幾何知識點匯總

1、一、全等三角形(二)性質(zhì)知識點一 相交線和平行線1.定理與性質(zhì)對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。2.垂線的性質(zhì):平面幾何知識點匯總(一)(3)三角形的高線：從三角形一個頂點向它的對邊作垂線，頂點和垂足間的限度叫做三角形的高線,簡稱三角形的高.二、三角形三邊關(guān)系定理三角形兩邊之和大于第三邊，故同時滿足ABC三邊長a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b.三角形兩邊之差小于第三邊，故同時滿足ABC三邊長a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a .注意：判定這三條線段能否構(gòu)成一個三角形，只需看兩條較短的線段的長度之和是否大于第三條線段即可性

2、質(zhì)1 :過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。三、三角形的穩(wěn)定性性質(zhì)2 :連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。3.平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性.例如起重機的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個道理.平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。四、三角形的內(nèi)角4.平行線的性質(zhì):性質(zhì)1 :兩直線平行，同位角相等。結(jié)論1:三角形的內(nèi)角和為 180° .表示：在 ABC中，/ A+/ B+/ C=180°性質(zhì)2 :兩直線平行，內(nèi)錯角相等

3、。結(jié)論 2:在直角三角形中，兩個銳角互余.性質(zhì)3 :兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。注意：在三角形中，已知兩個內(nèi)角可以求出第三個內(nèi)角5.平行線的判定:如：在 ABC中，/ C=180°- (/ A+/ B)判定 1 :同位角相等，兩直線平行。在三角形中，已知三個內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角.判定2:內(nèi)錯角相等，兩直線平行。如： ABC中，已知/ A:/ B:/ C=2 3: 4，求/ A、/ B、/ C 的度數(shù).判定3:同旁內(nèi)角相等，兩直線平行。五、三角形的外角1.意義：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角.知識點二三角形2 性質(zhì):、三角形相關(guān)概念三角形的一個外角等于

4、與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和1 三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角要點：三條線段；不在同一直線上；首尾順次相接.三角形的一個外角與與之相鄰的內(nèi)角互補2.三角形中的三種重要線段六、多邊形(1 )三角形的角平分線：三角形一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線 多邊形的對角線 n(n-3)條對角線；n邊形的內(nèi)角和為(n- 2) X 180 °多邊形的外角和為 360 °2知識點三全等三角形段叫做三角形的角平分線.(2)三角形的中線：在一個三角形中，連結(jié)一個頂點和它的對邊中點的線段叫

5、做三角形的中線.1、 “全等”的理解 全等的圖形必須滿足：(1)形狀相同的圖形；(2)大小相等的圖形;1.如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線.或者說軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線即能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。同樣我們把能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、全等三角形的性質(zhì)2.線段垂直平分錢的性質(zhì)線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等全等三角形的判定方法(1)三邊分別相等的兩個三角形全等。(SSS(2)兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等。(ASA)(3)兩角和其中一角的對邊分別相等的兩個三角形全等。(A

6、AS)(4)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等。(SAS)(5)斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。(HL)3、(1)全等三角形對應(yīng)邊相等；(2)全等三角形對應(yīng)角相等;3. ( 1)點P (x，y)關(guān)于x軸對稱的點的坐標為P( x，-y ).(2)點P (x,y )關(guān)于y軸對稱的點的坐標為P( -X , y).4.等腰三角形的性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個底角相等(簡稱“等邊對等角”(2)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(3)等腰三角形是軸對稱圖形， 底邊上的中線(頂角平分線、底邊上的高)所在直線就是它的對稱軸4、角平分線的性質(zhì)及判定性質(zhì)：角平分線上的點到這

7、個角的兩邊的距離相等(5)等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角是頂角的一半。判定：到一個角的兩邊距離相等的點在這個角平分線上(6)等腰三角形頂角的外角平分線平行于這個三角形的底邊(4 )等腰三角形兩腰上的高、中線分別相等，兩底角的平分線也相等二、軸對稱圖形5.等邊三角形的性質(zhì)(一)基本定義(1 )等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每一個角都等于60°1.軸對稱圖形(2) 等邊三角形是軸對稱圖形，共有三條對稱車由如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直(3)等邊三角形每邊上的中線、高和該邊所對內(nèi)角的平分線互相重合線就叫做對稱軸.折疊后重合的點是

8、對應(yīng)點，叫做對稱點(三)有關(guān)判定2.線段的垂直平分線1.與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線2.如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”3.軸對稱變換3.三個角都相等的三角形是等邊三角形由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換4.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形知識點四勾股定理4.等腰三角形有兩條邊相等的三角形，叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角1、勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分

9、別為a，b斜邊長為C，那么5.等邊三角形三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形a2+ b2= c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方6.勾股定理的證明勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊C弦：斜邊勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法知識點五四邊形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a, b, c有下面關(guān)系:+ b2 =2C ,那么這個三角形是直角三角形。一、基本定義1.四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1） 四邊形的內(nèi)角和等于360 °（2） 四邊形的外角和等于360° .2.勾股數(shù)：滿足a2+ b2 = C2的三個正整數(shù)叫做勾股數(shù)（注意：若a, b

10、, c、為勾股數(shù)，那么 ka.kb，kc同樣也是勾股數(shù)組。）* 附：常見勾股數(shù)：3,4,5 ; 6,8,10 ; 9,12,15 ; 5,12,132 .多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180（2）任意多邊形的外角和等于360 ° .BC3.判斷直角三角形：如果三角形的三邊長a、b、C 滿足 a+b =c，那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)3 .平行四邊形的性質(zhì):典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一個角為90°的三角形是直角三角形。（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。因為ABCD是平行四邊形用它判斷三角形是否為直角三角形的一般

11、步驟是:（1 ）確定最大邊（不妨設(shè)為 C）；2 2 2（2）若C = a + b ,則 ABC是以/ C為直角的三角形;AabBEab C（1） 二（3）（5）兩組對邊分別平行; 兩組對邊分別相等; 兩組對角分別相等; 對角線互相平分； 鄰角互補.4.平行四邊形的判定:若a2+ b2< C2，則此三角形為鈍角三角形（其中為最大邊）；若a + b >C，則此三角形為銳角三角形（其中C為最大邊）(1)(3)(4)(5)兩組對邊分別平行 兩組對邊分別相等 兩組對角分別相等 一組對邊平行且相等 對角線互相平分> ABCD是平行四邊形4.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

12、5.矩形的性質(zhì):（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。具有平行四邊形的所有通性；（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30°。5.勾股定理的作用:（1）因為ABCD是矩形=（2）四個角都是直角；（3）對角線相等.DA(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊。6.矩形的判定:已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。用于證明線段平方關(guān)系的問題。（1）平行四邊形 + 一個直角j（2） 三個角都是直角四邊形ABCD是矩形.（3）對角線相等的平行四邊形利用勾股定理，作出長為jn的線段7 .菱形的性質(zhì)： 因為AB

13、CD是菱形(1)具有平行四邊形的所 有通性; =(2)四個邊都相等；(3)對角線垂直且平分對角.13. S梯形=-(a + b)h=Lh. (a、b為梯形的底，h為梯形的高丄為梯形的中位線)2四常識:8菱形的判定:(1) 平行四邊形 + 一組鄰邊等(2) 四個邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱形.(3) 對角線垂直的平行四邊形n (n -3)22 .如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.1.若n是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是:知識點六圓9.正方形的性質(zhì)： 因為ABCD是正方形1、圓的定義:(1)具有平行四邊形的所=(2)四個邊都相等，四個(3)對角線相等垂直且平有通性； 角都是直角

14、; 分對角.(1)在一個平面內(nèi)線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周,形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。(2)圓是所有點到定點O的距離等于定長r的點的集合。B (1)10.正方形的判定：注意：確定一個圓有2個元素， 一個是圓心，一個是半徑,2、和圓相關(guān)的概念:另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖圓心確定圓的位置， 半徑確定圓的大小。(1)弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段；(弦不一定是直徑，直徑一定是弦，直徑是圓中最長的弦)(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦;(1) 平行四邊形 +組鄰邊等+個直角I(2) 菱形 1個直角A四邊形ABCD是正方形.(3) 矩形+組鄰邊等(3)?。簣A上任意兩點間的部分；(弧

15、的度數(shù)等于這條弧所對的圓心角的度數(shù)，等于這條弧所對圓周角的兩倍)(4)半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓;/ ABCD是矩形 又/ AD=AB四邊形ABCD是正方形11.三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.定理：中心對稱的有關(guān)定理關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形.關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱 公式：1.2.3.1.1S菱形=一 ab =ch (a、b為菱形的對角線，c為菱形的邊長，h為c邊上的高)22. S平行四邊形

16、=ah. (a為平行四邊形的邊，h為a上的高)(5)優(yōu)弧：大于半圓的弧，用三個大寫字母表示;(6)劣?。盒∮诎雸A的弧，用兩個大寫字母表示;(7)弓形由弦及其所對的弧組成的圖形;(8)等圓：能夠重合的兩個圓;(9)等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧;(10 )同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個圓;(11 )圓心角:(12 )圓周角:(13 )弦心距:定點是圓心的角;頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角;圓心到弦的距離。注意：(1)直徑等于半徑的2倍;(2)同圓或等圓的半徑相等;(2)垂徑定理的推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。(3)等弧必須是同圓或等圓中的弧;6、

17、圓的對稱性:(4)弧長相等的弧不一定是等弧，但等弧的弧長必相等。(1)圓既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形。3、圓心角的定義及性質(zhì):注意：圓具有旋轉(zhuǎn)不變性，有無數(shù)條對稱軸。(1)圓心角的定義:(2)在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系:定點是圓心的角叫做圓心角。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中，有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別相等。(2) 圓心角、弦、弧的有關(guān)定理:在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等;注意：運用本知識時應(yīng)注意其成立的條件:“在同圓或等圓中”，也可簡單地理解為“一推三”。7、點與圓的位置關(guān)系:點與圓有三種位

18、置關(guān)系：點在圓外、點在圓上、點在圓內(nèi)。 在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的圓心角相等，所對的弦相等; 在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦所對的圓心角相等，所對的弧相等。4、圓周角的定義及性質(zhì):設(shè)OO的半徑為r,點到圓心O的距離為d,則有:(1)圓周角的定義:點在圓外 ？ d>r;點在圓上 ？ d=r;點在圓內(nèi) ？ dvr。頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。注意：圓周角必須具備兩個條件：頂點在圓上；角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可;圓周角和圓心角的相同點：兩邊都和圓相交；不同點：圓心角的頂點在圓心；圓周角的頂 注意：可以根據(jù)點到圓心的距離與圓的半徑的大

19、小比較來確定點與圓的位置關(guān)系。點在圓上。8、確定圓的條件:(2)圓周角的性質(zhì):過一個點可以作無數(shù)個圓；過兩個點可以作無數(shù)個圓， 這些圓的圓心在連接這兩個點的線段的垂一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半;直平分線上；過在同一條直線上的三個點不能作圓；過不在同一直線上的三個點可確定一個圓。在同圓或等圓中，同弧(或等弧)所對的圓周角相等;9、三角形的外接圓及外心:在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等;經(jīng)過三角形各頂點的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做9 0°的圓周角所對的弦是圓的直徑，所對的弧是半圓;這個圓的內(nèi)接三角形。 半圓或直徑所對的圓周角

20、都相等，都等于9 0° (直角)注意：(1)三角形的外心是三角形三邊的垂直平分線的交點；三角形的外心到三角形三個頂點如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。 的距離相等，任何三角形有且只有一個外接圓，任何一個圓有無數(shù)個內(nèi)接三角形;5、垂徑定理與推理:(2)銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；直角三角形的外心是斜邊的中點，外接圓的半徑等于斜邊的一半；鈍角三角形的外心在三角形的外部。(1)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。注意：這個結(jié)論中涉及圓中不是直徑的弦與直徑所在直線的關(guān)系,如果圓的一條非直徑的弦和一10、圓的內(nèi)接四邊形:條直線滿足以下

21、五個條件中的任意兩個，那么它一定滿足其余三個：直線過圓心；直線垂直于弦;如果一個四邊形的各個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做這個四邊形的外接圓。直線平分弦；直線平分弦所對的劣??；直線平分弦所對的優(yōu)弧，也可簡單地理解為“二推三”注意：圓的內(nèi)接平行四邊形是矩形；圓的內(nèi)接梯形是等腰梯形。注意：任意三角形有且只有一個內(nèi)切圓，內(nèi)心一定在三角形內(nèi)，任意一個圓有無數(shù)個外切三角形;11、直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離。如果三角形三邊長分別為a、b、c，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形的面積S =? (a + b + c)r。(1)直線和圓有兩個公共點時,叫做直線與圓相交，這時直線叫做

22、圓的割線;14、切線長定理:(2)直線和圓有唯一公共點時,叫做直線與圓相切，這時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做(1)定義：在經(jīng)過圓外一點的切線上，這點和切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。的夾角。注意：圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等。切點;(2)定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線(3)直線和圓沒有公共點時，叫做直線與圓相離。若OO的半徑為r,圓心O到直線1的距離為d,則直線與圓的位置關(guān)系、交點個數(shù)及d與r的數(shù)15、弧長的計算:直線與圓的位置關(guān)系相離相切相交交點個數(shù)012d與r數(shù)量關(guān)系d>rd=r0<d<r量關(guān)系如下表:

23、(1)圓周長公式：C=2nR(R為圓的半徑)(2)弧長公式：1= 2 n Rn/360 °= n Rn/180 (n為弧所對的圓心角度數(shù)，不帶單位，R為圓的半徑)注意：可以根據(jù)圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小比較來判定直線與圓的位置關(guān)系。16、扇形面積的計算:12、切線的判定與性質(zhì):(1)扇形的定義:(1)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。切線必須滿足兩個條件：經(jīng)過半徑的外端；垂直于這條半徑。兩個條件缺一不可。2(2)圓的面積公式:S = nR(R為圓的半徑)"有點連半徑，無；若

24、注意：在判定直線與圓相切時，若直線與圓的公共點已知，證題方法是“連半徑，證垂直” 直線與圓的公共點未知，證題方法是作垂線，證半徑。這兩種情況可概括為一句話:2(3)扇形的面積公式：S扇形=IR = nn R (R為扇形所在圓的半徑，1為扇形的弧長)2360點作垂線”。注意：在運用扇形的面積公式時，應(yīng)注意以下幾點:(2)切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。(1)公式中的n與弧長公式中的n樣，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，不帶單位;推論：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點；經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。注意：圓的切線性質(zhì)定理與它的兩個推論涉及了一條直線的三條性質(zhì)：垂直于切

25、線；過1(2) 扇形面積公式S扇形=IR與內(nèi)切圓中的三角形面積公式十分類似；2(3) 根據(jù)扇形面積公式及弧長公式，已知S扇形、1、n、R四個量中的任意兩個量都可以求出圓心；過切點。如果一條直線滿足以上三個條件中的任意兩個，那它一定滿足另外一個條件，也可另外兩個量。以簡單地理解為“二推一”。17、圓錐的側(cè)面積與全面積:13、三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心:(1)圓錐的有關(guān)概念:(1)定義：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這圓錐是由一個底面和一個側(cè)面組成的。我們把圓錐底面圓周長上任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓個三角形叫做圓的外切三角形。(2)圓錐的側(cè)面展開圖:錐的母線，連結(jié)頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高。(2)性質(zhì)：三角形的內(nèi)心是三角形三內(nèi)角的角平分線的交點，三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離沿著圓錐的母線可把圓錐的側(cè)面展開，圓錐的側(cè)面積展開圖是扇形，這個扇形的半徑等于圓錐的母線長，弧長等于圓錐底面圓的周長。圓周角相等各角相等(3)圓錐的側(cè)面積和全面積公式:21、正多邊形的有關(guān)計算公式:圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面圓的周長，半徑為圓錐的一條母線長的扇形面積，其計算公式