(完整版)機械振動課后習題和答案第二章習題和答案

1、2.1 彈簧下懸掛一物體，彈簧靜伸長為 。設(shè)將物體向下拉，使彈簧有靜伸長 3 ，然后無初速度地釋放，求此后的運動方程。解：設(shè)物體質(zhì)量為m ，彈簧剛度為 k ，則：mgk，即：nk / mg /取系統(tǒng)靜平衡位置為原點x0 ，系統(tǒng)運動方程為：&&kx0mxx02（參考教材 P14）&0x0解得： x (t )2 cos n t2.2 彈簧不受力時長度為 65cm，下端掛上 1kg 物體后彈簧長 85cm。設(shè)用手托住物體使彈簧回到原長后無初速度地釋放，試求物體的運動方程、振幅、周期及彈簧力的最大值。解：由題可知：彈簧的靜伸長V0.850.650.2(m)所以：ng9.8V0.

2、27( rad / s)取系統(tǒng)的平衡位置為原點，得到：系統(tǒng)的運動微分方程為：&&2x0xn其中，初始條件：x(0)0.2（參考教材 P14）&0x(0)所以系統(tǒng)的響應為： x(t )0.2cosnt (m)彈簧力為：Fk(t)mg()cos(N)kxVx tnt因此：振幅為0.2m、周期為 2(s) 、彈簧力最大值為 1N。72.3重物 m1 懸掛在剛度為 k 的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物 m2 從高度為 h 處自由落到 m1 上而無彈跳，如圖所示，求其后的運動。解：取系統(tǒng)的上下運動 x 為坐標，向上為正，靜平衡位置為原點 x 0 ，則當 m 有 x 位移時，系統(tǒng)

3、有：ET1 (m1 m2 )x&22U 1 kx 22由 d(ETU )0 可知： (m 1m 2 )xkx 0&&即： nk / (m1m2 )x 0m 2g系統(tǒng)的初始條件為：k m 2&2ghx0m 1m 2（能量守恒得：m2gh1&2）2(m1 m2 )x0因此系統(tǒng)的響應為： x(t )A0 cosn tA1 sin n tA0x0m2gk其中 :&m 2g2ghkA1x0km1m2n即： x (t )m2g (cosn t2ghksin n t )km1 m22.4 一質(zhì)量為 m 、轉(zhuǎn)動慣量為 I 的圓柱體作自由純滾動， 圓心受到一彈簧

4、k 約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角 為坐標，逆時針為正，靜平衡位置時 0 ，則當 m 有 轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)有：121&2122ETI&(Imr)&22m( r )2U 1 k( r ) 22由 d(E即：TU) 0可知： (Imr 2 ) && kr 20nkr 2 / (I mr 2 )（rad/s ）2.5 均質(zhì)桿長 L、重 G，用兩根長 h 的鉛垂線掛成水平位置，如圖所示，試求此桿相對鉛垂軸 OO 微幅振動的周期。2.6求如圖所示系統(tǒng)的周期，三個彈簧都成鉛垂，且k22k1 , k3k1 。解：取 m 的上下運動 x 為坐標，向上為

5、正，靜平衡位置為原點 x 0 ，則當 m 有 x 位移時，系統(tǒng)有：12ETmx&2U1kx21k1x25k1x2（其中： kk1k2）226k1 k2由 d(E即：U )0可知：&5k1x0Tmx3n5k1（ rad/s），T23m （ s）3m5k12.7 如圖所示，半徑為 r 的均質(zhì)圓柱可在半徑為 R 的圓軌面內(nèi)無滑動地、以圓軌面最低位置 O 為平衡位置左右微擺，試導出柱體的擺動方程，求其固有頻率。解：設(shè)物體重量 W ，擺角坐標 如圖所示，逆時針為正，當系統(tǒng)有 擺角時，則：2UW (Rr )(1cos)W (Rr )2設(shè) &為圓柱體轉(zhuǎn)角速度，質(zhì)心的瞬時速度：c(Rr

6、 ) & r &，即： & ( R r ) &r記圓柱體繞瞬時接觸點A 的轉(zhuǎn)動慣量為 I A ，則：IA ICW r 21W r 2W r 2g2gg1213W 2R r&23W2 2ETI A &(r )(Rr )&r)22 2g4 g（或者理解為： ET121W(R22I c&2 gr )&，轉(zhuǎn)動和平動的動能）2由 d(ETU )0 可知： 3 W (R r )2 &&W (Rr )02g即：n2g（ rad/s）3(Rr )2.8橫截面面積為 A，質(zhì)量為 m 的圓柱形浮子靜止在比重為的液體中。設(shè)從平衡

7、位置壓低距離 x(見圖 )，然后無初速度地釋放， 若不計阻尼，求浮子其后的運動。解：建立如圖所示坐標系，系統(tǒng)平衡時x0 ，由牛頓第二定律得：mx&&( Ax)g0 ，即：nAgmx 0x有初始條件為： &0x 0所以浮子的響應為：Ag)x(t ) xsin( tm22.9 求如圖所示系統(tǒng)微幅扭振的周期。 圖中兩個摩擦輪可分別繞水平軸O1，O轉(zhuǎn)動，它們相互嚙合，不能相對滑動，在圖示位置(半徑 OA與OB在212同一水平線上 )，彈簧不受力。摩擦輪可以看做等厚均質(zhì)圓盤，質(zhì)量分別為m1， m2。解：兩輪的質(zhì)量分別為m1,m2 ，因此輪的半徑比為：r1m1r2m 2由于兩輪無相

8、對滑動，因此其轉(zhuǎn)角比為：1r 2&12r1&2取系統(tǒng)靜平衡時10 ，則有：ET1 12)&21 12&21(m12 &2( m1r11( m2r2) 24m2 )r1 12 22 2U1 k1(r1 1)21 k2(r2 2 )21 (k1k2)( r1 1) 22212&&22由 d(ET U )0可知：(m12(k1102m2 )r11k2 )r1即：n2(k1k2 ) （ rad/s ），T2m 1m 2（ ）m1m22(k1k2 )s2.10 如圖所示，輪子可繞水平軸轉(zhuǎn)動， 對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 I ，輪緣繞有軟繩，下端掛有重量為

9、P 的物體，繩與輪緣之間無滑動。在圖示位置，由水平彈簧維持平衡。半徑 R 與 a 均已知，求微振動的周期。解：取輪的轉(zhuǎn)角為坐標，順時針為正， 系統(tǒng)平衡時0，則當輪子有 轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)有：121 P&21P22ETI&(IR)&2 g( R )22gU 1 k( a)22由 d(ET U )P22ka200 可知： (IR) &&g22IP R 2即： nka（ rad/s ），故 T2g（s）Pka 2I2nRg2.11 彈簧懸掛一質(zhì)量為 m 的物體，自由振動的周期為 T，如果在 m 上附加一個質(zhì)量 m1，則彈簧的靜伸長增加 Vl ，求當?shù)氐闹亓铀俣?。?/p>

10、：Q Tm2kk4 2 mTQ m1 gkVlgkVl 42m Vlm1T m12.12 用能量法求圖所示三個擺的微振動的固有頻率。擺錘重 P，(b)與 (c) 中每個彈簧的彈性系數(shù)為 k/2。 (1)桿重不計； (2)若桿質(zhì)量均勻，計入桿重。解：取系統(tǒng)的擺角 為坐標，靜平衡時 0 （ a）若不計桿重，系統(tǒng)作微振動，則有：1 PL22ET() &2gUPgL(1cos )1 PgL22由 d(ETU )0可知： P L2&&PL0g即： ng （ rad/s）L如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有：ET1 P221 1221 P m L2 22( L) &( m L

11、L) &2(3)L &g2 3gm L g L (1(P2UPgL (1cos )cos)m L )gL2g22由 d(ET U )0 可知： (Pm L )L2 && ( Pm L )gL0g3g2( Pm L )g即：g2（rad/s ）nm L )L( Pg 3（ b）如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有：1 P221 1221 P m L)L2 2ET( L) &2( m LL) &(3&2g32 gU ( Pm L )gL21 (k )(L )222g2222即：n( Pm L )gkLg24 （rad/s ）( Pm L )Lg3

12、（ c）如果考慮桿重，系統(tǒng)作微振動，則有：ET1 P2)21 12)21 P m L)L2 2( L&( m LL&(g3&2 g232(Pm L )gL21 (k )(L )2U22g2222即：nkL( Pm L )g4g2（rad/s ）( Pm L )Lg32.13求如圖所示系統(tǒng)的等效剛度，并把它寫成與x 的關(guān)系式。答案：系統(tǒng)的運動微分方程&& a2b2mx2kx 0a2.14 一臺電機重 470N，轉(zhuǎn)速為 1430r min ，固定在兩根 5 號槽鋼組成的簡支梁的中點，如圖所示。每根槽鋼長 1.2m，重 65.28N，彎曲剛度 EI 1.66

13、105N·m 2。(a)不考慮槽鋼質(zhì)量，求系統(tǒng)的固有頻率；(b)設(shè)槽鋼質(zhì)量均布，考慮分布質(zhì)量的影響，求系統(tǒng)的固有頻率；(c)計算說明如何避開電機和系統(tǒng)的共振區(qū)。2.15 一質(zhì)量 m 固定于長 L ，彎曲剛度為 EI ，密度為 的彈性梁的一端，如圖所示，試以有效質(zhì)量的概念計算其固有頻率。wL 3/(3EI)2.16求等截面 U 形管內(nèi)液體振動的周期， 阻力不計，假定液柱總長度為L 。解：假設(shè) U 形管內(nèi)液柱長 l ，截面積為 A ，密度為，取系統(tǒng)靜平衡時勢能為 0，左邊液面下降x 時，有：12ETAlx&2UAxgx由 d(ETU )0 可知：Alx&&2gAx

14、0即：n2g（ rad/s ）， T2l （ s）lg217水箱 l 與 2 的水平截面面積分別為 A1、A2，底部用截面為 A0 的細管連接。求液面上下振動的固有頻率。解：設(shè)液體密度為，取系統(tǒng)靜平衡時勢能為0，當左邊液面下降 x1 時，右邊液面上升 x2 ，液體在水箱 l 與 2 和細管中的速度分別為 x&,1x&,2 x&3 ，則有：E1x21A3L x&212T A (h)x&A (h x )x&1112322222AhA L (A1)2A12x&2A2h()13A3A212（由于： h x1 h; hx2h; A1x&1A

15、2x&2A3 x&3 ; A1x1A2x2 ）UAx 1g x1x 22由 d(ET U )0 可知：h(1A1)L (A1&&g(1A1)x1 0A2A3)x1A2g(1A1 )A2即：n（rad/s ）h(1A1 )L(A1)A2A32.18 如圖所示，一個重 W、面積為 A 的薄板懸掛在彈簧上，使之在粘性液體中振動。設(shè) T1、T2 分別為無阻尼的振動周期和在粘性液體中的阻尼周期。試證明：2W22T2T2并指出的意義 (式中液體阻尼力F d=?2Av)。2.19 試證明：對數(shù)衰減率也可用下式表示1lnx0 ，(式中 xn 是經(jīng)過 nnxn個循環(huán)后的振幅 )。

16、并給出在阻尼比為 0.0l、 0.1、 0.3時振幅減小到 50%以下所需要的循環(huán)數(shù)。解：設(shè)系統(tǒng)阻尼自由振動的響應為x(t ) ；t0 時刻的位移為 x0 ； tnt0nT 時刻的位移為 xn ；則：x0Xe n t0 cos(dt0)e n nTdxnXen (t0 nTd ) cos d (t0 nTd )所以有： ln x0n nTdnn lnx0 ，即：1 ln x0xnx1nxn1 ln 212當振幅衰減到 50% 時， xn0.5 x0，即： nln 221)當0.01 時， n 11；要 11 個循環(huán)；2)當0.1時， n1.1 ；要 2 個循環(huán)；3)當0.3時， n0.34 ；

17、要 1 個循環(huán)；2.20 某雙軸汽車的前懸架質(zhì)量為 m1=1151kg，前懸架剛度為 k1=1.02 105N m，若假定前、后懸架的振動是獨立的，試計算前懸架垂直振動的偏頻。如果要求前懸架的阻尼比0.25 ，那么應給前懸架設(shè)計多大阻尼系數(shù)(c)的懸架減振器 ?2.21 重量為 P 的物體，掛在彈簧的下端，產(chǎn)生靜伸長 ，在上下運動時所遇到的阻力與速度 v 成正比。要保證物體不發(fā)生振動， 求阻尼系數(shù) c 的最低值。若物體在靜平衡位置以初速度 v0 開始運動，求此后的運動規(guī)律。解：設(shè)系統(tǒng)上下運動為 x 坐標系，系統(tǒng)的靜平衡位置為原點，得到系統(tǒng)的運動微分方程為：P x&cx&P x0

18、g系統(tǒng)的阻尼比：cc2 mkP P2g系統(tǒng)不振動條件為：1，即： c2P / g物體在平衡位置以初速度0 開始運動，即初始條件為：x00x&00此時系統(tǒng)的響應為：（可參考教材P22）1)當1時：x(t )en t (A1e n t21A2en t2 1 )10A1,22其中：2n1gn2) 當1時： x(t )A1en tA2ten t，其中：A10A20即： x(t )0ten t3) 當1時： x(t )ent (C 1 cos dtC 2 sindt )C10nt0其中： C20 /d，即： x(t )esin d t12ddn2.22 一個重 5500N 的炮管具有剛度為 3.

19、03 105Nm 的駐退彈簧。如果發(fā)射時炮管后座 1.2m，試求： 炮管初始后座速度； 減振器臨界阻尼系數(shù) (它是在反沖結(jié)束時參加工作的)； 炮管返回到離初始位置0.05m 時所需要的時間。2.23 設(shè)系統(tǒng)阻尼比0.1，試按比例畫出在 0.5、 1.0、 2.0 三種情n況下微分方程的向量關(guān)系圖。2.24試指出在簡諧激勵下系統(tǒng)復頻率響應、放大因子和品質(zhì)因子之間的關(guān)系，并計算當0.2 、n =5rad/s 時系統(tǒng)的品質(zhì)因子和帶寬。2.25已知單自由度系統(tǒng)振動時其阻力為cv(其中c 是常數(shù)， v 是運動速度)，激勵為FF0 sint ，當n 即共振時，測得振動的振幅為X，求激勵的幅值F 0。若測得

20、共振時加速度的幅值為A，求此時的F 0。2.26 某單自由度系統(tǒng)在液體中振動，它所受到的激勵為F 50cos t (N) ，系統(tǒng)在周期 T0.20s 時共振，振幅為0.005cm，求阻尼系數(shù)。解：由 T 0.20s時共振可知，系統(tǒng)固有頻率為：n210T當n 時，已知響應振幅：XF0 ，（參教材 P30）c所以： cF0 105(N gs / m)X2.27一個具有結(jié)構(gòu)阻尼的單自由度系統(tǒng)，在一周振動內(nèi)耗散的能量為它的最大勢能的 1.2% ，試計算其結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)。2.28要使每一循環(huán)消耗的能量與頻率比無關(guān)，需要多大的阻尼系數(shù)。2.29若振動物體受到的阻力與其運動速度平方成正比，即Fdax2x0Fd

21、ax2x0求其等效阻尼系數(shù)和共振時的振幅。解：實際上，這是一種低粘度流體阻尼。設(shè)系統(tǒng)的運動為：x(t )X cos( t)2c&x dx/ w2&)0x d(A | H (w ) | w )( wt/ w)2| H (w ) | wA sin( wt)dx0a | H (w ) | w (wt/ w33 sin3( t)dt0aX3w 3A/ wAt)dt0aw 3X 3 sin 3(X 3w 22(0)32 (0)3d34 ax32d83 ax3238 ax32CX 2Ce8a 3x232.29xX cos( t)?xX sin(t)/?2/?Wcx2dxx2 dx0/2 X

22、 2 sin 2 (t)(2 X cos(t) dt02/2 X2 sin2 (t)(2 X cos(t) dt/8X323WPWCCX 2C8aX3XX2.29FdeF03 F0c8 aX23 F013 F08axwn22 wn22 a? 2?0xx? 2?xx0T / 4?x 2 dxFd d x40T / 4?x3 dx40T / 4Z33 cos3 (t)dt4038 Z32PCCZ28e3ZZF0Z3 F0C08 Z 22.30KGl 電動機重 P，裝在彈性基礎(chǔ)上，靜下沉量為。當轉(zhuǎn)速為 nr min 時，由于轉(zhuǎn)子失衡，沿豎向有正弦激勵，電機產(chǎn)生振幅為A 的強迫振動。試求激勵的幅值，不

23、計阻尼。2.31電動機重 P，裝在彈性梁上，使梁有靜撓度。轉(zhuǎn)子重 Q，偏心距為e。試求當轉(zhuǎn)速為 時，電動機上下強迫振動的振幅A，不計梁重。2.32 一飛機升降舵的調(diào)整片鉸接于升降舵的O 軸上 (圖 T 2.32)，并由一聯(lián)動裝置控制。該裝置相當于一剛度為 kT 的扭轉(zhuǎn)彈簧。調(diào)整片轉(zhuǎn)動慣量 為 I，因而系統(tǒng)固有頻率nK T/ I ，但因 k T 不能精確計算，必須用試驗測定n 。為此固定升降舵，利用彈簧 k2對調(diào)整片做簡諧激勵，并用彈簧 k1來抑制。改變圖 T 2.32激勵頻率直至達到其共振頻率T 。試以T 和試驗裝置的參數(shù)來表示調(diào)整片的固有頻率n 。解：設(shè)調(diào)整片的轉(zhuǎn)角為，系統(tǒng)的微分方程為：I

24、&& kT(k1k2 )L2 k2Ly sint系統(tǒng)的共振頻率為：2kT(k1k2 )L20I因此： kTI2k2 )L20(k1調(diào)整片的固有頻率為：2kT2(k1 k2 )L2nI0I2.33 如圖所示由懸架支承的車輛沿高低不平的道路行進。 試求 W 的振幅與行進速度的關(guān)系，并確定最不利的行進速度。解：由題目2.33TLw22 VVTLyY cos 2LV t?w XK ( xy)? ?2L V tw XKYcos? ?2LVw XKxKYcost22VwSX (s)KX ( s)KY (2LLV )2 s2X ( s)KY2 V2KL( s2 ( 2 V ) 2 )( ws

25、2 K )nwLX2n2Y2 aYsinntn2a 2 sin an2a 2XYYYKL2Y1( a /2201 ( a / n2 )2142V 2 wKL2 T 2V 2wn )KL2VLk / w22.332TTvL?m XKX?n2 XXXY n222nXY n222nV2RL242m2 vLKyn2 yY 2n2 4 2v 2nL22.34單擺懸點沿水平方向做簡諧運動 (圖 T2.34)， =asint。試求在微幅的強迫振動中偏角的變化規(guī)律。已知擺長為L ，擺錘質(zhì)量為 m。2.35一個重 90N 的飛機無線電要與發(fā)動機的頻率16002200r/min 范圍的振動隔離，為了隔離85% ，

26、隔振器的靜變形需要多少 ?2.36試從式 (2.95)證明：1.無論阻尼比取何值，在頻率比 / n2 時，恒有 XA。2.在 / n2 ，X/A 隨 增大而減小，而在 / n2 ，X/A 隨增大而增大。2.37 某位移傳感器固有頻率為 4.75Hz，阻尼比 =0.65。試估計所能測量的最低頻率，設(shè)要求誤差 1， 2。2.38 一位移傳感器的固有頻為率 2Hz，無阻尼，用以測量頻率為 8Hz 的簡諧振動，測得振幅為 0.132cm。問實際振幅是多少 ?誤差為多少 ?2.39 一振動記錄儀的固有頻率為 fn 3.0Hz，阻尼比 =0.50。用其測量某物體的振動，物體的運動方程已知為x=2.05sin4t+1.0sin8t(cm)證明：振動記錄儀的振動z 將為z1.03sin(4t-500)+1.15sin(8t-1200 )(cm)2.40求單自由度無阻尼系統(tǒng)對圖所示激勵的響應，設(shè)初始條件為零。解：ah(t)m1d ent sindth(t)m1d en (t) sin d (t)h(t)m1d sind th(t2)m1d sind (t)X (t)t)FR1 (cosd cos n (t0Ft1sin(t)d(tn1 0 mnttX (t)F1 (t )h(t)dt10X (t)t1)dtF1(t)h(tF20t1FR1 cos n (tt1)cos ntn