數(shù)字信號處理-原理與實踐(方勇)習題答案三章全

1、第一章 數(shù)字信號處理基本概念第一章習 題1-1 有一個連續(xù)信號，式中，（） 求出的周期；（） 用采樣間隔對進行采樣，寫出采樣信號的表達式；（） 畫出對應(yīng)的時域離散信號（序列）的波形，并求出的周期。解：（1）的周期是（2） （3）的數(shù)字頻率為，周期。 ，畫出其波形如題1-1圖所示。 題1-1圖1-2 設(shè)，其中為采樣周期。（1）信號的模擬頻率為多少？（2）和的關(guān)系是什么？（3）當時，的數(shù)字頻率為多少？解：（1）的模擬頻率。（2）和的關(guān)系是：。（3）當時，。1-3 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1），為常數(shù)；（2）。解： （1），這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是；（2），這

2、是無理數(shù)，因此是非周期序列。1-4 研究一個線性時不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為指數(shù)序列，。對于矩陣輸入序列，求出輸出序列，并用MATLAB計算，比較其結(jié)果。分析：輸入，線性時不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列與單位脈沖響應(yīng)的卷積，用公式表示為為了計算輸出序列的第個值，必須計算出乘積，并將所得到的序列值相加。解：輸出序列可以分成三種情況來求解：（） 當時，由于和的非零取樣互不重疊，因此。（） 當時，從到，和的非零取樣值有重疊，因此 （） 當時，和重疊的非零取樣值從到，因此 所以 利用MATLAB求其響應(yīng),程序如下：a=1/2;N=20;n=0:N-1;c=1;d=1 -a;x=ones(1,N);y=fi

3、lter(c,d,x);stem(n,y);ylabel('y(n)');題1-4圖 輸出相應(yīng)序列1-5 設(shè)，求。解： ，所以， ，其Z反變換為顯然，在處，的極點被的零點所抵消，如果，則的收斂域比與收斂域的重疊部分要大。1-6 求下列序列的變換及其收斂域，并用MATLAB畫出零極點示意圖。（） 雙邊指數(shù)序列，；（） 正弦調(diào)制序列，。解：（1）雙邊指數(shù)序列可寫為其變換為 ，是一個雙邊序列，其收斂域為表示極點，極點為，零點為。其極點、零點圖如圖所示，圖中表示極點，表示零點。利用MATLAB畫出其零極點，如題1-6圖(a)所示：a=3;y=1-a*a;b=0 y 0;a=-a y -

4、a;zplane(b,a);題1-6圖(a) 零極點圖（2）， 我們將其分解為標準的指數(shù)序列形式，然后根據(jù)變換的求和定義式求得其對應(yīng)的變換、收斂域并畫出零極點圖。其變換為收斂區(qū)域為，極點為，零點為，。其對應(yīng)的零極點圖如題1-6圖所示。利用MATLAB畫出其零極點,如題1-6圖(b)所示：A=1;r=1;w0=4*pi;w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w);b=A*cos(w) -y ;a=1 -x r*r;zplane(b,a);題1-6圖(b) 零極點圖討論 通常將正弦序列信號展開為兩個基本復(fù)指數(shù)序列和或差的形式，然后按照變換定義式求起對應(yīng)的變換和收斂域。

5、對于變換表達式可表示為等比級數(shù)和的形式的序列，其變換的收斂域是保證等比小于1，如本例中要保證，可得收斂域為。題1-6圖 零極點示意圖1-7 已知， 求其變換及其收斂域。并用MATLAB求解。解：這是一個雙邊序列，其變換為，MATLAB求解程序如下： F=ztrans(sym('ak+bk') 結(jié)果為：F =- z/(a - z) - z/(b - z)1-8 求,的逆變換，并用MATLAB求解。解：由部分分式展開可得 , 因為。所以得MATLAB求解：程序如下：syms k z;Fz=5*z/(z2+z-6);fk=iztrans(Fz,k)運行結(jié)果：fk =2k - (-3)

6、k1-9 判斷系統(tǒng)（1），（2）是否為時不變系統(tǒng)，并利用MATLAB驗證。解：（1）令輸入為，輸出為而，所以系統(tǒng)是時變的。MATLAB驗證：令 ，程序如下：x=1 2 1;n0=1;n=-1:1;x0=2 1;%x0為x橫坐標非負的值y=cumsum(x0);Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('輸入');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel('n');ylab

7、el('y(n)');title('輸出');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('輸入');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('輸出');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,4);n=1:2;stem

8、(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('輸出');axis(-1,3,0,4);題1-9圖(a) 時變性驗證（2）令輸入，輸出而，所以系統(tǒng)為時變的。MATLAB驗證：令，程序如下：x=1 2 1;n0=1;for i=1:length(x) y(1,i)=i*x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)X(1,i+n0)=x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)+n0y_(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0);endfor j=1:length(x) Y(1,

9、j)=j*X(1,j);endsubplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)'

10、;);title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('輸出');axis(0,4,0,6);題1-9圖(b) 時變性驗證1-10 利用MATLAB驗證例題1-27（1）中的系統(tǒng)是否為線性時不

11、變系統(tǒng)。解：令輸入為，則輸出為，而，所以，系統(tǒng)為時不變系統(tǒng)。又因為 而，所以系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。MATLAB驗證：: 時變性驗證：令，程序如下：a=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;x=1 2 3;y=a*x+b;for i=1:size(x,2)x_(1,i+n0)=x(1,i);y_2(1,i+n0)=y(1,i);endx_=zeros(1:n0),x_(n0+1:end);y_1=a*x_+b;y_1=zeros(1:n0),y_1(n0+1:end);subplot(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n

12、)');title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1);xlabe

13、l('n');ylabel('Y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('輸出');axis(0,4,0,6);題1-10圖(a) 時變性驗證: 線性驗證：令，,程序如下：x1=1 2 3 2;x2=3 2 1 1;a=1;b=2;p=2;q=1;n=0:3;y1=a*x1+b;y2=a*x2+b;Y1=a*(x1*p+q*x2)+b;Y2

14、=p*y1+q*y2;subplot(1,2,1);stem(n,Y1);xlabel('n');ylabel('Y1(n)');axis(0,3,0,14);subplot(1,2,2);stem(n,Y2);xlabel('n');ylabel('Y2(n)');題1-10圖(b) 線性性驗證111 已知系統(tǒng)函數(shù)，試用MATLAB畫出該系統(tǒng)的幅頻特性。解： 利用MATLAB中的freqz()函數(shù)可以畫出該系統(tǒng)的幅頻特性曲線，如題1-11圖所示。 取10。MATLAB程序如下：N=10;b=1 zeros(1,N-1) 1;a=

15、1 zeros(1,N);OMEGA=0:pi/150:2*pi;H=freqz(b,a,OMEGA);plot(OMEGA,abs(H);題1-11圖 幅頻響應(yīng)特性1-12 一般的滑動平均由下列方程定義 該系統(tǒng)計算輸出序列的第個樣本時是將其作為輸入序列第個樣本前后的個樣本的平均。求：（1）該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)； （2）求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； （3）對，求和，并用MATLAB畫出其圖形。解： （1）（2）因為 因此頻率響應(yīng)就是利用等比級數(shù)求和公式 可以得到：（3）當，時，利用MATLAB畫出其頻率響應(yīng)圖：由 得 所以MATLAB程序如下：M1=0;M2=4;X=1/(M1+M2+1);b=X zer

16、os(1,M2) -X;a=1 -1;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);運行結(jié)果如題1-12圖所示：題1-12圖 頻率響應(yīng)曲線圖1-13 設(shè)某線性時不變離散系統(tǒng)的差分方程為，試求它的單位脈沖響應(yīng)。并討論其因果性和穩(wěn)定性，并用MATLAB計算，與理論值進行比較。解：對上式兩邊取變換，得到：極點：，當ROC：時，系統(tǒng)因果不穩(wěn)定，；當ROC：時，系統(tǒng)非因果穩(wěn)定，；當ROC：時，系統(tǒng)非因果不穩(wěn)定，。1-1

17、4 給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，并說明理由，如果是穩(wěn)定系統(tǒng)，通過MATLAB畫出其零極點圖。（1）（2）（3）解： （1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因為輸出只與時刻的和時刻以前的輸入有關(guān)。如果，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB畫出零極點,如題1-14圖(a)所示：N0=100;X=N0-1;b=1 zeros(1,X-1) -X;a=1 -1;zplane(b,a);題1-14圖(a) 零極點示意圖（2）該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因為時刻的輸出還和時刻以后的輸入有關(guān)。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB畫出零極點圖如下：b=1 1;a=1 0;zplane(b,a)

18、;題1-14圖(b) 零極點示意圖（3）系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因為時刻輸出和時刻以后的輸入有關(guān)。如果，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1-15 求下列單位脈沖響應(yīng)的變換及收斂域，用MATLAB畫出零極點分布圖。 （1）、 （2）、 （3）、解：（1）由變換的公式可得其變換為：=，。利用MATLAB畫出其零極點，程序及運行結(jié)果如題1-15圖(a)所示：b=1 0;a=1 -0.2;zplane(b,a);題1-15圖(a) 零極點示意圖（2）利用變換公式可得：其變換為, MATLAB畫出零極點如下題1-15圖(b)所示：w0=2*pi;x=exp(j*w0);b=1;a=1 -x;zplane(b,a);題1-1

19、5圖(b) 零極點示意圖（3） 因為，由（2）知的變換為 的變換為所以得出的變換經(jīng)化簡得： , 利用MATLAB畫出其零極點如下題1-15圖(c)所示: w0=pi/4;b=1 -cos(w0);a=1 -2*cos(w0) 1;zplane(b,a);題1-15圖(c) 零極點示意圖1-16 已知系統(tǒng)函數(shù)如下：，用MATLAB編程判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定.解： MATLAB程序如下：A=2 -2.9 0.1 2.3 -1.5P=roots(A);M=max(abs(P);if(M<1) disp('系統(tǒng)穩(wěn)定')else disp('系統(tǒng)不穩(wěn)定')end運行結(jié)果如

20、下：A = 2.0000 -2.9000 0.1000 2.3000 -1.5000系統(tǒng)穩(wěn)定1-17 設(shè)一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為 并且已知初始條件為，輸入，利用MATLAB求系統(tǒng)的輸出。解：%用迭代法求取10點數(shù)據(jù)y=zeros(1,10);i=1:10;y(1)=-2-3+1;y(2)=2*y(1)+3+1+4;y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2;y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.22;for n=5:10 y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2(n-2);endstem(i-1,y);xlabel('n');ylabe

21、l('y(n)');結(jié)果如題1-17圖所示：題1-17圖 輸出響應(yīng)1-18 一系統(tǒng)的差分方程描述如下：試確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并求出輸入序列為的穩(wěn)態(tài)輸出。解：由差分方程可得出， 其特征根為，所以該系統(tǒng)為一穩(wěn)定系統(tǒng)。當輸入序列為時，由穩(wěn)態(tài)輸出的定義，我們可以計算出：，。所以其穩(wěn)態(tài)輸出為 用MATLAB畫出其頻率響應(yīng):程序如下：b=1 0 -1;a=1 0 0.81;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(a

22、ngle(H);運行結(jié)果:題1-18圖 頻率響應(yīng)曲線1-19 考慮一個三階系統(tǒng)輸入，初始狀態(tài)，和，利用狀態(tài)方程方法求出。解： 定義，差分方程可以寫為如下狀態(tài)方程的形式：可計算出，。其MATLAB程序如下：%狀態(tài)方程求解系統(tǒng)響應(yīng)演示程序A=0 1 0;0 0 1;-0.8 0.2 0.4;B=0;0;5;C=-0.8 0.2 0.4;D=5;q0=5;4;2;n=0:1:25;X=ones(size(n)'Y, s=dlsim(A,B,C,D,X,q0);stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');grid;題1-19圖 輸出

23、響應(yīng)第二章21 試求如下序列的傅里葉變換：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解： （1） （2） （3）， （4）= （5） （6） 22 設(shè)信號，它的傅里葉變換為，試計算(1)（）（）。解： （）（），（）23 已知求的逆傅里葉變換。解：24 設(shè)和分別是和的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換。（1）（2）（3）（4）解：(1) ， 令則：(2)(3)，令，則： (4) 由，得所以 25 已知序列，求其傅里葉變換DTFT。解：26 設(shè)，試求的共軛對稱序列和共軛反對稱序列；并分別用圖表示。解： 圖形如下題2-6圖所示：題2-6圖 與序列圖27 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，輸入序列為完成下面各題：（

24、1） 求出系統(tǒng)輸出序列；（2） 分別求出、和的傅里葉變換。解：（1）（2） 28 若序列是因果序列，其傅里葉變換的實部如下式： 求序列及其傅里葉變換。解：29 試用定義計算周期為5，且一個周期內(nèi)的序列的DFS。解：210 求出周期序列的DFS。 解：由題知周期為4 211 已知周期為的信號，其DFS為，證明DFS的調(diào)制特性。證明： 命題得證。212 設(shè)將以4為周期進行周期延拓，形成周期序列，畫出和的波形，求出的離散傅里葉級數(shù)和傅里葉變換。解： 以4為周期。 和波形圖如下題2-12圖所示：題2-12圖 和波形圖213 如果是一個周期為的周期序列，其DFS為，將看作周期為2的周期序列，其DFS為。

25、試利用確定。解： 按照題意，可以寫出： = + 令，則 + 所以 214 根據(jù)下列離散時間信號的傅里葉變換，確定各對應(yīng)的信號。（1）（2）解： （1） 因此（2）因為含有沖激函數(shù)，因此，對應(yīng)的信號為周期信號，設(shè)為，其周期為，DFS為，則有：的DTFT，有 即 而已知可見即所以，得是以為周期的周期函數(shù)。215 計算以下諸序列的點DFT，在變換區(qū)間內(nèi)，序列定義為（1） （2），（3） （4）,其中（5） ，其中解： （1）（2）（3）， （4） 由DFT的定義直接計算序列的DFT，對變換采樣。由于，對 在， 上采樣，求得: （5） =,216 已知，求其點DFT。解: ，217 設(shè)，求其原序列。解

26、： 218 已知下列，求，其中。解：219 已知序列的4點離散傅里葉變換為，求其復(fù)共軛序列的離散傅里葉變換。解：220 證明DFT的對稱定理，即假設(shè)證明： 證明： 221 如果，證明DFT的初值定理證明：由IDFT定義式知222 證明離散帕斯維爾定理。若，則證明： 223 令表示點序列的點離散傅里葉變換。本身也是個點序列。如果計算的離散傅里葉變換得一序列，試用求。解：按照題意，可以寫成 因為 所以 224 一個長度為8的有限時寬序列的8點離散傅里葉變換，如題2-24圖所示。 令題2-24圖 求的16點DFT，并畫出其圖形。解：按照題意，當為奇數(shù)時為零，故可寫出而 所以 即所以的圖形如題2-26

27、（a）圖所示：題2-26（a）圖225 已知序列是的6點DFT。（1） 若有限長序列的6點DFT 是,求。 （2） 若有限長序列的3點DFT 滿足，求。解： （1）序列的DFT由的DFT與復(fù)指數(shù)相乘組成，這相當于是將圓周移位了4點：，所以：（2）序列長度為3，DFT變換為，其中是 的6點DFT。由于系數(shù)是對在單位圓上等間隔采樣6點的結(jié)果，所以，相當于是對在單位圓上等間隔采樣3點，所以在區(qū)間外,因而;就得到。226 在很多實際應(yīng)用中都需要將一個序列與窗函數(shù)相乘。設(shè)是一個點的序列，是漢明窗：試用的DFT求加窗序列的DFT。解：首先用復(fù)指數(shù)表示漢明窗因此如果則所以加窗序列的DFT為227 已知求和；

28、欲使兩卷積相同，則循環(huán)卷積的長度的最小值應(yīng)為多少？解： ， L=4+2-1=5 228 已知序列，若是與它本身的4點循環(huán)卷積，求及其4點的。解：的4點： 229 和都是長度為6點的有限長序列，和分別是和的8點DFT。若組成乘積，對作8點IDFT得到序列，問在哪些點上等于以下線性卷積：解： 和都是長度為6點，則的長度為11點，而為 與的8點循環(huán)卷積。根據(jù)線性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系，8點的循環(huán)卷積中，前3個點將由線性卷積的疊加，而后5個點等于線性卷積。230 序列 （1） 求的4點DFT；（2） 若是與它本身的4點循環(huán)卷積，求及其4點DFT；（3） ，求與的4點循環(huán)卷積。解： 由題可知：（1） （2

29、） 得到 即 （3）由題知 得 231 序列為 計算的5點DFT，然后對得到的序列求平方：求的5點DFT反變換。解：序列的5點DFT等于乘積，所以是與本身5點圓周卷積的結(jié)果： 一個簡單的計算圓周卷積的方法是先進行線性卷積，然后將結(jié)果疊加： 與本身的線性卷積的結(jié)果為 用表格法計算圓周卷積，就會得到 題2-31表0 1 2 3 45 6 74 4 1 4 20 1 00 1 0 0 0 0 0 04 5 1 4 2 所以232 考慮兩個序列：若組成，其中、分別是和的5點DFT，對作DFT反變換得到序列，求序列。解： 因為是兩個5點DFT和的乘積，所以是和的5點圓周卷積。可以用圖解法計算圓周卷積，也

30、可以用先線性卷積再重疊的方法，還可以用先將DFT相乘再對乘積作DFT反變換的方法。本題中，是一個簡單序列，我們可以用分析法。和的5點圓周卷積是： ，因為，且，5點圓周卷積是： ，圓周卷積等于圓周移位序列的值從到求和的結(jié)果，因為是（可以看作是長度為5 的序列）可以通過反向讀取序列得到，從開始：是的前5個 值相加的結(jié)果，得到。將此序列圓周右移1后，就有前4個值相加后得到。繼續(xù)求解，求得：,。233 兩個有限長序列和的零值區(qū)間為;。對每個序列作20點DFT，得和，如果，。，。試問在哪些點上？為什么？解： 設(shè)，而，的長度為27，的長度為20，且 當上述周期延拓序列中無混疊的點上有：，234 兩個有限長

31、序列和，在區(qū)間以外的值為，兩個序列圓周卷積后得到的新序列為其中。若僅在時有非零值，確定為哪些值時，一定等于和的線性卷積？解： 由于，等于和的線性卷積的點是在區(qū)間內(nèi)，圓周移位等于線性移位的那些點。由于僅僅在區(qū)間內(nèi)有非零值，我們可以看到雜區(qū)間內(nèi)。所以當時線性卷積與圓周卷積相等。235 求證循環(huán)卷積定理。設(shè)有限長序列和的長度分別為和，取，且和分別是兩個序列的點DFT。（1） 若，求證；（2） 若，求證：。證明：（1）點DFT等于的序列為:, ,需要用和來表示，由于， 將代入到的表達式中，有：，, ,交換求和順序，則，, ,括號內(nèi)的項等于，有：，, , =（2） 由定義， 。若想用和 來表示，將下面的

32、表達式代入上式得：，交換求和順序，上式變成： 第二個求和就是，有： 所以，是和圓周卷積的倍： 問題得證。236 若和都是長為點的序列，和分別是兩個序列的點DFT。證明： 證明：令和分別是和的點DFT ，是的點DFT，則的DFT是，由性質(zhì)有 ，讓計算，就可以得到結(jié)論：237 已知實序列的點DFT前個值為求其余三點的值。解：為實序列，滿足共軛對稱性，得其余三點： , 0 238 已知、是長度為4的實序列， ，求序列，。解：由，得：， 所以由上知 綜上可得：，239 已知序列是的6點DFT， 若有限長序列的6點DFT等于的實部，即，求。 解： 的實部是，為了計算的DFT反變換，我們需要計算的DFT反

33、變換。由于是的DFT，所以的DFT反變換是：，所以為：240 如何用一個點DFT變換計算兩個實序列和的點DFT變換？解： 兩個實序列的DFT可以由一個點DFT求得：首先，我們組成一個點復(fù)序列計算的點DFT后，利用DFT的共軛對稱性質(zhì)從中提取出和。實序列的DFT有共軛對稱性： 虛序列的DFT有共軛反對稱性：由于 是實序列的DFT：這是的共軛對稱部分。同樣，是虛序列的DFT： 這是的共軛反對稱性。241 一個有限長序列，設(shè)其變換是。如果在，點上對采樣，就得到一組DFT系數(shù)。求4點DFT等于這些采樣值的序列。解：對在單位圓上等間隔采樣4點將造成的混疊： 利用表格法計算上式中的求和，注意只有序列和在時

34、有非零值，所以有題2-41表0 1 2 34 5 6 7 1 1 1 11 1 0 0 1 1 0 00 0 0 0 2 2 1 1 242 設(shè)，試畫出時域基2FFT流圖，并根據(jù)流圖計算每個碟形運算的結(jié)果，最后寫出的序列值。解： 2FFT流圖如題2-42圖所示：題2-42圖 時域基2FFT流圖 243 已知序列=，用FFT蝶形運算方法計算其8點的DFT。畫出計算流圖，標出各節(jié)點數(shù)值。解： 用點DFT計算點的DFT 計算8點的DFT所以其計算流圖如題2-43圖所示：題2-43圖 FFT蝶形運算流圖244 設(shè)序列的長度為200，對其用時域基2FFT來計算DFT，請寫出第三級蝶形中不同的旋轉(zhuǎn)因子。解

35、: 由于序列的長度為200，所以取,得。又因為，第3級蝶形運算中不同的旋轉(zhuǎn)因子為： ， ， ，245 如果通用計算機的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要，每次復(fù)數(shù)加需要，用來計算點DFT，問直接計算需要多少時間。用FFT計算呢？照這樣計算，用FFT進行快速卷積對信號進行處理時，估算可實現(xiàn)實時處理的信號最高頻率。解： 當時，直接計算DFT的復(fù)數(shù)乘法運算次數(shù)為次直接計算1024點DFT需要時間為s用FFT計算1024點DFT所需計算時間為 快速卷積時，要計算一次點FFT（考慮到已計算好存入內(nèi)存），一次點IFFT和次頻域復(fù)數(shù)乘法。所以，計算1024點快速卷積的計算時間約為 所以，每秒鐘處理的采樣點數(shù)（即采樣速

36、率）次/秒。由采樣定理知，可實時處理的信號最高頻率為 應(yīng)當說明，實際實現(xiàn)時， 還要小一些。這是由于實際采樣頻率高于奈奎斯特速率，而且在采用重疊相加法時，重疊部分要計算兩次。重疊部分長度與長度有關(guān)，而且還有存取數(shù)據(jù)指令周期等。246 序列長240點，長10點。當采用直接計算法和快速卷積法（用基2FFT）求它們的線性卷積時，各需要多少次乘法？解： （1）已知直接線性卷積復(fù)乘的次數(shù)為 （次）（2）因為取?？焖倬矸e中復(fù)乘的次數(shù)： 1），需次復(fù)乘； 2），需次復(fù)乘； 3），需次復(fù)乘； 總的復(fù)乘的次數(shù)為：(次)247 設(shè)有限長序列的DFT為，我們可使用FFT來完成該運算.現(xiàn)假設(shè)已知，,如何利用FFT求原序

37、列。解： ， 因此，利用FFT求的步驟為：(1) 對求共軛(2) 對進行FFT變換(3) 對變換后的序列取共軛，并乘以即得到。248 已知和是兩個點實序列和的DFT，若要從和求和，為提高運算效率，試設(shè)計用一次點IFFT來完成。解： 為實序列。為共軛對稱序列，為共軛反對稱序列。將，作為序列的共軛對稱分量和共軛反對稱分量計算一次點IFFT得到由DFT的共軛對稱性，249 設(shè)是長度為的有限長實序列，為的點DFT。（1） 試設(shè)計用一次點DFT完成計算的高效算法。（2） 若已知，試設(shè)計用一次點IDFT實現(xiàn)求的點IDFT運算。解： 本題的解題思路就是DIF-FFT思想（1） 在時域分別抽取偶數(shù)點和奇數(shù)點得

38、到兩個點實序列和根據(jù)DIT-FFT思想，只要求得和的點DFT，再經(jīng)過簡單的一級碟形運算就可以得到的2點DFT。又為實，所以根據(jù)DFT的共軛對稱性，可用一次點DFT求得和，方法如下：令則2點可由、得到 這樣通過一次點DFT計算完成2點DFT（2） 設(shè),則過程如下由計算出，由，構(gòu)成點頻域序列其中，進行點IDFT得到由DFT的共軛對稱性由和定義得。250 一個3000點的序列輸入一個線性時不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)長度為60。為了利用快速傅里葉變換算法的計算效率，該系統(tǒng)用128點的離散傅里葉變換和離散傅里葉反變換實現(xiàn)。如果采用重疊相加法，為了完成濾波器運算，需要多少DFT？解： 采用重疊相加法，

39、將分成若干個長度為的不重疊的序列。若的長度為，則的長度為，所以DFT變換的長度。由題設(shè)，必須分成長度為的序列： 的長度為3600點，所以共有44個序列（其中最后一個序列僅有33個非零值）。為了計算卷積共需要：1 一個DFT用于計算。2 44個DFT用于的計算。3 44個用于 IDFT變換的計算。一共需要45個DFT變換和44個IDFT變換。2-51 已知信號，用DFT分析信號的頻譜。解：利用MATLAB分析信號的頻譜畫出頻譜圖如題2-51圖所示：N1=128;N2=512;ws=100;w1=10;w2=12;fs=ws/(2*pi);n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;xn1=exp(-

40、n1/10).*(cos(w1/ws*n1)+cos(w2/ws*n1);%128點有效x(n)數(shù)據(jù)%在128點有效數(shù)據(jù)不補零情況下的分辨率演示xk11=fft(xn1,N1);mxk11=abs(xk11(1:N1/2);figure(1);subplot(211);plot(n1,xn1);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=127');axis(0,128,-3,3);k1=(0:N1/2-1)*fs/N1;subplot(212);plot(k1,mxk11);xlabel('頻率 單位rad/s');

41、title('X1(k)的幅度譜');%在128點有效數(shù)據(jù)且補零至512點情況下分辨率演示xn2=xn1,zeros(1,N2-N1);xk12=fft(xn2,N2);mxk12=abs(xk12(1:N2/2);figure(2);subplot(211);plot(n2,xn2);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis(0,512,-3,3);k2=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k2,mxk12);xlabel('頻率 單位Hz')

42、;title('X1(k)補零后的幅度譜');%在512點有效數(shù)據(jù)下分辨率演示xn3=exp(-n2/10).*(cos(w1/ws*n2)+cos(w2/ws*n2);%512點有效x(n)數(shù)據(jù)xk2=fft(xn3,N2);mxk3=abs(xk2(1:N2/2);figure(3);subplot(211);plot(n2,xn3);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis(0,512,-3,3);k3=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k3,mxk3)

43、;xlabel('頻率 單位rad/s');title('512點有效數(shù)據(jù)的幅度譜');運行結(jié)果如題2-51圖：題2-51圖 頻譜圖252 設(shè)模擬信號，以時間間隔進行均勻采樣，假設(shè)從開始采樣，共采樣點。（1）求采樣后序列的表達式和對應(yīng)的數(shù)字頻率。（2）在此采樣下值是否對采樣失真有影響？（3）對進行點DFT，說明取哪些值時，DFT的結(jié)果能精確地反映 的頻譜。（4）若要求DFT的分辨率達到1，應(yīng)該采樣多長時間的數(shù)據(jù)？解： （1）采樣后序列的表達式為其對應(yīng)的數(shù)字頻率。（2）因為采樣頻率因此保證在一個周期內(nèi)抽樣四點（三點以上），無論取何值，根據(jù)抽樣定理，都可以由準確重建

44、。（3）對進行DFT，要DFT的結(jié)果能精確地反映的頻譜，根據(jù)，所以當時，就可以保證DFT結(jié)果的精確。（4）因為分辨率為因此若要求DFT的分辨率達到1，應(yīng)該采樣多的數(shù)據(jù)。253 用微處理機對實數(shù)序列做譜分析，要求譜分辨率，信號最高頻率為，試確定以下各參數(shù)：（1） 最小記錄時間；（2） 最大取樣間隔；（3） 最少采樣點數(shù)；（4） 在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的值。解： （1）已知 （2）（3）（4）頻帶寬度不變意味著采樣間隔不變，應(yīng)該使記錄時間擴大一倍為0.04s實現(xiàn)頻帶分辨率提高1倍。254 以的采樣率對最高頻率為的帶限信號采樣，然后計算的個采樣點的DFT，即，（1）對應(yīng)的模擬頻

45、率是多少？ 呢？（2）頻譜采樣點之間的間隔是多少？解： （1）采樣率，離散頻率與模擬頻率的關(guān)系是：，或。點DFT是對DTFT在個頻率點上的采樣： 所以，對應(yīng)的模擬頻率為 ， 或 時，序號對應(yīng)。對于要特別注意，因為具有周期性： 對應(yīng)的頻率為，。對應(yīng)的模擬頻率為 或 （2）頻譜采樣點之間的間隔為 第三章31 畫出級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：32 畫出級聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：33 已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，試畫出其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：將系統(tǒng)函數(shù)表達為實系數(shù)一階，二階子系統(tǒng)之和，即：由上式可以畫出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3-3圖所示：題3-3圖34 已知一FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，畫出該FIR濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)。

46、解： 因為，所以由第二類線性相位結(jié)構(gòu)畫出該濾波器的線性相位結(jié)構(gòu)，如題3-4圖所示：題3-4圖35 已知一個FIR系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：求用級聯(lián)形式實現(xiàn)的結(jié)構(gòu)流圖并用MATLAB畫出其零點分布及其頻率響應(yīng)曲線。解： 由轉(zhuǎn)移函數(shù)可知，且偶對稱，故為線性相位系統(tǒng)，共有5個零點，為5階系統(tǒng)，因而必存在一個一階系統(tǒng)，即為系統(tǒng)的零點。而最高階的系數(shù)為+1，所以為其零點。中包含項。所以：。 為一四階子系統(tǒng)，設(shè)，代入等式，兩邊相等求得，得出系統(tǒng)全部零點，如圖3-5（b）所示。 系統(tǒng)流圖如題3-5（a）圖所示。題3-5（a）圖MATLAB程序如下，結(jié)果如題3-5（b）圖所示： b=1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1; a=1; figure(1) zplane(b,a); figure(2); OMEGA=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OM