數(shù)值分析--第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分[1]詳解(共16頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第4章 數(shù)值積分與數(shù)值微分1 數(shù)值積分的基本概念實(shí)際問(wèn)題當(dāng)中常常需要計(jì)算定積分。在微積分中，我們熟知，牛頓萊布尼茲公式是計(jì)算定積分的一種有效工具，在理論和實(shí)際計(jì)算上有很大作用。對(duì)定積分，若在區(qū)間上連續(xù)，且的原函數(shù)為，則可計(jì)算定積分似乎問(wèn)題已經(jīng)解決，其實(shí)不然。如1）是由測(cè)量或數(shù)值計(jì)算給出數(shù)據(jù)表時(shí)，Newton-Leibnitz公式無(wú)法應(yīng)用。2）許多形式上很簡(jiǎn)單的函數(shù)，例如等等，它們的原函數(shù)不能用初等函數(shù)的有限形式表示。3）即使有些被積函數(shù)的原函數(shù)能通過(guò)初等函數(shù)的有限形式表示，但應(yīng)用牛頓萊布尼茲公式計(jì)算，仍涉及大量的數(shù)值計(jì)算，還不如應(yīng)用數(shù)值積分的方法來(lái)得方便，既節(jié)省工作量

2、，又滿足精度的要求。例如下列積分對(duì)于上述這些情況，都要求建立定積分的近似計(jì)算方法數(shù)值積分法。1.1 數(shù)值求積分的基本思想根據(jù)以上所述，數(shù)值求積公式應(yīng)該避免用原函數(shù)表示，而由被積函數(shù)的值決定。由積分中值定理：對(duì)，存在，有表明，定積分所表示的曲邊梯形的面積等于底為而高為的矩形面積（圖4-1）。問(wèn)題在于點(diǎn)的具體位置一般是不知道的，因而難以準(zhǔn)確算出。我們將稱(chēng)為區(qū)間上的平均高度。這樣，只要對(duì)平均高度提供一種算法，相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積分方法。如果我們用兩端的算術(shù)平均作為平均高度的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式 (4-1)便是我們所熟悉的梯形公式（圖4-2）。而如果改用區(qū)間中點(diǎn)的“高度”近似地取代平均高度，

3、則可導(dǎo)出所謂中矩形公式（簡(jiǎn)稱(chēng)矩形公式） (4-2)更一般地，我們可以在區(qū)間上適當(dāng)選取某些節(jié)點(diǎn)，然后用加權(quán)平均得到平均高度的近似值，這樣構(gòu)造出的求積公式具有下列形式： 圖4-1 圖4-2 (4-3)式中稱(chēng)為求積節(jié)點(diǎn)；成為求積系數(shù)，亦稱(chēng)伴隨節(jié)點(diǎn)的權(quán)。權(quán)僅僅與節(jié)點(diǎn)的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)的具體形式。這類(lèi)由積分區(qū)間上的某些點(diǎn)上處的函數(shù)值的線性組合作為定積分的近似值的求積公式通常稱(chēng)為機(jī)械求積公式，它避免了Newton-Leibnitz公式尋求原函數(shù)的困難。對(duì)于求積公式(4-3)，關(guān)鍵在于確定節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的系數(shù)。1.2 代數(shù)精度的概念由Weierstrass定理可知，對(duì)閉區(qū)間上任意的連續(xù)函數(shù)，都可用多

4、項(xiàng)式一致逼近。一般說(shuō)來(lái)，多項(xiàng)式的次數(shù)越高，逼近程度越好。這樣，如果求積公式對(duì)階多項(xiàng)式精確成立，那么求積公式的誤差僅來(lái)源于階多項(xiàng)式對(duì)連續(xù)函數(shù)的逼近誤差。因此自然有如下的定義定義4.1 如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式均準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，則稱(chēng)該求積公式具有次代數(shù)精度。例1 判斷求積公式的代數(shù)精度。解 記因?yàn)樗郧蠓e公式具有5次代數(shù)精度。1.3插值型的求積公式最直接自然的一種想法是用在上的插值多項(xiàng)式代替，由于代數(shù)多項(xiàng)式的原函數(shù)是容易求出的，我們以在上的積分值作為所求積分的近似值，即這樣得到的求積分公式稱(chēng)為插值型求積公式。通常采用Lagrange插值。設(shè)上有個(gè)互異節(jié)點(diǎn)，的次

5、Lagrange插值多項(xiàng)式為其中，插值型求積公式為 (4-4)其中?？煽闯?，僅由積分區(qū)間與插值節(jié)點(diǎn)確定，與被積函數(shù)的形式無(wú)關(guān)。求積公式(4-4)的截?cái)嗾`差為 (4-5)定義4.2 求積公式如其系數(shù)，則稱(chēng)此求積公式為插值型求積公式。定理4.1 形如(4-3)的求積公式至少有次代數(shù)精度的充分必要條件是插值型的。證明 如果求積公式(4-3)是插值型的，由公式(4-5)可知，對(duì)于次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，其余項(xiàng)等于零，因而這時(shí)求積公式至少具有次代數(shù)精度。反之，如果求積公式(4-3)至少具有次代數(shù)精度，那么對(duì)于插值基函數(shù)應(yīng)準(zhǔn)確成立，并注意到，即有所以求積公式(4-3)是插值型的。1.4 求積公式的收斂性與穩(wěn)定

6、性定義4.3 在求積公式(4-3)中，若其中，則稱(chēng)求積公式(4-3)是收斂的。實(shí)際使用任何求積公式時(shí)，除截?cái)嗾`差外，還有舍入誤差，因此我們必須研究其數(shù)值穩(wěn)定性。在求積公式(4-3)中，由于計(jì)算可能產(chǎn)生誤差，實(shí)際得到，即，記如果對(duì)任給正數(shù)，只要誤差充分小就有 (4-6)它表明求積公式(4-3)計(jì)算是穩(wěn)定的，由此給出：定義4.4 對(duì)任給，若存在，只要就有(4-6)成立，則稱(chēng)求積公式(4-3)是穩(wěn)定的。定理4.2 若求積公式(4-3)中系數(shù)，則此求積公式是穩(wěn)定的；若有正有負(fù)，計(jì)算可能不穩(wěn)定。證明 對(duì)任給，若取，對(duì)都有，則有注意對(duì)任何代數(shù)精度的求積公式均有可見(jiàn)時(shí)，有由定義4.4可知求積公式(4-3)是

7、穩(wěn)定的。若有正有負(fù)時(shí)，假設(shè)，且，有它表明初始數(shù)據(jù)的誤差可能會(huì)引起計(jì)算結(jié)果誤差的增大，即計(jì)算可能不穩(wěn)定。2 Newton-Cotes公式2.1 Cotes系數(shù)被積函數(shù)在積分區(qū)間內(nèi)變化平緩，可用等距節(jié)點(diǎn)插值公式近似。將積分區(qū)間劃分為等分，步長(zhǎng)，等距節(jié)點(diǎn)。此時(shí)求積公式(4-4)中的積分系數(shù)可得到簡(jiǎn)化作變換，則有令則，求積公式(4-4)可簡(jiǎn)化為 (4-7)稱(chēng)為階Newton-Cotes公式，簡(jiǎn)記為N-C公式，稱(chēng)為Cotes系數(shù)。由的表達(dá)式可看出，它不但與被積函數(shù)無(wú)關(guān)，而且與積分區(qū)間也無(wú)關(guān)。因此可將Cotes系數(shù)事先列成表格供查用（見(jiàn)表4-1）。N-C公式的截?cái)嗾`差為 (4-8)時(shí) (4-9)為梯形公式

8、時(shí) (4-10)為辛普生公式。時(shí) (4-11)為Cotes公式。表4-112345678從表4-1可看出，當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了負(fù)系數(shù)，由定理4.2可知，實(shí)際計(jì)算中將使舍入誤差增大，并且往往難以估計(jì)。從而Newton-Cotes公式的收斂性和穩(wěn)定性得不到保證，因此實(shí)際計(jì)算中不用高階Newton-Cotes公式。2.2 偶階求積公式的代數(shù)精度作為插值型的求積公式，階的牛頓-柯特斯公式至少具有次的代數(shù)精度。求積公式的代數(shù)精度能否進(jìn)一步提高呢？定理4.3 當(dāng)階為偶數(shù)時(shí)，公式(4-7)至少具有次代數(shù)精度。證明 我們只要驗(yàn)證，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，N-C公式對(duì)的余項(xiàng)為零。按余項(xiàng)公式(4-8)，由于這里，從而引進(jìn)變換，并注意到

9、，有當(dāng)為偶數(shù)，則為整數(shù)，再令，進(jìn)一步有因?yàn)楸环e函數(shù)為奇函數(shù)。 2.3 幾種低階求積公式的余項(xiàng)梯形求積公式的余項(xiàng)為由于在上不變號(hào)，利用積分中值定理有 (4-12)Simpson公式的余項(xiàng)為這里。構(gòu)造次數(shù)不超過(guò)3的多項(xiàng)式，使?jié)M足由于Simpson公式具有三次代數(shù)精度，它對(duì)于這樣構(gòu)造的三次式是準(zhǔn)確的，即所以由第二章的例6，可知因在上保號(hào)，應(yīng)用積分中值定理有 (4-13)3 復(fù)化求積公式前面導(dǎo)出的誤差估計(jì)式表明，用N-C公式計(jì)算積分近似值時(shí)，步長(zhǎng)越小，截?cái)嗾`差越小。但縮小步長(zhǎng)等于增加節(jié)點(diǎn)數(shù)，亦即提高插值多項(xiàng)式的次數(shù)，Runge現(xiàn)象表明，這樣并不一定能提高精度。理論上已經(jīng)證明，當(dāng)時(shí)，N-C公式所求得的近

10、似值不一定收斂于積分的準(zhǔn)確值，而且隨著的增大，N-C公式是不穩(wěn)定的。因此，實(shí)際中不采用高階N-C公式，為提高計(jì)算精度，可考慮對(duì)被積函數(shù)用分段低次多項(xiàng)式插值，由此導(dǎo)出復(fù)化求積公式。3.1 復(fù)化梯形公式將區(qū)間劃分為等分，分點(diǎn)，在每個(gè)區(qū)間 上采用梯形公式，則得 (4-14)記 (4-15)稱(chēng)為復(fù)化梯形公式，其余項(xiàng)為由于，且所以存在使于是復(fù)化梯形公式余項(xiàng)為 (4-16)從式(4-16)可以看出，余項(xiàng)誤差是階，所以當(dāng)，有，即復(fù)化梯形公式是收斂的。事實(shí)上只要，則可得收斂性，因?yàn)橛?4-15)得所以復(fù)化梯形公式(4-15)收斂。此外，的求積系數(shù)為正，由定理4.2知復(fù)化梯形公式是穩(wěn)定的。3.2 復(fù)化辛普森公式

11、將區(qū)間劃分為等分，在每個(gè)區(qū)間上采用辛普森公式，記則得 (4-17)記 (4-18)稱(chēng)為復(fù)化辛普森求積公式，其余項(xiàng)由(4-13)得于是當(dāng)時(shí)，與復(fù)化梯形公式相似有 (4-19)可以看出誤差階是，收斂性是顯然的。事實(shí)上，只要，則有此外，由于中求積系數(shù)均為正數(shù)，故知復(fù)化辛普森求積公式計(jì)算穩(wěn)定。例2 根據(jù)函數(shù)表4-1表4-101用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式計(jì)算的近似值，并估計(jì)誤差。解 由復(fù)化梯形公式由復(fù)化辛普森公式與準(zhǔn)確值比較，顯然用復(fù)化Simpson公式計(jì)算精度較高。為了利用余項(xiàng)公式估計(jì)誤差，要求的高階導(dǎo)數(shù)，由于所以有于是由復(fù)化梯形誤差公式(4-16)得由復(fù)化辛普森誤差公式(4-19)得例3 若用復(fù)

12、化求積分公式計(jì)算積分的近似值，要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，應(yīng)取多大？解 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有于是要求計(jì)算結(jié)果有四位有效數(shù)字，即要求誤差不超過(guò)。又因?yàn)橛墒?4-16)得即，開(kāi)方得。因此若用復(fù)化梯形公式求積分，應(yīng)等于41才能達(dá)到精度。若用復(fù)化Simpson公式，由式(4-19)即得。故應(yīng)取。4龍貝格求積公式4.1梯形公式的逐次分半算法如前所述，復(fù)化求積公式的截?cái)嗾`差隨著步長(zhǎng)的縮小而減少，而且如果被積函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)容易計(jì)算和估計(jì)時(shí)，由給定的精度可以預(yù)先確定步長(zhǎng)，不過(guò)這樣做常常是很困難的，一般不值得推崇。實(shí)際計(jì)算時(shí)，我們總是從某個(gè)步長(zhǎng)出發(fā)計(jì)算近似值，若精度不夠可將步長(zhǎng)逐次分半以提高近似值，直到求得滿足精度要求

13、的近似值。設(shè)將區(qū)間分為等分，共有個(gè)分點(diǎn)，如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點(diǎn)增至個(gè)，我們將二分前后兩個(gè)積分值聯(lián)系起來(lái)加以考慮。注意到每個(gè)子區(qū)間經(jīng)過(guò)二分只增加了一個(gè)分點(diǎn)，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為注意，這里代表二分前的步長(zhǎng)，將每個(gè)子區(qū)間上的積分值相加得即 (4-20)這表明，將步長(zhǎng)由縮小為時(shí)，等于的一半再加新增加節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值乘以當(dāng)前步長(zhǎng)。算法4.11輸入2置3置，對(duì)45若，輸出，停機(jī)；否則，轉(zhuǎn)3。4.2 李查遜（Richardson）外推法假設(shè)用某種數(shù)值方法求量的近似值，一般地，近似值是步長(zhǎng)的函數(shù)，記為，相應(yīng)的誤差為 (4-21)其中是與無(wú)關(guān)的常數(shù)。若用代替(4-21)中的，則得 (4

14、-22)式(4-22)減去式(4-21)乘以，得取滿足，以除上式兩端，得 (4-23)其中仍與無(wú)關(guān)。令由式(4-23)，以作為的近似值，其誤差至少為，因此收斂于的速度比快。不斷重復(fù)以上作法，可以得到一個(gè)函數(shù)序列 (4-24)以近似，誤差為。隨著的增大，收斂速度越來(lái)越快，這就是Richardson外推法。4.3 龍貝格求積公式由前面知道，復(fù)化梯形公式的截?cái)嗾`差為。進(jìn)一步分析，我們有如下歐拉麥克勞林（Euler-Maclaurin）公式：定理4.4 設(shè)，則有其中系數(shù)與無(wú)關(guān)。把李查遜外推法與歐拉麥克勞林公式相結(jié)合，可以得到求積公式的外推算法。特別地，在外推算法式(4-24)中，取，并記，則有 (4-

15、25)經(jīng)過(guò)次加速后，余項(xiàng)便取下列形式： (4-26)上述處理方法通常稱(chēng)為李查遜（Richardson）外推加速方法。為研究Romberg求積方法的機(jī)器實(shí)現(xiàn)，引入記號(hào)：以表示二分次后求得的梯形值，且以表示序列的次加速值，則依以上遞推公式得到稱(chēng)為龍貝格求積算法。Romberg公式的計(jì)算過(guò)程見(jiàn)下表4-2表4-201234算法4.2(1) 輸入(2) 置(3) 計(jì)算對(duì)(4) ，輸出停機(jī)；否則，返回(3)。例4 用Romberg算法計(jì)算積分。解 利用逐次分半算法(4-20)和Romberg算法(4-25)，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4-3。表4-300.10.0.20.30.0.0.0.40.0.0.50.0.0.0

16、.5 高斯求積公式5.1 一般理論等距節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式，雖然計(jì)算簡(jiǎn)單，使用方便，但是這種節(jié)點(diǎn)等距的規(guī)定卻限制了求積公式的代數(shù)精度。試想如果對(duì)節(jié)點(diǎn)不加限制，并適當(dāng)選擇求積系數(shù)，可能會(huì)提高求積公式的精度。Gauss型求積公式的思想也正如此，亦即在節(jié)點(diǎn)數(shù)固定時(shí)，適當(dāng)?shù)剡x取節(jié)點(diǎn)與求積系數(shù)，使求積分公式具有最高精度。設(shè)有個(gè)互異節(jié)點(diǎn)的機(jī)械求積分公式 (2-27)具有次代數(shù)精度，那么有取，式(1)精確成立，即 (2-28)式(2)構(gòu)成階的非線性方程組，且具有個(gè)未知數(shù)，所以當(dāng)給定后，只要，即時(shí)，方程組有解。這表明式個(gè)節(jié)點(diǎn)的求積公式的代數(shù)精度可達(dá)到。另一方面，對(duì)式(1)，不管如何選擇與，最高精度不可能超過(guò)。

17、事實(shí)上，對(duì)任意的互異節(jié)點(diǎn)，令有，然而。定義4 如果求積分公式(4-27)具有次代數(shù)精度，則稱(chēng)這組節(jié)點(diǎn)為Gauss點(diǎn)，相應(yīng)公式(4-27)稱(chēng)為帶權(quán)的高斯求積公式。定理5 插值型求積公式的節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條件是以這些節(jié)點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式與任何次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式帶權(quán)正交，即 (4-29)證明 必要性。設(shè)，則，因此，如果是高斯點(diǎn)，則式(1)對(duì)于精確成立，即有故式(4-29)成立。再證充分性。對(duì)于，用除，記商為，余式為，即，其中，由式(4-29)可得 (4-30)由于所給求積公式(4-27) 是插值型的，它對(duì)于是精確成立的，即再注意到，知，從而由(4-30)有可見(jiàn)求積公式(4-27)對(duì)一切次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式精確成立，因此為高斯點(diǎn)。證畢。定理表明在上關(guān)于權(quán)的正交多項(xiàng)式系中的次多項(xiàng)式的零點(diǎn)就是求積公式(4-27)的高斯點(diǎn)。因此，求Gauss點(diǎn)等價(jià)于求上關(guān)于權(quán)的次正交多項(xiàng)式的個(gè)實(shí)根。有了求積節(jié)點(diǎn)后，可如下確定求積系數(shù)其中。下面討論高斯求積公式的余項(xiàng)。設(shè)在節(jié)點(diǎn)上的次Hermite插值多項(xiàng)式為，即由Hermite余項(xiàng)公式有定理6 高斯求積公式的求積系數(shù)全是正的。證明 由于具有高斯節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式具有次代數(shù)精度，所以對(duì)于多項(xiàng)式，公式準(zhǔn)確成立，即推論 高斯求積公式是穩(wěn)定的。定理7 設(shè)，高斯求積公式是收斂的，即6 數(shù)值微分在微積分學(xué)里，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般來(lái)講是容易辦到