培優(yōu)專題5_因式分解小結(jié)(含答案)

1、7、因式分解小結(jié)【知識精讀】因式分解是把一個多項(xiàng)式分解成幾個整式乘積的形式,它和整式乘法互為逆運(yùn)算,在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用,在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用,學(xué)習(xí)本章知識時,應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。1. 因式分解的對象是多項(xiàng)式;2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式;3. 分解因式,必須進(jìn)行到每一個因式都不能再分解為止;4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式,也可以表示多項(xiàng)式;5. 結(jié)果如有相同因式,應(yīng)寫成冪的形式;6. 題目中沒有指定數(shù)的范圍,一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解;7. 因式分解的一般步驟是:(1通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無公因式可提,其次看能否直接利用乘法公

2、式;如前兩個步驟都不能實(shí)施,可用分組分解法,分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解;(2若上述方法都行不通,可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆項(xiàng)(添項(xiàng)等方法;下面我們一起來回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。 【分類解析】1. 通過基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的例1. 分解因式xxxxx 54321-+-+- 分析:這是一個六項(xiàng)式,很顯然要先進(jìn)行分組,此題可把x x x x x 54321-+-+-和分別看成一組,此時六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式,提取公因式后,再進(jìn)一步分解;也可把x x 54-,x x32-,x -1分別看成一組,此時的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式,提取公因式后再進(jìn)行分解。 解一:原式

3、=-+-+(xxx xx 54321=-+-+=-+=-+x x x x x x x x x x x x x 32232221111111(解二:原式=(x x x x x 54321-+-+-=-+-+-=-+=-+-=-+2x x x x x x x x x x x x x x x x x 424422(2. 通過變形達(dá)到分解的目的例1. 分解因式x x 3234+- 解一:將32x 拆成222x x+,則有原式=+-=+-=+-=-+x x x x x x x x x x x x 322222242222212(解二:將常數(shù)-4拆成-13,則有原式=-+-=-+-+=-+=-+x x x

4、 x x x x x x x x x 32222(3. 在證明題中的應(yīng)用例:求證:多項(xiàng)式(x x x 2241021100-+的值一定是非負(fù)數(shù)分析:現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個非負(fù)數(shù),它們是完全平方數(shù)、絕對值。本題要證明這個多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù),需要變形成完全平方數(shù)。證明:(x x x 2241021100-+=+-+=+-+=-+(x x x x x x x x x x x x 223710022設(shè)y x x =-25,則 原式無論取何值都有的值一定是非負(fù)數(shù)4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想例:分解因式:(ab c a b b c +-+-+2333分析:本題若直接用公式法分解,過程很復(fù)雜,觀察a+b ,b+c

5、與a+2b+c 的關(guān)系,努力尋找一種代換的方法。解:設(shè)a+b=A ,b+c=B ,a+2b+c=A+B=+-=+-=+=+=+原式(A B A B A A B A B B A B A B A B A B A B a b b c a b c 333322333223333332說明:在分解因式時,靈活運(yùn)用公式,對原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥:例1.在A B C 中,三邊a,b,c 滿足a b c ab bc 222166100-+= 求證:a c b+=2 證明: a b c a b b c 222166100-+= +-+-=+-=+-+=+>+>+->-+=+=a

6、ab b c bc b a b c b a b c a b c a b ca b c a b c a b c a c b880202即,即于是有即(說明:此題是代數(shù)、幾何的綜合題,難度不大,學(xué)生應(yīng)掌握這類題不能丟分。 例2. 已知:x x x x +=+=12133,則_ 解:x x x x x x 3321111+=+-+(=+-=(x x x x11212122說明:利用x xx x 222112+=+-(等式化繁為易。題型展示:1. 若x 為任意整數(shù),求證:(7342-x x x 的值不大于100。解:1004(3(7(2-x x x=-+-=-+-=-+=-(2222222說明:代數(shù)證

7、明問題在初二是較為困難的問題。一個多項(xiàng)式的值不大于100,即要求它們的差小于零,把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。2. 將a aa a 222222216742+(分解因式,并用分解結(jié)果計(jì)算。解:a a a a 22221+(=+=+=+a a a a a a a a a a a 22222222221211(說明:利用因式分解簡化有理數(shù)的計(jì)算?！緦?shí)戰(zhàn)模擬】 1. 分解因式:(131083108233315543222x x x x x a a a a -+-+-(323352476223x x y y x y x x -+-+-+2. 已知:x y x y x y

8、+=-+6133,求:的值。3. 矩形的周長是28cm ,兩邊x,y 使x x y x y y 32230+-=,求矩形的面積。4. 求證:n n 35+是6的倍數(shù)。(其中n 為整數(shù)5. 已知:a 、b 、c 是非零實(shí)數(shù),且a b c a b c b c a c a b22211111113+=+=-,(,求a+b+c 的值。6. 已知:a 、b 、c 為三角形的三邊,比較a b c a b 222224+-和的大小。【試題答案】 1. （1）解： 原式 = x 3 (3x 2 - 10x - 8 - (3x 2 - 10x - 8 3 2 = ( x - 13 (x - 1 0 x - 8

9、2 = ( x - 1 ( x + x + 1 ( x - 43 (x + 2 2 2 式 =+ ( a 33 a - ( a + 3 a + 1 - 5 （2）解： 原 =(a2 +3 a2 -2(a2 +3 a -8 =(a2 +3 a -4(a2 +3 a +2 =(a +4(a -1 (a +1 (a +2 （3）解： 原 式 = ( xy - 3 ( x + y + 3 x - 52 y + = ( xy - 31 + ( x + y + 2 x-3y x+y 1 2 3 3 式 = 7 x - 6 x - 7 x - 6 （4）解： 原 = 7 x 3 - 7 x - 6x 3 -

10、 6 = 7 x ( x 2 - 1 - 6( x 3 - 1 = 7 x ( x + 1( x - 1 - 6( x - 1( x 2 + x + 1 = ( x - 1( 7 x 2 + 7 x - 6 x 2 - 6 x - 6 = ( x - 1( x 2 + x - 6 = ( x - 1( x + 3( x - 2 2 2 2 2. 解：Q xy += ( x + y - 2 x y = 36 + 2 = 38 3 3 2 2 x +y =(x+y (x -x y+y =6´(3 8+1 =2 3 4 3 2 2 3 xx + y - x yy -= 0 3. 解：Q -

11、 6 - (x 3 - y 3 + xy(x - y = 0 即 (x + y2 (x - y = 0 x - y = 0 又 Q x + y = 14 x = y = 7 面 積 為 49cm 2 4. 證明： n 3 + 5n =n3 -n+6 n =n (n+1 (n-1 +6 n Q 當(dāng) n 為 整 數(shù) 時 ， n ( n - 1 ( n + 16 是 的 倍 數(shù) 。 3 n + 5 n 是 6 的 倍 數(shù) a b c ¹ 0 ， 5. 解：Q 用 abc 乘以第二個條件等式的兩邊，得： a 2 c + a 2 b + ab2 + b 2 c + bc2 + ac2 = -3

12、abc 即ab(a + b + bc(b + c + ac(a + c + abc + abc + abc = 0 (a + b + c(ab + bc + ac = 0 則a + b + c = 0或ab + bc + ac = 0 若ab + bc + ac = 0 則(a + b + c 2 - (a 2 + b 2 + c 2 = 2(ab + bc + ac = 0 Q a2 + b2 + c2 = 1 (a + b + c 2 = 1 a + b + c = ±1 說明：因式分解與配方法是代數(shù)式化簡與求值中常用的方法和手段，應(yīng)當(dāng)熟練掌握。 6. 分析：比較兩式大小最基本的方法是作差看它們與零的大小。 2 2 2 2 2 2 ( ab + - c - 4 a b 解：Q 2 2 2 2 2 2 = ( a + b - c + 2 a b ( a + b - c - 2 a b 2 2 2 2 = ( a + b - c ( a - b - c = ( a + b + c ( a + b - c ( a - b + c ( a - b -