(完整版)三角形中的幾何計(jì)算、解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例

1、三角形中的幾何計(jì)算、解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例1仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線的角叫仰角，在水平線的角叫俯角 (如圖 )2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B 點(diǎn)的方位角為 (如圖 )3方向角相對(duì)于某一正方向的水平角(如圖 )(1)北偏東 °即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)°到達(dá)目標(biāo)方向(2)北偏西 °即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)°到達(dá)目標(biāo)方向(3)南偏西等其他方向角類似【思考探究】1.仰角、俯角、方位角有什么區(qū)別？以平面幾何圖形為背景，求解有關(guān)長(zhǎng)度、角度、面積、最值和優(yōu)化等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理加以解決在解決某些具體問

2、題時(shí)，常先引入變量 (如邊長(zhǎng)、角度等 )，然后把要解的三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之以平面幾何圖形為背景，求解有關(guān)長(zhǎng)度、角度、面積、最值和優(yōu)化等問題，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理加以解決在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量 (如邊長(zhǎng)、角度等 )，然后把要解的三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之如右圖， D 是直角 ABC 斜邊 BC 上一點(diǎn)， ABAD，記 CAD， ABC.(1)證明： sincos 20；(2)若 AC3 DC，求 的值【變式訓(xùn)練】1.如圖，在四邊形ABCD 中，已知 AD CD，AD 10，AB14

3、， BDA 60°， BCD 135°，則 BC 的長(zhǎng)為_求距離問題要注意：(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理例題 2.如圖所示，甲船由 A 島出發(fā)向北偏東45°的方向作勻速直線航行， 速度為15 2海里 /小時(shí)，在甲船從A 島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A 島正南 40 海里處的 B 島1出發(fā)，朝北偏東tan 2 的方向作勻速直線航行，速度為10 5海里 /小時(shí)(1)求出發(fā)后 3 小時(shí)兩船相距多少海里？(2)求

4、兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間距離最近？最近距離為多少海里？測(cè)量高度問題一般是利用地面上的觀測(cè)點(diǎn)， 通過測(cè)量仰角、 俯角等數(shù)據(jù)計(jì)算物體的高度，這類問題一般用到立體幾何知識(shí)，先把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，再通過解三角形加以解決例題 3， 如圖，測(cè)量河對(duì)岸的塔形建筑 AB，A 為塔的頂端， B 為塔的底端，河兩岸的地面上任意一點(diǎn)與塔底端 B 處在同一海拔水平面上，現(xiàn)給你一架測(cè)角儀 (可以測(cè)量仰角、俯角和視角 )，再給你一把尺子 (可以測(cè)量地面上兩點(diǎn)間距離 )，圖中給出的是在一側(cè)河岸地面 C 點(diǎn)測(cè)得仰角 ACB ，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種測(cè)量塔建筑高度 AB 的方法 (其中測(cè)角儀支架高度忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果可用測(cè)量數(shù)據(jù)所

5、設(shè)字母表示 )【變式訓(xùn)練】 3. A、B 是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距 800 m，在 A 點(diǎn)測(cè)得山頂 C 的仰角為 45°， BAD120°，又在 B 點(diǎn)測(cè)得 ABD45°，其中 D 是點(diǎn) C 到水平面的垂足，求山高 CD.測(cè)量角度問題也就是通過解三角形求角問題，求角問題可以轉(zhuǎn)化為求該角的函數(shù)值如果是用余弦定理求得該角的余弦，該角容易確定，如果用正弦定理求得該角的正弦，就需要討論解的情況了例題 4， 在海岸 A 處，發(fā)現(xiàn)北偏東 45°方向，距離 A 處 ( 3 1) n mile 的 B 處有一艘走私船，在 A 處北偏西 75°的方向，距離 A

6、處 2 n mile 的 C 處的緝私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截走私船 此時(shí)，走私船正以 10 nmile/h 的速度從 B 處向北偏東 30°方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？【變式訓(xùn)練】4.如圖所示，甲船以每小時(shí)302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行當(dāng)甲船位于A1 處時(shí)，乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 處，此時(shí)兩船相距20海里當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)2 處時(shí)，A乙船航行到甲船的北偏西120°方向的 B2 處，此時(shí)兩船相距 10 2海里，問乙船每小時(shí)航行多少海里？1解三角形的一般步驟(1)分析題意，

7、準(zhǔn)確理解題意分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語(yǔ)，如坡度、仰角、俯角、方位角等(2)根據(jù)題意畫出示意圖(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解演算過程中，要算法簡(jiǎn)練，計(jì)算正確，并作答(4)檢驗(yàn)解出的答案是否具有實(shí)際意義，對(duì)解進(jìn)行取舍2解斜三角形實(shí)際應(yīng)用舉例(1)常見幾種題型測(cè)量距離問題、測(cè)量高度問題、測(cè)量角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等(2)解題時(shí)需注意的幾個(gè)問題要注意仰角、俯角、方位角等名詞，并能準(zhǔn)確地找出這些角；要注意將平面幾何中的性質(zhì)、定理與正、余弦定理結(jié)合起來，發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件，才能順利解決從近兩年的高考試題來看，利用正弦定理、余弦定理解決與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題是高考的熱點(diǎn)，一般以解答題的形式考查，主要考查計(jì)算能力和分析問題、解決實(shí)際問題的能力，常與解三角形的知識(shí)及三角恒等變換綜合考查1(2012 ·江西卷 )E，F(xiàn) 是等腰直角 ABC 斜邊 AB 上的三等分點(diǎn)，則tanECF ()16233A.27B.3C. 3D.42(2012 ·陜西卷 )如圖， A，B 是海面上位于東西方向相距5(33 )海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A 點(diǎn)北偏東 45&