(完整版)《復變函數(shù)》考試試題與答案(二)

1、復變函數(shù)考試試題（二）一.判斷題 . （20 分）1.若函數(shù) f ( z)u( x, y) iv ( x, y) 在 D 內(nèi)連續(xù)，則 u(x,y)與 v(x,y)都在 D 內(nèi)連續(xù) .()2.cos z 與 sin z 在復平面內(nèi)有界 .()3.若函數(shù) f(z)在 z0 解析，則 f(z)在 z0 連續(xù) .()4.有界整函數(shù)必為常數(shù) .一定不存在 .()5.如 0是函數(shù)f(z)的本性奇點，則lim f ( z)()zzz06.若函數(shù) f(z)在 z可導，則 f(z)在 z解析 .()007.若 f(z)在區(qū)域 D 內(nèi)解析 , 則對 D 內(nèi)任一簡單閉曲線 Cf (z)dz0 .C()8.若數(shù)列 z

2、n 收斂，則 Re zn 與 Im zn 都收斂 .()9.若 f(z)在區(qū)域 D 內(nèi)解析，則 |f(z)|也在 D 內(nèi)解析 .()10.存在 一個 在零 點解 析的 函數(shù) f(z) 使 f ( 1) 0且 f ( 1 )1 ,n1,2,. .n12n2n()二 . 填空題 . (20 分)1.設 zi ，則 | z | _,arg z_,z _2.設 f (z)( x22xy) i(1sin( x2y2 ), z xiy C ，則 limf ( z) _.z 1i3.|z z0| 1 (zdz_.z )n0（ n 為自然數(shù)）4. 冪級數(shù) nzn 的收斂半徑為 _ .n 05. 若 z0 是

3、f(z)的 m 階零點且 m>0，則 z0 是 f '( z) 的 _零點 .6. 函數(shù) ez 的周期為 _.7.方程 2z5z33z 8 0 在單位圓內(nèi)的零點個數(shù)為 _.8.設 f ( z)1，則 f (z) 的孤立奇點有 _.21z9.函數(shù) f ( z)| z | 的不解析點之集為 _.10. Res( z 4 1,1)_ .z三 . 計算題 . (40 分)1. 求函數(shù) sin( 2z3) 的冪級數(shù)展開式 .2. 在復平面上取上半虛軸作割線 . 試在所得的區(qū)域內(nèi)取定函數(shù)z在正實軸取正實值的一個解析分支，并求它在上半虛軸左沿的點及右沿的點 z i 處的值 .3. 計算積分：

4、Ii1）| z | dz，積分路徑為（ 1）單位圓（ | z |i的右半圓 .sin zdzz2(z) 24.求2.四 . 證明題 . (20 分)1.設函數(shù) f(z)在區(qū)域 D 內(nèi)解析，試證： f(z)在 D 內(nèi)為常數(shù)的充要條件是f (z) 在D 內(nèi)解析 .2. 試用儒歇定理證明代數(shù)基本定理 .復變函數(shù)考試試題（二）參考答案一. 判斷題 .1 × × 6××× 10× .二. 填空題1.1 ， i ；2. 3(1sin 2)i ；3.2 in14. 1；5. m 1 .0n；216.2k i ， ( kz) .7. 0；8. i ；

5、9.R ；10. 0.三.計算題1.解 sin(2 z3 )( 1)n (2 z3 )2 n 1(1)n 22n1 z6n3.n 0(2 n1)!n 0(2n1)!2.解 令 zre i .2 ki則 f ( z)zre2,(k0,1).又因為在正實軸去正實值，所以k0.i所以 f (i )e 4 .sinzdz2 i (sin z)2 i cos zzz22 =0.1. 證明 ( 必要性 ) 令 f ( z)令 u( x, y)c1, v( x, y)c1 ic 2 ,則 f ( z)c1ic2 . ( c1 ,c2 為實常數(shù) ).c2 . 則 ux vyuyvx 0 .即 u, v 滿足

6、C.R.,且 ux , vy , uy ,vx連續(xù) , 故 f ( z) 在 D 內(nèi)解析 .( 充分性 ) 令 f ( z)uiv ,則f ( z)uiv ,因為 f ( z) 與 f ( z) 在 D 內(nèi)解析 ,所以ux vy , uyvx ,且 ux ( v) yvy , uy( vx )vx .比較等式兩邊得ux vyu yvx0 .從而在 D 內(nèi) u, v 均為常數(shù) ,故 f ( z) 在 D 內(nèi)為常數(shù) .2. 即要證 “任一n次方程a0 zna1zn1an 1zan0(a00) 有且只有n 個根”.證明 令 f (z)a0 zna1zn 1an1zan0 ,取 Rmaxa1an,1 ,當 za0在 C : z R 上時 ,有(z)a1 Rn 1an 1 Ran( a1an )Rn 1a0Rn .f ( z) .