .方法三： 分別令、5、7、11，代入 sincos0 ，6666只有、7滿足條件，66第 7頁共11頁所以為第一或第三象限.【總結(jié)升華】角的象限和角的三角函數(shù)值符號(hào)可以相互判定，方法三只能用于選擇題或填空題.舉一反三：tan( 3).sin 5【變式 1 】確定的符號(hào) .cos1【答案】原式小于零【解析】因?yàn)?,5,1 分別是第三、第四、第一象限的角，所以tan( 3)0 ， sin50 ， cos10 ，所以原式小于零 .【變式2 】已知 tancos>0 ， tan0，則是第象限角 .sin【答案】二tan10 ，

11、cos0 ， tan0 ，則是第二象限角 .【解析】cossin【變式3 】求 sin x|cos x |tan x的值 .| sin x |cos x|tan x |【答案】當(dāng) x 為第一象限角時(shí)，值為3 ；當(dāng) x 為第二、三、四象限角時(shí)，值為-1.例3. 已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊為射線4x3y 0( x 0)，則sin(sincot)cos2的值是（）A. 1B. 2C. 8D . 95555【答案】 C【解析】在角的終邊上任取一點(diǎn) P(3,4)，則有 r5 ，則原式4(43 )98 ，故選 C.554255舉一反三：【變式】已知角的終邊過點(diǎn) (a,2 a)(a

12、0) ，求 sin、 cos 、 tan的值【解析】 ra2(2a) 25 | a |（ 1 ）當(dāng) a0時(shí)， r5a ，sin255， tan2；， cos55第 8頁共11頁（ 2 ）當(dāng) a0 時(shí)， r5a ，sin255， tan2 .5， cos5類型三、誘導(dǎo)公式例 4. 已知 cos()3，求 cos(5)sin 2 ()的值.6366【答案】233【解析】 cos(5)sin 2 ()cos()sin 2 ()6666cos()sin 2 ()cos()1cos2 ()66663123133.3舉一反三：【變式 1 】計(jì)算： sin 330ocos240o【答案】 1【解析】原式oo

13、oo）oo1.sin(36030 )cos(180 +60= sin 30cos60【變式 2 】化簡(jiǎn) sin()cos() .44【答案】 0【解析】原式sin()cos()sin()sin() 0 .42444類型四、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式例 5 已知 sincos1求 sincos、 sincos的值；，且 01275【答案】；25511【解析】 方法一： 由 sincos可得： sin 22sincoscos2，525即 1 2sin cos112，sincos2525sincos1cos12， sin255第 9頁共11頁sin、 cos是方程 x2 1x120 的兩根，525si

14、n4sin355或34coscos550，sin0 ，sin43， cos，55sincos75方法二： 由 sincos1可得： sin 22sincoscos21，511225即 1 2sin cos，sincos25250，sin0 ，cos0 ，sincos0由（ sincos22sincos11249） 122525sincos75舉一反三：【變式】已知 sincos211的值 .，求sin2cos22【答案】 16【解析】由 sincos2可得： sin22sincos cos21 2sin cos1；22于是 sincos1，411sin 2cos216 sin2cos2sin2cos2例 6 已知 2sincos0 ，求下列各式的值（ 1 ） 4sin3cos；（2 ） 2sin 23sincos5cos 22sin5cos【答案】512；541【解析】由 2sincos0 得 tan，2第10頁共 11頁4sin3cos4 tan