2012智軒第二基礎(chǔ)基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)橋第八章常微分方程與差分方程

1、2012智軒考研數(shù)學(xué)第二基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)橋系列-高等數(shù)學(xué)第八章 常微分方程與差分方程2012考試內(nèi)容 (本大綱為數(shù)學(xué)1，數(shù)學(xué)2-3需要根據(jù)大綱作部分增刪)常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利（Bernoulli）方程 全微分方程 可用簡(jiǎn)單的變量代換求解的某些微分方程 可降階的高階微分方程 線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 高于二階的某些常系數(shù)齊次線性微分方程 簡(jiǎn)單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 歐拉（Euler）方程 微分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用2012考試要求1. 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。2. 掌握變量可分

2、離的微分方程及一階線性微分方程的解法。3. 會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。4. 會(huì)用降階法解下列形式的微分方程：。5. 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)。6. 掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。7. 會(huì)解自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。8. 會(huì)解歐拉方程。9. 會(huì)用微分方程解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。2012差分方程考試內(nèi)容（數(shù)學(xué)3專題） 差分與差分方程的概念 差分方程的通解與特解 一階常系數(shù)線性差分方程 差分方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用2012差分方程考試

3、要求（數(shù)學(xué)3專題）1了解差分與差分方程及其通解與特解等概念。2掌握變一階常系數(shù)線性差分方程的求解方法。3會(huì)用差分方程求解簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題。 第一節(jié) 常微分方程一 微分方程的解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì)1.1 微分方程的形式 一般形式： 標(biāo)準(zhǔn)形式： 評(píng) 注 注意上述形式中的及其各階導(dǎo)數(shù)只是一次項(xiàng)，這是因?yàn)槲覀冄芯康氖蔷€性（特征是：只含及其各階導(dǎo)數(shù)得的一次項(xiàng)，否則，就是非線性方程范疇了，當(dāng)然對(duì)一階微分方程可能有例外：如伯努利方程等。）微分方程類型，微分方程的階次是指導(dǎo)數(shù)的最高階次，另外，考點(diǎn)中，一般指常系數(shù)（只有一階微分方程可以為非常系數(shù)）線性微分方程。1.2 微分方程的特解與通解及其解的結(jié)構(gòu) 不含待定常數(shù)的解

4、稱為特解，如，含有待定常數(shù)的解稱為通解，如。階齊次微分方程有無窮個(gè)特解，但只有個(gè)線形無關(guān)的特解，只要任意取個(gè)線形無關(guān)的特解的線形疊加就是原微分方程的通解。階非齊次微分方程有無窮個(gè)特解，但只有個(gè)線形無關(guān)的特解，其中，對(duì)應(yīng)的齊次方程有個(gè)線形無關(guān)的特解，線形疊加是該齊次方程的通解，另一個(gè)特解是屬于階非齊次微分方程，所以原非齊次微分方程的通解為。另外解有顯式解和隱式解兩種表述方式。研考范圍內(nèi)，一般對(duì)一階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?jīng)]有常系數(shù)限制，對(duì)二元和二元以上的高階微分方程來說，標(biāo)準(zhǔn)形式或經(jīng)過變換后的方程（如歐拉方程等）必須是常系數(shù)，一般只需要掌握2-3階就可以了，而且，無論幾階常系數(shù)微分方程，它們對(duì)應(yīng)的齊次

5、方程的解法只有一個(gè)，即特征值法，它們的非齊次方程的特解一般都使用微分算子法求得。評(píng) 注 一旦給定常系數(shù)齊次方程，就可以求出特征值；反過來，一旦知道了特征值，就可以確定該齊次方程的具體形式，如為實(shí)數(shù)，則齊次方程的特解形式必為指數(shù)項(xiàng)，如為純虛數(shù)，則齊次方程的特解形式必為振蕩項(xiàng)，如為復(fù)數(shù)，則齊次方程的特解形式必為，如果為重根，則特解必含冪因子。這一規(guī)律是求解該類題型的理論根據(jù)，切記。另外，無論什么樣的線性常系數(shù)方程，特解形式不外乎“冪，指，弦，弦” 特征。二常數(shù)變易法常數(shù)變易法的思想是將通解中的待定常數(shù)換成變量后，再代入原方程求解?？梢詿o條件求解一階非齊次方程，也可以在一定條件下求高階非齊次方程。2

6、.1 一階非齊次方程 的常數(shù)變易法 求對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 令代入原方程解得原方程的解：【例1】求微分方程的特解。解：原方程變形為（倒栽蔥型） 2.2 二階非齊次方程 的常數(shù)變易法 2.2.1 已知或必須能容易求出的兩個(gè)特解，否則不能利用常數(shù)變易法 令代入原方程解得原方程的解：【例2】求的通解。 解：容易觀察原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程有兩個(gè)特解 令原方程的解為 代入原方程，可得通解2.2.2 已知或必須能觀察求出的一個(gè)特解， 令代入原方程，可求出通解。【例3】求的通解解：容易觀察原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程有一個(gè)特解 令 代入原方程，得評(píng) 注 也可以這么做： 如容易觀察出一個(gè)特解 則令 另一特解為 代入原方程

7、三各類研考中所考微分方程的5大題型 1及其伯努利方程；有定勢(shì)求解方法； 2；屬于缺型，有定勢(shì)求解方法； 3；屬于缺型，有定勢(shì)求解方法； 4，涉及的題型比較靈活；后面有系統(tǒng)研究。 5；有定勢(shì)求解方法。四微分算子法求非齊次方程的特解 形如 令 ，則 的求法規(guī)則 例如： 再根據(jù) 或 求得 展開項(xiàng)的個(gè)數(shù)由多項(xiàng)式的最高次冪決定，參見【例4】。 可化成，計(jì)算結(jié)果取虛數(shù)即可，參見【例9】。陳氏第19技 算子解 真方便； 遇指遇弦直代換； 幾重零母幾次冪。 遇多項(xiàng) 級(jí)數(shù)幫； 最高次 去截?cái)啵?積分總在最后邊。 遇混合 指出鞘； 平移算符作后面； 雙弦能化指實(shí)虛。評(píng) 注 與算子解法有關(guān)的考點(diǎn)有三：第一，求常系數(shù)

8、非齊次方程的特解；第二，求常系數(shù)微分方程組的通解；第三，求歐拉方程的特解?！纠?】求解 為實(shí)數(shù)解： 【例5】解： 【例6】解： 【例7】 解： 評(píng) 注 此題解法順數(shù)第一步，即，如寫成，則計(jì)算相當(dāng)繁瑣，建議不要采用。此題解法倒數(shù)第二個(gè)等式，必須先使和相乘后，再對(duì)其后的多項(xiàng)式進(jìn)行算子運(yùn)算（ “先算子運(yùn)算順序” ），否則，會(huì)少一項(xiàng)系數(shù)。對(duì)指數(shù)與順序無關(guān)。如求方程的特解，按照后算子運(yùn)算，則是正解，若按照先算子運(yùn)算，則也是正解，希望讀者記住多項(xiàng)式這一特點(diǎn)，不要做過多的理論研究。另外，注意非齊次方程的特解與右端必為同名函數(shù)這一特征?！纠?】 解： 【例9】 解：先求再取結(jié)果，即得【例10】解微分方程。解：

9、 求不能再使用行列式，否則，還需要求系數(shù)待定系數(shù)的關(guān)系，因?yàn)橹荒苡兴膫€(gè)獨(dú)立的待定系數(shù)。故 得 五各類一階方程的解法 一階方程共有6大類型：全（全微分）、離（可分離變量）、線（）、同（同次的齊次方程）、伯（伯努利）、倒（化為倒栽蔥求解）。先定型，后定法。 5.1 分離變量型 適應(yīng)形如： 5.2 同次型-一元平移化方法直接同次型：形如 等，使用一元化換元。 令 。換元同次型：形如 微分方程的換元解法， 使用一元化+平移法換元。 當(dāng)時(shí) 直接使用一元化換元當(dāng) 則 ，使用一元化換元， 令 求解。不全為0 解方程組交點(diǎn) ，先用平移法，再用一元化，即 令 5.3 伯努利方程變系數(shù)的倍形如 ， 稱伯努利方程。

10、令 因?yàn)?5.4 全微分法 如構(gòu)成全微分，令 求解方法有兩種： 一般法 湊微分法（是求解這類方程的主要方法）。5.5 反函數(shù)型（倒栽蔥）。利用關(guān)系 變換原方程。陳氏第20技 全離線 同伯倒；定型定法多思考。 格林模 湊微分；分離兩邊各自積。 線性型 套公式；同次平移一元替。 伯努利 倍；倒栽蔥型兩定理?！纠?1】已知可導(dǎo)，且，求。解：這類題型的解法定勢(shì)是：先令自變量為零，盡可能求出，然后令。 令 令 評(píng) 注 補(bǔ)充題型1： 已知；，求。解：補(bǔ)充題型1：已知是，求解：【例12】 解：先定型，后頂法。顯然本題為：同次型。 令 【例13】 解：可轉(zhuǎn)化的換元同次型。令解方程組 令再令【例14】 解：換元

11、同次型。令再令 評(píng) 注 1。配全微分補(bǔ)充題 2。常見二元函數(shù)全微分 【例15】 求 解： 需要求導(dǎo)變形。 【例16】設(shè)在上可導(dǎo)，且滿足 求；證明：。 解：先變形在求導(dǎo)。 利用牛頓-萊布尼茨公式和積分比較定理 【例17】 解：先變形，再定型。 【例18】 解：屬于倒栽蔥型。利用常數(shù)變易法令 代入原方程評(píng) 注 又如 ?！纠?9】 解：先換元，再定型，顯然屬于伯努利型 令 令代入原方程 （隱式解形式）【例20】 解：先變形，再定型。【例21】 解： 令（隱式解形式）評(píng) 注 注意下列三角和多項(xiàng)式換元題型。余略。六各類二階及高階常微分方程的解題技巧6.1 二階常系數(shù)齊次方程： （為常數(shù)）通的特點(diǎn) 特征值

12、方程：，如解為實(shí)數(shù)，則特解具有指數(shù)形式，如為純虛數(shù)，特解具有三角振蕩形式或，如為復(fù)數(shù)，特解具有三角振蕩形式或，如有重根，則出現(xiàn)冪因子。即： 6.2 線性二階微分方程解的重要定理，可以是的函數(shù)若 是 的兩個(gè)相異的特解，則為 的解。若 是 的三個(gè)特解，則為對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解（也可以是，余類推），并且 是的通解。（通解也可以是，余類推）。陳氏第21技 微分方程解多少；冪指弦弦到了頭。 非齊特解差齊特；本征方程回故鄉(xiāng)。 疊加原理：如 是的特解 是的特解 則 是的特解6.3 二階或部分高階方程類型常系數(shù)線性型：，為常數(shù)， 采用微分算子求解 多次積分型： 缺型： 令 缺型： 令 歐拉型： 特

13、征是導(dǎo)數(shù)階數(shù)×相同方次的自變量構(gòu)成每一項(xiàng) 令，化成常系數(shù)線性型其中一般項(xiàng)公式： 陳氏第22技 二階方程不可慌； 非齊特歐算子幫。 兩缺定勢(shì)掛心上； 特殊解法閃金光?！纠?2】 解：常數(shù)變易求特解 代入 （*）【例23】 解：令【例24】解：【例25】若 是 的三個(gè)特解，則下列哪個(gè)正確（） 解：=，故選?！纠?6】下列微分方程中，從為通解的是（）。 解：所求方程的等價(jià)形式為特征方程：，故選?！纠?7】已知都是某非線性微分方程的解，試求此方程。解：【例28】可微，求。解： 【例29】在上連續(xù)，滿足方程，求。解：【例30】已知，求解。解： 【例31】在有二階導(dǎo)數(shù)，解方程：。解： 【例32】

14、求解微分方程。解： 【例33】求解微分方程 解： 令 七常微分方程應(yīng)用題【例34】 設(shè)函數(shù)在0,+上連續(xù)，且,已知在上的平場(chǎng)值等于與的幾何平均值，求。解： 令 【例35】 設(shè)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且,又 是全微分方程，求，并求此全微分方程的通解。解：將)代入原方程【例36】 在上半平面求一條向上凹的曲線，其任一點(diǎn)處的曲率等于此曲線在該點(diǎn)的法線段PQ長(zhǎng)度的倒數(shù)（Q是法線與軸交點(diǎn)），且曲線在點(diǎn)處的切線與軸平行。 解： 曲線為凹，則 在點(diǎn)的法線方程 Q點(diǎn)的坐標(biāo) 不顯含令 【例37】 已知曲線過（1,1）點(diǎn)，如果把曲線上任意一點(diǎn)P處的切線與y軸的交點(diǎn)記為Q，則以PQ為直徑的圓都經(jīng)過點(diǎn)F（1，0），求此曲線

15、方程。解：PQ方程圓心O的坐標(biāo)圓過 八微分方程的特殊解法專題二階變系數(shù)微分方程的常數(shù)變易法平移法級(jí)數(shù)法 題型和題法1、二階變系數(shù)微分方程常數(shù)變易法題型一 已知的通解，求的通解解答方法：令的特解為后，得【例38】已知的通解為，求的通解。解： 令 代入，求得題型二 已知的一個(gè)特解，求的通解解答方法：令代入可求得通解?！纠?9】參見同濟(jì)5版下冊(cè)P300例4或同濟(jì)6版上冊(cè)P330例4?！纠?0】已知是的一個(gè)特解，求的通解。解： 題型三 已知的一個(gè)特解，求的另一個(gè)特解及通解。解答方法1：令代入可求得通解，再代入 。解答方法2（普適降階法）：令代入可求得【例41】已知是方程的一個(gè)特解，求此方程的另一個(gè)特解

16、和通解。解：令代入 2、二階變系數(shù)微分方程的平移法 【例42】 Riccati 方程 （1） 只有在已知其中一個(gè)特解時(shí)，才有解 令代入方程（1）得 這是一個(gè)伯努利方程，再令 【例43】 解：觀察是原方程的一個(gè)特解， 令 類似的題有（1） （2） 希望同學(xué)們自己聯(lián)系完成結(jié)論?！纠?4】的解法。 解：無法觀察其特解，上述方法不能用 首先令代入原方程 再令 3、二階變系數(shù)微分方程級(jí)數(shù)法（重點(diǎn)） 【例45】， 解： 令 評(píng) 注 上述幾種特殊解法中例題大多選自各院校的校題或國(guó)題，讀者要高度重視其解法思想。 第八章 常微分方程習(xí)題一、填空題1、微分方程的通解為 2、方程滿足的特解為 3、微分方程滿足初始條

17、件的特解是 4、初值問題的解為 5、方程的通解為 6、方程的通解為 7、方程的通解為 二、解答題1、求方程的通解2、求方程的通解3、設(shè)在上連續(xù)，且滿足求的表達(dá)式4、設(shè)在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，已知曲線在點(diǎn)處的切線方程在y軸上的截距等于曲線在區(qū)間上的弧長(zhǎng)，求曲線方程5、設(shè)函數(shù)在內(nèi)二階可導(dǎo)且滿足等式（1）驗(yàn)證（2）若，求函數(shù)的表達(dá)式。6、考慮遠(yuǎn)離地球的物體m（質(zhì)量亦記為m）由于萬有引力的作用向地面垂直下降（不計(jì)空氣阻力等其他力）。設(shè)物體遠(yuǎn)離地心的初始距離為R，初始速度為，萬有引力常數(shù)為，地球的質(zhì)量為M，他們滿足。試求物體m離地心的距離S與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式。7、設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并滿足方程，求第八章 常微分

18、方程習(xí)題答案一、填空題1、 2、 3、或 4、 5、（利用疊加原理求特解）6、 7、二、解答題1、 2、 3、4、由，則。由題意不難得到（弧長(zhǎng)）=（截距）。微分后可用降階法，解得5、（1）直接驗(yàn)證； （2）6、7、第二節(jié) 差分方程一、三基層面 1差分與差分方程的概念將函數(shù)記為，當(dāng)遍取非負(fù)整數(shù)時(shí)的函數(shù)值構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，稱為的一階差分。 并稱為的二階差分。 含有未知函數(shù)的差分或表示函數(shù)幾個(gè)時(shí)期的關(guān)系的方程稱為差分方程。差分方程中未知數(shù)的附標(biāo)最大值與最小值的差稱為差分方程的階，我們只需掌握一階差分方程的解法及其簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用即可。2一階差分方程的一般解法-代定系數(shù)試解法 一階差分方程得標(biāo)準(zhǔn)形式：，對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為 特解分下列4種典型形式： 試探解?。?試探解取： 試探解?。?試探解?。?陳氏第22技 如果為上述四種的任意組合形式，則首先寫出與形式完全相同但系數(shù)待定的試探特解，代入原差分方程，若求解困難或出現(xiàn)矛盾結(jié)論，則將前試探解再乘上后再代入，即可求出特解。3二階差分