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1、課 程 教 學(xué) 大 綱(理論課)課 程 名 稱： 數(shù)值分析 適 用 專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 課 程 類 別： 學(xué)科基礎(chǔ)課程 制 訂 時 間： 2006年8月 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院 制數(shù)值分析課程教學(xué)大綱（2000年制訂，2006年修訂）一、課程代碼： 0501121012二、課程類別：學(xué)科基礎(chǔ)課程三、預(yù)修課程：數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、常微分方程、高級語言程序設(shè)計四、學(xué) 分： 5學(xué)分五、學(xué) 時： 108學(xué)時（其中實驗部分36學(xué)時）六、課程概述：數(shù)值分析是我院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的一門專業(yè)必修課，該課程的研究對象是從科學(xué)與工程問題中歸納出來的數(shù)學(xué)模型，它是研究如何利用計算機(jī)通過數(shù)值運(yùn)算求出數(shù)學(xué)模型數(shù)

2、值解的方法和算法的科學(xué)。數(shù)值分析又稱為計算方法或數(shù)值計算方法，由數(shù)值逼近、數(shù)值代數(shù)和微分方程的數(shù)值解法三部分構(gòu)成，具體內(nèi)容有：代數(shù)插值、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分、解非線性方程的迭代法、解線性代數(shù)方程組的直接法、解線性代數(shù)方程組的迭代法、常微分方程初值問題的數(shù)值解法等。七、教學(xué)目的：本課程主要向?qū)W生介紹數(shù)值分析的基本方法以及數(shù)值分析研究中的一些較新的成果。通過教學(xué)使學(xué)生掌握各種常用數(shù)值算法的構(gòu)造原理和過程分析，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維能力，為進(jìn)一步的專業(yè)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)，同時，通過本課程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，為工程技術(shù)的應(yīng)用提供必要的手段，為培養(yǎng)高素質(zhì)的人才打下一個

3、良好的基礎(chǔ)。八、學(xué)時分配表教學(xué)內(nèi)容(章)理論學(xué)時實驗學(xué)時習(xí)題課其它備注第一章 引論42第二章 插值與逼近2010第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分126第四章 非線性方程的數(shù)值解法84第五章 線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法2010第六章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法84九、教學(xué)基本內(nèi)容： 第一章 引論教學(xué)要求：通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生了解數(shù)值分析的研究對象、主要方法及誤差的分類，掌握有效數(shù)字位數(shù)的確定以及設(shè)計算法過程中應(yīng)注意的一些事項。重點：有效數(shù)字位數(shù)的確定和設(shè)計算法過程中應(yīng)注意的一些事項。難點：誤差限和有效數(shù)字概念的理解。本章課外作業(yè)：第23頁，2、6。教學(xué)內(nèi)容：一、 數(shù)值計算方法的對象和特點（2學(xué)時）數(shù)值

4、分析在解決實際問題中的作用、研究對象和主要研究方法及誤差的來源；二、誤差及近似計算中需要注意的一些問題（2學(xué)時）絕對誤差,相對誤差和有效數(shù)字的概念及數(shù)值計算中應(yīng)注意的一些問題.第二章 插值與逼近教學(xué)要求：通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握Lagrange插值、Newton插值和Hermite插值函數(shù)的求法及其誤差表達(dá)式的證明方法；了解三次樣條插值函數(shù)的求法及正交多項式的性質(zhì)和構(gòu)造；掌握最佳平方逼近函數(shù)的求法；會進(jìn)行曲線擬合。重點：插值函數(shù)的求法及其誤差表達(dá)式的證明方法和最佳平方逼近函數(shù)的求法。難點：三次樣條插值函數(shù)及正交多項式。本章課外作業(yè)：第99-102頁，1、2、5、6、9、10、14、16。教學(xué)內(nèi)

5、容：一、 插值的基本概念及拉格朗日插值（2學(xué)時）代數(shù)插值及其存在唯一性定理和Lagrange插值多項式的構(gòu)造方法.二、插值余項及牛頓插值（4學(xué)時）插值余項的表達(dá)式及其證明和應(yīng)用、差商的概念及性質(zhì)、Newton插值公式,差分及等距結(jié)點的插值公式.三、Hermite插值（2學(xué)時）兩類特殊的Hermite插值多項式的構(gòu)造及余項的表達(dá)式和證明.四、三次樣條插值（4學(xué)時）分段線性插值和分段三次Hermite插值公式及其誤差估計和三次樣條插值的概念、三轉(zhuǎn)角方程組的推導(dǎo)及用三轉(zhuǎn)角方程組求三次樣條插值的方法.五、正交多項式（4學(xué)時）權(quán)函數(shù),內(nèi)積,正交性的概念及正交多項式的三個重要性質(zhì)的證明、常用的Chebys

6、hev多項式,Legendre多項式,Lagurre多項式和Hermite多項式的定義及性質(zhì)的推導(dǎo).六、最佳平方逼近（2學(xué)時）法方程組的推導(dǎo)及最佳平方逼近多項式的構(gòu)造方法.七、曲線擬合的最小二乘法（2學(xué)時）利用數(shù)據(jù)表如何進(jìn)行最小二乘擬合.第三章 數(shù)值積分與數(shù)值微分教學(xué)要求： 通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握求定積分近似值的Newton-Cotes公式和Guass型求積公式的構(gòu)造及其代數(shù)精度，理解各種復(fù)化求積公式和Richardson外推算法的思想，會用Romberg求積法，了解數(shù)值微分的基本思想方法。重點：Newton-Cotes公式、復(fù)化求積公式和Guass型求積公式。難點：Romberg求積算法和

7、Guass型求積公式的構(gòu)造。本章課外作業(yè)：第163-165頁，1、2、5、7、9、10。教學(xué)內(nèi)容：一、 數(shù)值積分概述及Newton-Cotes求積公式（4學(xué)時）代數(shù)精度及Newton-Cotes求積公式的推導(dǎo)、Newton-Cotes求積公式的余項和穩(wěn)定性及復(fù)合求積公式.二、龍貝格求積公式（2學(xué)時）外推算法及Romberg求積算法.三、高斯求積方法（4學(xué)時）Gauss求積公式的概念及其構(gòu)造、 Gauss求積公式的余項及其穩(wěn)定性和收斂性,帶權(quán)Gauss求積公式的構(gòu)造.四、數(shù)值微分（2學(xué)時）常用的數(shù)值微分公式第四章 非線性方程的數(shù)值解法教學(xué)要求：通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解求解非線性方程組的各種迭代公

8、式構(gòu)造的基本思想，掌握求解非線性方程的二分法、簡單迭代法、牛頓迭代法和弦截法，會判定迭代的斂散性，掌握求解非線性方程組的迭代法的收斂階和加速收斂方法。重點：解非線性方程組的牛頓迭代法。難點：求解非線性方程組的迭代法的收斂階和加速收斂方法。 本章課外作業(yè)：第196-197頁，1、2、3、4。教學(xué)內(nèi)容：一、 二分法（2學(xué)時）求非線性方程的根的二分法算法.二、 迭代法（2學(xué)時）迭代法的基本思想及迭代法的局部收斂性.三、 迭代法的收斂階和加速收斂方法（2學(xué)時）收斂階的確定方法及Aitken加速收斂方法四、 牛頓迭代法及弦截法（2學(xué)時）Newton迭代法的迭代公式及收斂性,重根的加速收斂法.第五章 線性

9、代數(shù)方程組的數(shù)值解法教學(xué)要求：通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解求解線性代數(shù)方程組近似解的高斯順序消去法、列主元素消去法、LU分解（包括Doolittle分解、Crout分解）、對稱正定方程組的平方根法和LDLT分解及解三對角方程組的追趕法的思想并掌握其算法，同時，使學(xué)生了解求解線性代數(shù)方程組近似解的迭代法的思想，掌握三種常用的向量范數(shù)、矩陣范數(shù)及譜半徑的求法，掌握迭代公式收斂的條件，掌握J(rèn)acobi迭代、Seidel迭代法，理解逐次超松馳迭代法的思想，會使用判別斂散性的幾個常用條件判定迭代的斂散性。重點：各種算法的構(gòu)造及迭代斂散性的判定方法和向量范數(shù)、矩陣范數(shù)、譜半徑的求法。難點：各種算法的構(gòu)造和逐次

10、超松馳迭代法及其相應(yīng)的理論部分。本章課外作業(yè)：第286-289頁，2、4、8、9、11、12、13。教學(xué)內(nèi)容：一、 高斯消去法（2學(xué)時）順序Gauss消去法,列主元Gauss消去法和全主元Gauss消去法的算法.二、 三角分解法（6學(xué)時）各種三角分解形式及條件、分解算法的推導(dǎo)及分解公式。三、 解帶狀方程組的三角分解法（2學(xué)時）大型等帶寬方程組的LU分解算法及解三對角方程組的追趕法。四、 范數(shù)與方程組的狀態(tài)（4學(xué)時）向量與矩陣的三種范數(shù)及相關(guān)理論、譜半徑,F-范數(shù),條件數(shù)的計算及解方程組的誤差分析。五、 迭代法（6學(xué)時）Jacobi迭代及Gauss-Seidel迭代的分量形式及矩陣形式、一般迭代

11、法收斂的充要條件,充分條件及其證明、按行(列)嚴(yán)格對角占優(yōu)及SOR迭代收斂的必要條件和充分條件第六章 常微分方程初值問題的數(shù)值解法教學(xué)要求：通過本章的學(xué)習(xí)使學(xué)生掌握求解常微分方程初值問題數(shù)值解的歐拉方法、改進(jìn)的歐拉方法和標(biāo)準(zhǔn)四階Runge-Kutta方法，理解自動選取步長和事后估計的思想，了解其收斂性和穩(wěn)定性。重點：歐拉方法、改進(jìn)的歐拉方法和Runge-Kutta方法。難點：Runge-Kutta方法的推導(dǎo)過程和各種數(shù)值解法的收斂性和穩(wěn)定性。本章課外作業(yè)：第344頁，1、2。教學(xué)內(nèi)容：一、 歐拉方法（2學(xué)時）Euler方法,梯形公式和改進(jìn)的Euler公式的截斷誤差及其推導(dǎo)。二、 龍格庫塔法（4

12、學(xué)時）Runge-Kutta法的基本思想及其推導(dǎo)。三、 收斂性與穩(wěn)定性（2學(xué)時）單步法的收斂性及絕對穩(wěn)定域十、實驗部分： 一、蝴蝶效應(yīng)：用C語言編寫不具有數(shù)值穩(wěn)定性的算法程序進(jìn)行計算,體驗蝴蝶效應(yīng),同時編寫具有數(shù)值穩(wěn)定性的算法程序進(jìn)行計算,比較計算結(jié)果.（2學(xué)時）；二、插值與逼近：用C語言編寫程序進(jìn)行Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值、三次樣條插值及最佳平方逼近和曲線擬合（10學(xué)時）；三、數(shù)值積分與數(shù)值微分：用C語言編寫利用Newton-Cotes公式、復(fù)化求積公式、Romberg求積法及Guass型求積公式求定積分近似值的程序并上機(jī)進(jìn)行計算（6學(xué)時）；四、非

13、線性方程的數(shù)值解法：用C語言編寫求解非線性方程的二分法、簡單迭代法、牛頓迭代法和弦截法程序并上機(jī)進(jìn)行計算（4學(xué)時）；五、線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法：用C語言編寫高斯順序消去法、列主元素消去法、LU分解（包括Doolittle分解、Crout分解）、對稱正定方程組的平方根法和LDLT分解、解三對角方程組的追趕法以及Jacobi迭代、Seidel迭代法和逐次超松馳迭代法解線性代數(shù)方程組的程序（10學(xué)時）；六、常微分方程初值問題的數(shù)值解法：用C語言編寫求解常微分方程初值問題數(shù)值解的歐拉方法、改進(jìn)的歐拉方法和標(biāo)準(zhǔn)四階Runge-Kutta方法的程序（4學(xué)時）十一、教材及主要教學(xué)參考書： 沈劍華，數(shù)值計算基礎(chǔ)(第二版)，上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2004顏慶津，數(shù)值分析，北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2000王仁宏，數(shù)值逼近，北京：高等教育出版社，1999譚浩強(qiáng), C程序設(shè)計(第二版), 北京：清華大學(xué)出版社，1999袁東錦，