23個(gè)典型的數(shù)列專題

1、23個(gè)典型的數(shù)列專題23個(gè)典型的數(shù)列專題解答1、等差數(shù)列中，前三項(xiàng)依次為，求：解：由等差數(shù)列中項(xiàng)公式得：，則：.首項(xiàng)為：，公差為：；則數(shù)列通項(xiàng)為：. 故：.由等差數(shù)列公式就可以通解.2、前100個(gè)自然數(shù)（1到100）中，除以7余2的所有數(shù)之和S是？解：這些數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為：；在100之內(nèi)，n的最大數(shù)m為：，即;這些數(shù)之和S為：余數(shù)是常數(shù)的問題要轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題.3、在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為. 若，則最大時(shí)，解：等差數(shù)列通項(xiàng)為：，求和公式為：；則：，即：，即：；，即：，即：.故最大時(shí)，.通項(xiàng)公式和求和公式都要很熟啊.4、數(shù)列的通項(xiàng)公式，若它的前n項(xiàng)和為，求： 解：通項(xiàng)：；則：，于是：相當(dāng)于裂項(xiàng)法

2、.5、等差數(shù)列，其公差不為0，其中，、依次構(gòu)成等比數(shù)列，求公比解：等差數(shù)列通項(xiàng)：，則：，構(gòu)成等比數(shù)列，則：，即：；即：.因?yàn)?，故：；所以?由比例中項(xiàng)直接列式，導(dǎo)出與的關(guān)系. 6、已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且,. 設(shè)，求證：是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和.證明：通項(xiàng)：，求和公式：；則：，即：，故：.于是：；則：，則：，故是首項(xiàng)為，公比為,的等比數(shù)列，通項(xiàng)為：.其求和公式：7、若，且兩個(gè)數(shù)列：和均為等差數(shù)列，求：解：設(shè)兩個(gè)等差數(shù)列的公差分別為：和，則:,.故：利用等差數(shù)列的等差性質(zhì)來求本題.8、已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：，且、成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)解：由已知： 由-：移項(xiàng)合并：，即：由于正項(xiàng)數(shù)列，

3、所以：，即：；由此得到是公差為5的等差數(shù)列. 設(shè)：，則：，；由、成等比數(shù)列得：，即：；即：，故：. 所以：本題由等式條件得出公差是5，由等比條件確定首項(xiàng). 9、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和,試求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：由已知：及： 和：得到上面求和公式可分成兩部分，一個(gè)求和，一個(gè)求和.故：. 那么：；所以：. 要熟悉一些基本的求和公式，還有裂項(xiàng)求和方法. 10、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其首項(xiàng)，且滿足，求通項(xiàng)解：由已知： 由： ；移項(xiàng)合并：，即： 由此遞推得：將遞推進(jìn)行到底！11、如果數(shù)列中,相鄰兩項(xiàng)和是二次方程(n=1,2,3)的兩個(gè)根,當(dāng)時(shí),試求解：由韋達(dá)定理： 由式可得：，即： 式表明：和都是公差為-3的等

4、差數(shù)列.又因，代入式可得：，于是得到等差數(shù)列為：；.那么： ，代入式得：本題由韋達(dá)定理得出為等差數(shù)列，算出首項(xiàng)得到，再計(jì)算出.12、有兩個(gè)無窮的等比數(shù)列和,其公比的絕對值都小于1,其各項(xiàng)和分別是和,對一切自然數(shù)都有：，求這兩個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)和公比.解：由和得：，及. 數(shù)列的首項(xiàng)設(shè)這兩個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為： 將兩式代入，并采用賦值法，分別令和得：，即： ，即： 由得： 將式代入式得：因?yàn)椋?，則上式化簡為：，即：將代入式得： 這是這兩個(gè)數(shù)列的公比.將和分別代入式和式得：；本題采用賦值法求解.13、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，滿足：；求證：數(shù)列為等差數(shù)列；并求的通項(xiàng)公式解：由得：，即：，則：，.上

5、式表明：是一個(gè)首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列. 則：，即：，；于是： 故：注意求和化通項(xiàng)的方法.14、已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足：.（1）求的通項(xiàng)；（2）求的前n項(xiàng)和.解：將、代入上面等式得：化簡得：即：整理得：，即：則：或注意求和化通項(xiàng)的方法.第14題第(2)問解答：(2)A.對于等比數(shù)列：，其求和公式為： 故：1> 2> 則： 由-得：綜合1>和2>得：(2)B.對于等比數(shù)列：其求和公式為：故：1> 2> 則： 由+得：故：于是：15、若等差數(shù)列的第m項(xiàng)等于k，第k項(xiàng)等于m(其中)，求數(shù)列的前項(xiàng)的和。解：等差數(shù)列通項(xiàng)為：；則： 由兩式相減得：，故：.首項(xiàng)為

6、：，通項(xiàng)為：；則的通項(xiàng)為：前項(xiàng)求和：求公差和求首項(xiàng)是求通項(xiàng)的關(guān)鍵.16、如果數(shù)列中,，求通項(xiàng)解：整式遞推數(shù)列用待定系數(shù)法.令：，則：與比較得：令：，則：，于是：，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；其通項(xiàng)為：故：的通項(xiàng)為：待定系數(shù)法確定新構(gòu)建的等比數(shù)列通項(xiàng).17、設(shè)數(shù)列，且當(dāng)時(shí)滿足：，求通項(xiàng) 解：整式遞推數(shù)列用待定系數(shù)法.令：，則：與比較得：，.令：，則：，故：是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列.于是：待定系數(shù)法是如何構(gòu)造等比數(shù)列的？18、設(shè)數(shù)列，且滿足：，求通項(xiàng)解：本題是二階遞推數(shù)列，且看如何解：待定系數(shù)法：令：則：與比較系數(shù)得：若將、看成是一元二次方程的兩個(gè)根，則又韋達(dá)定理得到這個(gè)方程為：，而這正是采用

7、特征根法的特征方程.上述方程的解為：，或：，這兩組解推出的數(shù)列通項(xiàng)的結(jié)果是一樣的. 取令：，則，于是：，則是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)為：，故：，即：再用待定系數(shù)法，令：則：與比較得：，令：，則： 由于，于是：即：，故：.現(xiàn)在用特征根法求解：特征方程：，其兩個(gè)根為：，代入特征根法的二異根解得：用，代入上式，以確定、則：，解得：，故：對于二階遞推數(shù)列，采用特征根法比較簡潔.19、已知正項(xiàng)數(shù)列，且滿足：，求通項(xiàng)解：，則：令：，則：，代入上式得： 于是： ；故：這是遞推數(shù)列的遞推法. 另：也可取對數(shù)再做20、已知數(shù)列中，且滿足：，求通項(xiàng)解：將化簡為： 用不動(dòng)點(diǎn)法解不動(dòng)點(diǎn)方程：；即：，方程的

8、根為二重根：；那么，二重根的不動(dòng)點(diǎn)解為： （為待定常數(shù)） 通分化簡得：；即：； 即： 將式與式對比得：. 令：，則：，代入式得：即：是一個(gè)首項(xiàng)為、公差為1的等差數(shù)列. 故：.代入：，即：不動(dòng)點(diǎn)法根為二重根時(shí)，可構(gòu)造等差數(shù)列解之.21、已知數(shù)列中，且滿足：，求通項(xiàng)解：將化簡為： 用不動(dòng)點(diǎn)法解不動(dòng)點(diǎn)方程：；即：，方程的根為二異根：，；設(shè)二異根解式滿足： ，即： 化簡：；即： 比較兩式得：令：，則：，代入式得：于是：是首項(xiàng)為、公比為的等比數(shù)列，即：. 代入得：不動(dòng)點(diǎn)法根為二異根時(shí)，可構(gòu)造等比數(shù)列求之.22、已知數(shù)列中，且滿足：，求通項(xiàng)解：將化簡為： 用不動(dòng)點(diǎn)法解不動(dòng)點(diǎn)方程：；即：，方程的二異根為：，

9、設(shè)二異根解式滿足： ，即： 化簡： 比較兩式得: 令：，則：，代入式得：于是：是首項(xiàng)為、公比的等比數(shù)列.故：代入，即：得：或 不動(dòng)點(diǎn)法為二異根時(shí)，可構(gòu)造等比數(shù)列求之.23、已知數(shù)列中，且滿足：，求通項(xiàng)解：由得：或代入得：即：則：遞推下去找規(guī)律.吧中的數(shù)列題吧題1、設(shè)數(shù)列中的每一項(xiàng)都不為0，證明為等差數(shù)列的充要條件是對任何，都有：.證明：若為等差數(shù)列，則設(shè)：當(dāng)時(shí)，有：，于是成立.當(dāng)時(shí)，于是故，充分條件成立.若，則當(dāng)時(shí)，滿足上式，此時(shí)是公差為0的等差數(shù)列.若，當(dāng)互不相等時(shí)，設(shè)，則上式變?yōu)椋杭矗河谑牵簩τ谌魏味汲闪?，則：，于是：即：為等差數(shù)列. 故必要條件成立.吧題2：對任一正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得成等差數(shù)列.證明：設(shè)：，則：由成等差數(shù)列得：，即： 由式得：為偶數(shù)，則為奇數(shù). 設(shè)：，代入式得：即： 由式得：為奇數(shù). 設(shè)：，代入式得：，即：即： 由式，得到4種情況：1> 都是偶數(shù)；此時(shí)，則.2> 都是奇數(shù)；此時(shí)，則.3> 為奇數(shù)，為偶數(shù)；此時(shí)，則：，故：，于是：，則：，4> 為偶數(shù)，為奇數(shù)；此時(shí)，則：，即：，不符合和綜合上述4條：1>和2>不滿足，4>不滿足，只有3>滿足要求，故：，. 證畢.吧題3：設(shè)數(shù)列滿足，其中，求證：證明：設(shè)：，則：.代入，即：代入得：等式兩邊同除以得：. 即：. 代入得： 證畢.吧題4：已