數(shù)學(xué)八年級(jí)下北師大版6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明教案

1、第六課時(shí)課 題6.5 三角形內(nèi)角和定理的證明教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn)三角形的內(nèi)角和定理的證明.（二）能力訓(xùn)練要求掌握三角形內(nèi)角和定理，并初步學(xué)會(huì)利用輔助線(xiàn)證題，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察、猜想和論證能力.（三）情感與價(jià)值觀(guān)要求通過(guò)新穎、有趣的實(shí)際問(wèn)題，來(lái)激發(fā)學(xué)生的求知欲.教學(xué)重點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的證明.教學(xué)難點(diǎn)三角形內(nèi)角和定理的證明方法.教學(xué)方法實(shí)驗(yàn)、討論法.教具準(zhǔn)備三角形紙片數(shù)張.投影片三張第一張：?jiǎn)栴}（記作投影片6.5 A）第二張：實(shí)驗(yàn)（記作投影片6.5 B）第三張：小明的想法（記作投影片6.5 C）教學(xué)過(guò)程.巧設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，引入新課師大家來(lái)看一機(jī)器零件（出示投影片6.5 A）工人師傅將凹型零件（圖6

2、34）加工成斜面EC與槽底CD成55的燕尾槽（圖635）的程序是：將垂直的銑刀傾斜偏轉(zhuǎn)35角（圖65），就能得到55的燕尾槽底角.圖634圖635圖636為什么銑刀偏轉(zhuǎn)35角，就能得到55的燕尾槽底角呢？.講授新課師為了回答這個(gè)問(wèn)題，先觀(guān)察如下的實(shí)驗(yàn)（電腦實(shí)驗(yàn)，或?qū)嵨飳?shí)驗(yàn)）用橡皮筋構(gòu)成ABC，其中頂點(diǎn)B、C為定點(diǎn)，A為動(dòng)點(diǎn)（如圖637），放松橡皮筋后，點(diǎn)A自動(dòng)收縮于BC上，請(qǐng)同學(xué)們考察點(diǎn)A變化時(shí)所形成的一系列的三角形：A1BC、A2BC、A3BC其內(nèi)角會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化呢？圖637生甲當(dāng)點(diǎn)A離BC越來(lái)越近時(shí),A越來(lái)越接近180,而其他兩角越來(lái)越接近于 0.生乙三角形各內(nèi)角的大小在變化過(guò)程中是相互

3、影響的.師很好.在三角形中，最大的內(nèi)角有沒(méi)有等于或大于180的？生丙三角形的最大內(nèi)角不會(huì)大于或等于180.師很好.看實(shí)驗(yàn)：當(dāng)點(diǎn)A遠(yuǎn)離BC時(shí)，A越來(lái)越趨近于0,而AB與AC逐漸趨向平行，這時(shí)，B、CB+C180.請(qǐng)同學(xué)們猜一猜：三角形的內(nèi)角和可能是多少？生齊聲180師180，這一猜測(cè)是否準(zhǔn)確呢？我們?cè)鲞^(guò)如下實(shí)驗(yàn)：（出示投影片6.5 B）實(shí)驗(yàn)1：先將紙片三角形一角折向其對(duì)邊，使頂點(diǎn)落在對(duì)邊上，折線(xiàn)與對(duì)邊平行（圖638（1）然后把另外兩角相向?qū)φ?，使其頂點(diǎn)與已折角的頂點(diǎn)相嵌合（圖（2）、（3），最后得圖（4）所示的結(jié)果.（1） （2） （3） （4）圖638實(shí)驗(yàn)2：將紙片三角形三頂角剪下，隨意將它

4、們拼湊在一起.師由實(shí)驗(yàn)可知：我們猜對(duì)了！三角形的內(nèi)角之和正好為一個(gè)平角.但觀(guān)察與實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)論，并不一定正確、可靠，這樣就需要通過(guò)數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢？請(qǐng)同學(xué)們?cè)賮?lái)看實(shí)驗(yàn).圖639這里有兩個(gè)全等的三角形，我把它們重疊固定在黑板上，然后把三角形ABC的上層B剝下來(lái)，沿BC的方向平移到ECD處固定，再剝下上層的A，把它倒置于C與ECD之間的空隙ACE的上方.這時(shí)，A與ACE能重合嗎？生齊聲能重合.師為什么能重合呢？生齊聲因?yàn)橥唤荅CD=B.所以CEBA.師很好，這樣我們就可以證明了：三角形的內(nèi)角和等于180.接下來(lái)同學(xué)們來(lái)證明：三角形的內(nèi)角和等于180這個(gè)真命題.這是一個(gè)文字命題，證明時(shí)需要

5、先干什么呢？生需要先畫(huà)出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫(xiě)出已知、求證.師對(duì)，下面大家來(lái)證明，哪位同學(xué)上黑板給大家板演呢？圖640生甲已知，如圖640，ABC.求證：A+B+C=180證明：作BC的延長(zhǎng)線(xiàn)CD，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)CEAB.則ACE=A（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）ECD=B（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）ACB+ACE+ECD=180（1平角=180）A+B+ACB=180（等量代換）即：A+B+C=180.生乙老師，我的證明過(guò)程是這樣的：證明：作BC的延長(zhǎng)線(xiàn)CD，作ECD=B.則：ECAB（同位角相等，兩直線(xiàn)平行）A=ACE（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）ACB+ACE+ECD=180（1平角

6、=180）ACB+A+B=180（等量代換）師同學(xué)們寫(xiě)得證明過(guò)程很好，在證明過(guò)程中，我們僅僅添畫(huà)了一條射線(xiàn)CE，使處于原三角形中不同位置的三個(gè)角，巧妙地拼湊到一起來(lái)了.為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫(huà)的線(xiàn)叫做輔助線(xiàn).在平面幾何里，輔助線(xiàn)通常畫(huà)成虛線(xiàn).我們通過(guò)推理的過(guò)程，得證了命題：三角形的內(nèi)角和等于180是真命題，這時(shí)稱(chēng)它為定理.即：三角形的內(nèi)角和定理.小明也在證明三角形的內(nèi)角和定理，他是這樣想的.大家來(lái)議一議，他的想法可行嗎？（出示投影片6.5 C）圖641在證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，小明的想法是把三個(gè)角“湊”到A處，他過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)PQBC.（如圖641）他的想法可行嗎？你有沒(méi)有其他的證法.

7、生甲小明的想法可行.因?yàn)椋篜QBC（已作）PAB=B（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）QAC=C（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）PAB+BAC+QAC=180（1平角=180）B+BAC+C=180（等量代換）圖642生乙也可以這樣作輔助線(xiàn).即：作CA的延長(zhǎng)線(xiàn)AD，過(guò)點(diǎn)A作DAE=C（如圖642）.生丙也可以在三角形的一邊上任取一點(diǎn)，然后過(guò)這一點(diǎn)分別作另外兩邊的平行線(xiàn)，這樣也可證出定理.圖643即：如圖643，在BC上任取一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D分別作DEAB交AC于E，DFAC交AB于F.四邊形AFDE是平行四邊形（平行四邊形的定義）BDF=C（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）EDC=B（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）EDF=A

8、（平行四邊形的對(duì)角相等）BDF+EDF+EDC=180（1平角=180）A+B+C=180（等量代換）師同學(xué)們討論得真棒.接下來(lái)我們做練習(xí)以鞏固三角形內(nèi)角和定理.課堂練習(xí)（一）課本P196隨堂練習(xí)1、2.圖6441.直角三角形的兩銳角之和是多少度？等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角是多少度？請(qǐng)證明你的結(jié)論.答案：90 60如圖644，在A(yíng)BC中，C=90A+B+C=180A+B=90.圖645如圖645，ABC是等邊三角形，則：A=B=C.A+B+C=180A=B=C=60圖6462.如圖646,已知，在A(yíng)BC中，DEBC，A=60,C=70,求證：ADE=50.證明：DEBC（已知）AED=C（兩直線(xiàn)平行

9、，同位角相等）C=70（已知）AED=70（等量代換）A+AED+ADE=180（三角形的內(nèi)角和定理）ADE=180AAED（等式的性質(zhì)）A=60（已知）ADE=1806070=50（等量代換）（二）讀一讀P197.（三）看課本P195196，然后小結(jié).課時(shí)小結(jié)這堂課，我們證明了一個(gè)很有用的三角形內(nèi)角和定理.證明的基本思想是：運(yùn)用輔助線(xiàn)將原三角形中處于不同位置的三個(gè)內(nèi)角集中在一起，拼成一個(gè)平角.輔助線(xiàn)是聯(lián)系命題的條件和結(jié)論的橋梁，今后我們還要學(xué)習(xí)它.課后作業(yè)（一）課本P198習(xí)題6.6 1、2199200（1）三角形內(nèi)角和定理的推論是什么？（2）三角形內(nèi)角和定理的推論的應(yīng)用.活動(dòng)與探究1.證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，是否可以把三角形的三個(gè)角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P？（如圖647（1），如果把這三個(gè)角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)呢？（如圖647（2）“湊”到三角形外一點(diǎn)呢？（如圖647（3），你還能想出其他證法嗎？（1） （2） （3）圖647過(guò)程讓學(xué)生在證明這個(gè)題的過(guò)程中，進(jìn)一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學(xué)生的思路.結(jié)果證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)，既可以把三角形的三個(gè)角“湊”到BC邊上的一點(diǎn)P，也可以把三個(gè)角“湊”到三角形內(nèi)一點(diǎn)；還可以把這三個(gè)角“湊”到三角形外一點(diǎn).證明略.板書(shū)設(shè)計(jì)6.5 三角