二項(xiàng)式展開定理

1、二項(xiàng)式展開定理定理及基本概念1.(a b)n Cn0an Cn1an 1bCnr an rbrCnnnn(n N*) ;2.項(xiàng)數(shù) :一共項(xiàng) ;3.通項(xiàng) :;一定注意兩點(diǎn) :1)涉及“第幾項(xiàng)”得時(shí)候 ,一定嚴(yán)格按照通項(xiàng)公式2)注意項(xiàng)數(shù)與系數(shù)得關(guān)系。4.二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)系數(shù)之間得聯(lián)系與區(qū)別。性質(zhì)1.二項(xiàng)式系數(shù)得對(duì)稱性 :;2.二項(xiàng)式系數(shù)與 :;3.奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)與 = 偶數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之與4.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng) :1)當(dāng)就是偶數(shù)時(shí) ,此時(shí)項(xiàng)數(shù)就是奇數(shù) ,中間項(xiàng)得二項(xiàng)式系數(shù)最大2)當(dāng)就是奇數(shù)時(shí) ,此時(shí)項(xiàng)數(shù)就是偶數(shù) ,中間兩項(xiàng)得二項(xiàng)式系數(shù) =最大。5.系數(shù)最大項(xiàng) :注意系數(shù)最大與二項(xiàng)式系數(shù)最大得區(qū)別。

2、基本題型解題思路及步驟利用通項(xiàng)公式求某項(xiàng)系數(shù)1.寫出通項(xiàng)公式得時(shí)候注意1)所有得系數(shù)寫在最前面 ,包括符號(hào) ;2)所有根式都寫出分?jǐn)?shù)次數(shù)形式3)明白什么就是有理項(xiàng) ;4)注意得取值范圍。2.只有一個(gè)式子 :寫出通項(xiàng)公式 ,根據(jù)系數(shù)關(guān)系 ,確定滿足條件得項(xiàng)。3.有兩個(gè)式子相乘 :1)分別用通項(xiàng)公式打開 ,組合后瞧滿足條件得項(xiàng)2)只打開一個(gè) ,觀察另一個(gè)得形式 ,判斷滿足條件得項(xiàng) ;一定注意系數(shù) ;3)有多個(gè)得 ,注意各自得取值范圍與相互之間得關(guān)系。賦值求系數(shù)與1. 常用得賦值就是令 ,具體要通過(guò) 所求得式子 來(lái)判斷賦值 ;2. 所有系數(shù)之與 :令 ;二項(xiàng)式系數(shù)之與 :;3. 所有系數(shù)絕對(duì)值之與

3、:令;變換原來(lái)式子里得符號(hào) ,邊為相加 ;再令 ;4. 求導(dǎo)與積分得形式。對(duì)二項(xiàng)式定理得理解 :組合項(xiàng)、整除1. 二項(xiàng)式定理得理解 :都表示一個(gè)整體 ;2. 根據(jù)所求得問(wèn)題 ,對(duì)前面得進(jìn)行重新組合。例題講解求某項(xiàng)得系數(shù)1. 求展開式中第幾項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng) ,并求常數(shù)項(xiàng)得值。解: 直接用通項(xiàng)公式打開 :;（注意系數(shù)都放一起 ）常數(shù)項(xiàng)即得次數(shù)為 0,也即:;所以常數(shù)項(xiàng)為 第 4項(xiàng);且常數(shù)項(xiàng)為 :2. 在二項(xiàng)式得展開式中 ,第四項(xiàng)得系數(shù)為 56,求得系數(shù)。解:第四項(xiàng)得系數(shù)為 56:注意:項(xiàng)數(shù)與展開式中得取值得關(guān)系 。此時(shí) :。=56,解得 :;再利用通項(xiàng)公式 :;要求得系數(shù) ,所以 :;故前得系數(shù)為 :3

4、. 求二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)得值。解: ,所以 ;常數(shù)項(xiàng)得值為 : 。(一定嚴(yán)格按步驟來(lái) ,注意系數(shù)得符號(hào) )4. 求二項(xiàng)式展開式中有理項(xiàng)得系數(shù)與。解: 什么就是有理項(xiàng)？ ,當(dāng)時(shí)為有理項(xiàng) ;用通項(xiàng)公式打開 :;要滿足有理項(xiàng) ,即:且,所以 :或當(dāng)時(shí) ,;當(dāng)時(shí) ,;故:有理項(xiàng)得系數(shù)與為。5. 求多項(xiàng)式展開后常數(shù)項(xiàng)。解: 因?yàn)檫@里有兩個(gè)式子 ,可以用兩個(gè)展開式 ,所取得得取值范圍 ;展開 :;展開 :所以:展開后 :()所以 :,所以 :或或;當(dāng)時(shí) ,;當(dāng)時(shí) ,;當(dāng)時(shí) ,;所以常數(shù)項(xiàng)為 : 。6. 求展開式中 ,得系數(shù)。解:展開:;展開 :;所以 :展開:,其中:;所以 :或或 ;故系數(shù)為 :7.

5、已知 ()得展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng) ,則得值為。解: 展開 :;由題意可知 ,展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)。則所以 :,所以 :。8.求中 ,得系數(shù)。9.求得展開式中 ,前得系數(shù)為？10.求得展開中得系數(shù)。系數(shù)最值1. 在得展開式中 ,二項(xiàng)式系數(shù)最大得項(xiàng)就是第幾項(xiàng)。解: 展開式式中一共有 :項(xiàng)。所以中間項(xiàng)為 :第項(xiàng)。一定要時(shí)刻注意項(xiàng)數(shù)與次數(shù)得關(guān)系。2. 在得展開式中 ,只有第 4 項(xiàng)得二項(xiàng)式系數(shù)最大 ,則展開式中得常數(shù)項(xiàng)為？解:只有第 4 項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大 ,所以一共有 7項(xiàng),所以:。通項(xiàng)公式 :,常數(shù)項(xiàng) ,所以 :。3. 已知,若展開式中第 5,第 6與第 7項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為等差數(shù)列 ,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)

6、最大項(xiàng)得系數(shù)就是多少？解: 通項(xiàng)公式為 :;二項(xiàng)式系數(shù)為等差數(shù)列 ,所以:,解得或 ;當(dāng)時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)最大就是第 4項(xiàng)與第 5 項(xiàng),故:,;當(dāng),二項(xiàng)式系數(shù)最大就是第 8 項(xiàng),故:。注意題目得問(wèn)題 :就是二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)得系數(shù) ！4. 求得展開式中系數(shù)最大得項(xiàng)？ 解: 通項(xiàng)公式為 :,各項(xiàng)系數(shù)得通項(xiàng)為 :則:解得:;所以系數(shù)最大項(xiàng)為第 6 項(xiàng) ;。5. 求得展開式中系數(shù)最小得項(xiàng)就是第幾項(xiàng)？賦值1. 若得展開式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)與為 ,求得值。解:令 ,得所有項(xiàng)得系數(shù)與 ;故。注意“各項(xiàng)系數(shù)與”與“二項(xiàng)系數(shù)與”得聯(lián)系與區(qū)別注意“減號(hào)”與“加號(hào)”得聯(lián)系與區(qū)別。2. 若得展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)得系數(shù)與為,求它得

7、中間項(xiàng)。解:由題可知所有奇數(shù)項(xiàng)得系數(shù)與即為所有奇數(shù)項(xiàng)得二項(xiàng)式系數(shù)與為所以:,所以中間項(xiàng)第 6,7 項(xiàng);所以 :,。3. 在得二項(xiàng)式展開中 ,記含得奇次冪得項(xiàng)之與為 ,當(dāng)時(shí) ,求？解:令 ,則;令得偶次冪得項(xiàng)之與為 ;令,則;則:。題目如果改為 :時(shí) ,得值呢？還就是要注意 :奇次冪與偶次冪 ,對(duì)于取相反數(shù)得時(shí)候得影響。4. 若二項(xiàng)式中所有項(xiàng)得系數(shù)與為 ,所有項(xiàng)得系數(shù)得絕對(duì)值之與為 ,則得最小值為 (B )解:所有項(xiàng)得系數(shù)與即令 ,所以 ;所有項(xiàng)絕對(duì)值得與就就是要把系數(shù)就是負(fù)得變成正得,令,所以 :;所以:。注意 。5. 若展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之與為,則展開式中得一次項(xiàng)系數(shù)為？解: 由上一題可

8、知 ,嘗試令 ,發(fā)現(xiàn)不可行 ,原式?jīng)]有意義 ;發(fā)現(xiàn)與展開式中各項(xiàng)系數(shù)得絕對(duì)值相等故得絕對(duì)值之與等價(jià)于得各項(xiàng)系數(shù)與所以 :令,;展開得通項(xiàng)公式 :故得一次項(xiàng)系數(shù)為 :。上述兩個(gè)例題就就是求各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之與得兩個(gè)思想。6. 得展開式中不含得項(xiàng)得系數(shù)與為？ 解:不含得項(xiàng) ,可令 ;則題目等價(jià)于得各項(xiàng)系數(shù)與令,則。要消除 ,可以令。a13(x 1) a14 ,則( D)7. 設(shè)多項(xiàng)式展開 :(1 x)5(3 2x)9 a0(x 1)14 a1(x 1)13A.B、C、D、解:觀察右邊得形式 :可令 ,則;此時(shí) ,離目標(biāo)多了一個(gè) ;再令 ,則;所以:。8. 若 ,則得值為？解:觀察所求得形式 :令,則

9、 ;再令 ,則;所以:。9. 已知就是函數(shù)圖象得一條對(duì)稱軸,則得為？解: 由題意可知 :;令,則;令,則;所以:。10. 若 ,則得值。解:發(fā)現(xiàn)要求得就是得奇數(shù)次冪得系數(shù)與 令,則;令,則;所以:。11. 設(shè) ,求得值。22解：(a。a?a4)佝a3)(a。aia?a3aqXa。ai a? a3a4)；即:12. 若，則得值。解:發(fā)現(xiàn)所求得式子分母中都有，所以:令,則:;所以:;所以：。13. 已知?jiǎng)t（D）A.C、解:發(fā)現(xiàn)求得形式，用常規(guī)得思想不好解，令不行；令也不行； 再觀察發(fā)現(xiàn)前面得系數(shù)，正好就是對(duì)應(yīng)得得次數(shù)2所以兩邊都時(shí)求導(dǎo)，即 :(12x)8' (a。2a2x38 x8)

10、9;16(1 2x)7 a1 2a2x8a8x7此時(shí)，令，則:14. 若，則求得值。解:由上一題得解法，發(fā)現(xiàn)每個(gè)要求得前得系數(shù)正好就是對(duì)應(yīng)得次數(shù)加1；聯(lián)想到可求積分(a。 ax2014、312a2014X)30 x xa2014 x2014 c -20152；則:;令,則;令,則;所以:。四、1. 已知,則( )A.B、C、D、解: 二項(xiàng)式展開中得僅僅就是字母得表示 ,可以代表一個(gè)整體 ;觀察右邊得形式 ,可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)該就是中得一個(gè)所以。也可根據(jù)次數(shù) ,直接定位出得值。2. 已知 ,則得值。解: 由題意發(fā)現(xiàn) ,得值與無(wú)關(guān) ;且應(yīng)該就是中得一個(gè) ;所以 :;所以。3. 將表示為 ,則 =？解: 由

11、題意可知 :應(yīng)該就是中得一個(gè) ;所以 :;所以:。4. 展開式中得常數(shù)項(xiàng)為 (C )A.B、C、D、解法一：由展開式得原理可知：要出現(xiàn)常數(shù)項(xiàng)，要么都就是常數(shù)，要么得次數(shù)與為0;所以：。解法二：把三項(xiàng)中得兩項(xiàng)瞧成一個(gè)整體，再利用二項(xiàng)式展開定理進(jìn)行展開所以通項(xiàng)為:;又展開得通項(xiàng)為： 所以：得展開式為:() 所以常數(shù)項(xiàng)可能得情況為：或;故常數(shù)項(xiàng)為:;解法三:;故展開式得通項(xiàng)為:;所以常數(shù)項(xiàng)為；5. 得展開式中，項(xiàng)得系數(shù)為?解:由上題解法一思想：在9個(gè)括號(hào)中，分別去取項(xiàng)； 則得系數(shù)為：o6. 求得值。(用含有得式子來(lái)表示)解:觀察形勢(shì),發(fā)現(xiàn)與二項(xiàng)式展開得形式比較接近，但就是得次數(shù)不匹配；所以cn 6c26弋 6(c0 6cn g6nC； 1);則可發(fā)現(xiàn)肯定就是中得一個(gè) 所以:;也即:O7. 證明 :能被整除。解:要證明能被 64整數(shù) ,希望原來(lái)得式子化簡(jiǎn)完后每個(gè)因式都能被64整除;結(jié)合二項(xiàng)式展開定理得形式 ,希望中得一個(gè)為或得某個(gè)因子則;所以 :;所以 :;所以能被 64 整除。課后練習(xí)1. 求展開式中得系數(shù)。2. 求二項(xiàng)式得展開式中第幾項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),并求出常數(shù)項(xiàng)得值。第四項(xiàng)3. 若得展開式中 ,第 5 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng) ,求得值。 64. 展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之與。5. 求展開式中得系數(shù)。6. 在展開式中 ,只有第 6 項(xiàng)得二項(xiàng)式系數(shù)最大 ,則展開式中常數(shù)項(xiàng)為？7. 已知函數(shù) ,則展開