基于IEEE 754的浮點數(shù)存儲格式分析研究(1)

1、基于IEEE 754的浮點數(shù)存儲格式分析研究(1)    摘 要 浮點數(shù)的表示和存儲直接影響計算機的結構和性能，IEEE 754是浮點運算部件事實上的工業(yè)標準，是計算機上使用最為廣泛的浮點標準。文章在闡述了浮點數(shù)的基本概念和IEEE 754浮點數(shù)的表示形式及其格式的基礎上，比較深入的比較、分析和研究了Intel x86和SPARC結構計算機上使用的三種IEEE浮點數(shù)的存儲格式。        關鍵詞d ×e，其中d.dd d 稱為有效數(shù)字（significand），

2、它具有 p 個數(shù)字（稱p位有效數(shù)字精度），為基數(shù)（Base），e為指數(shù)（Exponent），±表示實數(shù)的正負1,2。更精確地，± d0.dddp1 × e， 表示以下數(shù)    ±（d0d11 dp1（p1）e，（0di）。    對實數(shù)的浮點表示僅作如上的規(guī)定是不夠的，因為同一實數(shù)的浮點表示還不是唯一的。例如，1.0×102 ，0.1 ×103 ，和0.01 ×104 都可以表示100.0。為了達到表示單一性的目的，有必要對其作進一步的規(guī)范。規(guī)定

3、有效數(shù)字的最高位(即前導有效位)必須非零，即0d0。符合該標準的數(shù)稱為規(guī)格化數(shù)（Normalized Numbers），否則稱為非規(guī)格化數(shù)(Denormalized Numbers)。    2 IEEE 754浮點數(shù)與其浮點格式 2.1 實數(shù)的IEEE 754表示形式    一個實數(shù)V在IEEE 754標準中可以用V(1)s×M×2E 的形式表示3,4，說明如下：    (1)符號s(sign)決定實數(shù)是正數(shù)(s0)還是負數(shù)(s1)，對數(shù)值0的符號位特殊

4、處理。    (2)有效數(shù)字M（significand）是二進制小數(shù)，M的取值范圍在1M2或0M1。    (3)指數(shù)E（exponent）是2的冪，它的作用是對浮點數(shù)加權。 2.2 浮點格式    浮點格式是一種數(shù)據(jù)結構，它規(guī)定了構成浮點數(shù)的各個字段，這些字段的布局，及其算術解釋2。IEEE 754浮點數(shù)的數(shù)據(jù)位被劃分為3個字段，對以上參數(shù)值進行編碼：    (1)一個單獨的符號位s直接編碼符號s。   

5、 (2)k位的偏置指數(shù)e（eek1e1e0）編碼指數(shù)E，移碼表示。    (3)n位的小數(shù)f(fraction)（ffn1f1f0）編碼有效數(shù)字M，原碼表示。 2.3 浮點數(shù)的分類    根據(jù)偏置指數(shù)e的值，被編碼的浮點數(shù)可分成三種類型。    (1)規(guī)格化數(shù)    當有效數(shù)字M在范圍1M2中且指數(shù)e的位模式ek1e1e0既不全是0也不全是1時，浮點格式所表示的數(shù)都屬于規(guī)格化數(shù)。這種情況中小數(shù)f（0f1 ) 的二進制表示為0.

6、 fn1f1f0。有效數(shù)字M1f，即M1. fn1f1f0 (其中小數(shù)點左側的數(shù)值位稱為前導有效位) 。我們總是能調(diào)整指數(shù)E，使得有效數(shù)字M在范圍1M2中，這樣有效數(shù)字的前導有效位總是1，因此該位不需顯示表示出來，只需通過指數(shù)隱式給出。 需要特別指出的是指數(shù)E要加上一個偏置值Bias，轉(zhuǎn)換成無符號的偏置指數(shù)e，也就是說指數(shù)E要以移碼的形式在存放計算機中。且e、E和Bias三者的對應關系為e=EBias，其中Bias=2k11。    (2)非規(guī)格化數(shù)    當指數(shù)e的位模式ek1e1e0全為零（即e0）時，浮點格式

7、所表示的數(shù)是非規(guī)格化數(shù)。這種情況下，E=1Bais，有效數(shù)字M=f=0. fn1f1f0 ，有效數(shù)字的前導有效位為0。 非規(guī)格化數(shù)的引入有兩個目的。其一是它提供了一種表示數(shù)值0的方法，其二是它可用來表示那些非常接近于0.0的數(shù)。    (3)特殊數(shù)    當指數(shù)e的位模式ek1e1e0全為1時，小數(shù)f的位模式fn1f1f0全為0（即f=0）時，該浮點格式所表示的值表示無窮，s=0 時是，s=1時是。 當指數(shù)e的位模式ek1e1e0全為1時，小數(shù)f的位模式fn1f1f0不為0（fn1、f1、f0、至少有一個非零即f0

8、）時，該浮點格式所表示的值被稱為NaN（Not a Number）。比如當計算 或時用作返回值，或者用于表示未初始化的數(shù)據(jù)。 3 IEEE 754浮點存儲格式    與浮點格式對應，浮點存儲格式規(guī)定了浮點格式在存儲器中如何存放。IEEE標準定義了這些浮點存儲格式，但具體選擇哪種存儲格式由實現(xiàn)工具（程序設計語言）決定。 匯編語言軟件有時取決于所使用的存儲格式，但更高級的語言通常僅處理浮點數(shù)據(jù)類型的語言概念。這些浮點數(shù)據(jù)類型在不同高級語言中有不同的名字，相應的IEEE格式如表1。 表1 IEEE 格式和語言類型    

9、     IEEE精度C，C FORTRAN單精度floatREAL or REAL*4雙精度doubleDOUBLE PRECISION or REAL*8擴展雙精度long doubleREAL*16 僅適用于SPARC和PowerPC    IEEE 754標準準確地定義了單精度和雙精度浮點格式，并為這兩種基本格式的分別定義了擴展格式，表1里擴展雙精度格式是IEEE標準定義的擴展雙精度類中的一種。 下面詳細討論在Intel x86和SPARC平臺上使用的三種IEEE浮點存儲格式。  

10、60; 3.1 單精度格式    IEEE單精度浮點格式共32位，包含三個構成字段：23位小數(shù)f，8位偏置指數(shù)e，1位符號s。將這些字段連續(xù)存放在一個32位字里，并對其進行編碼。其中0:22位包含23位的小數(shù)f； 23:30位包含8位指數(shù)e；第31位包含符號s。如圖1所示。 圖1 單精度存儲格式    一般地，32位字的第0位存放小數(shù)f的最低有效位LSB（the least significant bit），第22位存放小數(shù)f的最高有效位MSB（the most significant bit）；第23位

11、存放偏置指數(shù)的最低有效位LSB，第30位存放偏置指數(shù)的最高有效位MSB；最高位，第31位存放符號s。 3.2 雙精度格式    IEEE雙精度浮點格式共64位，占2個連續(xù)32位字，包含三個構成字段：52位的小數(shù)f，11位的偏置指數(shù)e，1位的符號位s。將這2個連續(xù)的32位字整體作為一個64位的字，進行重新編號。其中0：51位包含52位的小數(shù)f；52：62位包含11位的偏置指數(shù)e；而最高位，第63位包含符號位s。如圖2所示。    圖 2 雙精度浮點數(shù)的存儲格式    f31:0

12、存放小數(shù)f的低32位，其中第0位存放整個小數(shù)f的最低有效位LSB，第31位存放小數(shù)f的低32位的最高有效位MSB。    在另外的32位的字里，第0 到19位，即f51:32，存放小數(shù)f的最高的20位，其中第0位存放這20位最高有效數(shù)中的最低有效位LSB，第19位存放整個小數(shù)f的最高有效位MSB。第20到30位，即e52：62，存放11位的偏置指數(shù)e，其中第20位存放偏置指數(shù)的最低有效位LSB，第30位存放最高有效位MSB。最高位，第31位存放符號位s。    在Intel x86結構計算機中，數(shù)據(jù)存放采用小端法（

13、little endian），故較低地址的32位的字中存放小數(shù)f的f31：0位。而在在SPARC結構計算機中，因其數(shù)據(jù)存放采用大端法（big endian），故較高地址的32位字中存放小數(shù)f的f31：0位。 3.3 擴展雙精度格式     擴展雙精度格式（SPARC 結構計算機）    該4倍精度浮點環(huán)境符合IEEE關于擴展雙精度格式的定義。該浮點環(huán)境的4倍精度浮點格式共128位，占4個連續(xù)32位字，包含3個構成字段：112位的小數(shù)f，15位的偏置指數(shù)e，和1位的符號s。將這4個連續(xù)的32位字整體作為一個128位的

14、字，進行重新編號。其中0：110位包含小數(shù)f；112：126位包含偏置指數(shù)e；第127位包含符號位s。如圖3所示。 在SPARC結構計算機中，地址最高的32位字存放小數(shù)的32位最低有效位，即f31:0；但是在PowerPC結構計算機中，卻是地址最低的32位字存放這些位。 緊鄰的兩個32位字（在SPARC機中向下計算，在PowerPC機中向上計算）分別存放f63:32和f95:64。    最后一個字的第0到15位存放小數(shù)的最高16位,即f111:96。其中第0位存放該16位的最低有效位，第15位存放整個小數(shù)f的最高有效位。第16到30位存放15位的偏置指

15、數(shù)e，其中第16位存放偏置指數(shù)的最低有效位，第30位存放它的最高有效位。最高位，第31位存放符號s。 圖 3 擴展雙精度存儲格式 (SPARC 結構計算機)     擴展雙精度格式（Intel x86結構計算機）    該浮點環(huán)境雙精度擴展格式符合IEEE雙精度擴展格式的定義。該浮點環(huán)境的擴展雙精度格式共80位，占3個連續(xù)32位字，包含四個構成字段：63位的小數(shù)f，1位顯式前導有效位（explicit leading significand bit）j，15位偏置指數(shù)e，和1位符號位s。將這3個連續(xù)的32位字整體作

16、為一個96位的字，進行重新編號。其中0：63包含63位的小數(shù)f，第63位包含前導有效位j，64：78位包含15位的偏置指數(shù)e，最高位第79位包含符號位s。    在Intel結構系計算機中，這些字段依次存放在十個連續(xù)的字節(jié)中。但是，由于 UNIX System V Application Binary Interface Intel 386 Processor Supplement (Intel ABI) 要求雙精度擴展參數(shù)，從而占用堆棧中3個相連地址的32位字，其中最高一個字的高16位未被使用，如圖4所示。 圖4 擴展雙精度存儲格式(Intel x86

17、結構計算機)    地址最低的32位字存放小數(shù)f的低32位，即f31:0。其中第0位存放整個小數(shù)f的最低有效位LSB 第31位存放小數(shù)低32位的最高有效位MSB。    地址居中的32位字，第0到30位存放小數(shù)f的31位最高位，即f62:32。其中第0位存放31位最高小數(shù)位的最低有效位LSB，第30位存放整個小數(shù)的最高有效位，地址居中的32位字的最高位第31位存放顯式的前導有效位j。    地址最高32位字里，第0到14位存放15位的偏置指數(shù)e，第0位存放偏置指數(shù)的最低有效位LSB，第14位存放最高有效位MSB，第15位存放符號位s。雖然地址最高的32位字的高16位在Intel x86結構系列機種未被使用，但他們對符合Intel ABI的規(guī)定來