【學(xué)習(xí)】第七講迭代法的收斂性

1、整理ppt 第七講 迭代法的收斂性鄒昌文整理ppt迭代法的矩陣寫法法）迭代法（JJacobi. 1bAx ULDA令000000000000,1112212111nnnnnnnaaaUaaaLaaD其中整理pptbxULD)(bxULDx)(bDxULDx11)(bDfULDBJJ11),(令JJfxBx則迭代矩陣為：整理ppt法）迭代法（GSSeidelGaussbUxLxDxkkk11bUxxLDkk1)(bLDUxLDxkk111)()(bLDfULDBGG11)(,)(令GGfxBxGS迭代矩陣為：則fBxxkk1一般迭代格式為：整理ppt收斂性的討論 kkknxfBxxfBxxfBx

2、xRx得向量序列112010,的性質(zhì)下討論若Bxxkk*, 整理ppt*xxkk令fBxxfBxxkk1*)(*1*xxBxxkkk)()(*0*22xxBxxBkk*0 xxxk都有要從任一初始向量分析0,kBk則必須：整理ppt迭代法的收斂條件 iniinnAAAniRA1max)()(), 1(即的譜半徑，記作的模的最大值稱為的所有特征值矩陣定義：譜半徑整理pptrAATh數(shù)的譜半徑不超過任一范矩陣. 1特征值的任一特征向量對(duì)應(yīng)的為證：設(shè)A)0( xxAxrrrxxAxrrxArArAA )(整理ppt rkrkrkkrkknrkkxxqqxxxxqxxxxxfBxxRxqBfBxxTh

3、01*1*011)3112,1, 1. 2）為解存在唯一解，且方程）則范數(shù)中迭代矩陣的某若迭代過程整理ppt1)(11qBBThfBxxri，由存在唯一解），證：下只證（0)det(1BEB的特征值不可能是有唯一解fxBE)()(*1fBxfBxxxkk)(*xxBkrkrrkrkxxBxxBxx*1)(rkrkxxqxxq*12*rkrkxxqxx*01*10*,10 xxkqk又整理ppt簡(jiǎn)單迭代法收斂的充分條件： 設(shè)方程組 Ax=b，構(gòu)造簡(jiǎn)單迭代公式為 x(k+1)= Bx(k)+f. 則 (1)若迭代矩陣B滿足|B|1 1 或 |B|1，則簡(jiǎn)單迭代公式收斂。 (2)若系數(shù)矩陣A或其轉(zhuǎn)置

4、AT是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則雅可比迭代公式和高斯-賽德爾迭代公式都收斂。 (3)若系數(shù)矩陣A對(duì)稱正定，則高斯-賽德爾迭代公式收斂。整理ppt. Th3 簡(jiǎn)單迭代法 x(k+1)=B x(k)+f 收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑(B)1 。其中(B)是指B的特征值1 , 2 , n 中按模最大者，即 .)(max1iniB4571029103232131xxxxxxx方程組雅可比迭代矩陣0200100201000.B高斯-賽德爾迭代矩陣 024. 00012. 0001 . 000M12 . 0)( B 1024. 0)( M 所以雅可比迭代收斂。 所以GS迭代法也收斂。 det(I B)= 特征值為 0.2,0.1+0.1i,0.10.1i, )02. 02