數(shù)字信號(hào)處理-原理與實(shí)踐(方勇)習(xí)題答案三章全

1、第一章 數(shù)字信號(hào)處理基本概念第一章習(xí) 題1-1 有一個(gè)連續(xù)信號(hào)，式中，（） 求出的周期；（） 用采樣間隔對(duì)進(jìn)行采樣，寫(xiě)出采樣信號(hào)的表達(dá)式；（） 畫(huà)出對(duì)應(yīng)的時(shí)域離散信號(hào)（序列）的波形，并求出的周期。解：（1）的周期是（2） （3）的數(shù)字頻率為，周期。 ，畫(huà)出其波形如題1-1圖所示。 題1-1圖1-2 設(shè)，其中為采樣周期。（1）信號(hào)的模擬頻率為多少？（2）和的關(guān)系是什么？（3）當(dāng)時(shí)，的數(shù)字頻率為多少？解：（1）的模擬頻率。（2）和的關(guān)系是：。（3）當(dāng)時(shí)，。1-3 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。（1），為常數(shù)；（2）。解： （1），這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是；（2），這

2、是無(wú)理數(shù)，因此是非周期序列。1-4 研究一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位脈沖響應(yīng)為指數(shù)序列，。對(duì)于矩陣輸入序列，求出輸出序列，并用MATLAB計(jì)算，比較其結(jié)果。分析：輸入，線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列與單位脈沖響應(yīng)的卷積，用公式表示為為了計(jì)算輸出序列的第個(gè)值，必須計(jì)算出乘積，并將所得到的序列值相加。解：輸出序列可以分成三種情況來(lái)求解：（） 當(dāng)時(shí)，由于和的非零取樣互不重疊，因此。（） 當(dāng)時(shí)，從到，和的非零取樣值有重疊，因此 （） 當(dāng)時(shí)，和重疊的非零取樣值從到，因此 所以 利用MATLAB求其響應(yīng),程序如下：a=1/2;N=20;n=0:N-1;c=1;d=1 -a;x=ones(1,N);y=fi

3、lter(c,d,x);stem(n,y);ylabel('y(n)');題1-4圖 輸出相應(yīng)序列1-5 設(shè)，求。解： ，所以， ，其Z反變換為顯然，在處，的極點(diǎn)被的零點(diǎn)所抵消，如果，則的收斂域比與收斂域的重疊部分要大。1-6 求下列序列的變換及其收斂域，并用MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn)示意圖。（） 雙邊指數(shù)序列，；（） 正弦調(diào)制序列，。解：（1）雙邊指數(shù)序列可寫(xiě)為其變換為 ，是一個(gè)雙邊序列，其收斂域?yàn)楸硎緲O點(diǎn)，極點(diǎn)為，零點(diǎn)為。其極點(diǎn)、零點(diǎn)圖如圖所示，圖中表示極點(diǎn)，表示零點(diǎn)。利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)，如題1-6圖(a)所示：a=3;y=1-a*a;b=0 y 0;a=-a y -

4、a;zplane(b,a);題1-6圖(a) 零極點(diǎn)圖（2）， 我們將其分解為標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)序列形式，然后根據(jù)變換的求和定義式求得其對(duì)應(yīng)的變換、收斂域并畫(huà)出零極點(diǎn)圖。其變換為收斂區(qū)域?yàn)?，極點(diǎn)為，零點(diǎn)為，。其對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)圖如題1-6圖所示。利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn),如題1-6圖(b)所示：A=1;r=1;w0=4*pi;w=2*pi;x=2*r*cos(w0);y=A*r*cos(w0-w);b=A*cos(w) -y ;a=1 -x r*r;zplane(b,a);題1-6圖(b) 零極點(diǎn)圖討論 通常將正弦序列信號(hào)展開(kāi)為兩個(gè)基本復(fù)指數(shù)序列和或差的形式，然后按照變換定義式求起對(duì)應(yīng)的變換和收斂域。

5、對(duì)于變換表達(dá)式可表示為等比級(jí)數(shù)和的形式的序列，其變換的收斂域是保證等比小于1，如本例中要保證，可得收斂域?yàn)椤ｎ}1-6圖 零極點(diǎn)示意圖1-7 已知， 求其變換及其收斂域。并用MATLAB求解。解：這是一個(gè)雙邊序列，其變換為，MATLAB求解程序如下： F=ztrans(sym('ak+bk') 結(jié)果為：F =- z/(a - z) - z/(b - z)1-8 求,的逆變換，并用MATLAB求解。解：由部分分式展開(kāi)可得 , 因?yàn)?。所以得MATLAB求解：程序如下：syms k z;Fz=5*z/(z2+z-6);fk=iztrans(Fz,k)運(yùn)行結(jié)果：fk =2k - (-3)

6、k1-9 判斷系統(tǒng)（1），（2）是否為時(shí)不變系統(tǒng)，并利用MATLAB驗(yàn)證。解：（1）令輸入為，輸出為而，所以系統(tǒng)是時(shí)變的。MATLAB驗(yàn)證：令 ，程序如下：x=1 2 1;n0=1;n=-1:1;x0=2 1;%x0為x橫坐標(biāo)非負(fù)的值y=cumsum(x0);Y=cumsum(x);subplot(3,2,1);stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('輸入');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,2);n=0:1;stem(n,y);xlabel('n');ylab

7、el('y(n)');title('輸出');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('輸入');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,5);n=0:2;stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('輸出');axis(-1,3,0,4);subplot(3,2,4);n=1:2;stem

8、(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('輸出');axis(-1,3,0,4);題1-9圖(a) 時(shí)變性驗(yàn)證（2）令輸入，輸出而，所以系統(tǒng)為時(shí)變的。MATLAB驗(yàn)證：令，程序如下：x=1 2 1;n0=1;for i=1:length(x) y(1,i)=i*x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)X(1,i+n0)=x(1,i);endfor i=1+n0:length(x)+n0y_(1,i)=(i-n0)*x(1,i-n0);endfor j=1:length(x) Y(1,

9、j)=j*X(1,j);endsubplot(3,2,1);n=1:3;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=1:4;stem(n,x_);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)'

10、;);title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);stem(n,Y);xlabel('n');ylabel('Y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=1:4;stem(n,y_);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('輸出');axis(0,4,0,6);題1-9圖(b) 時(shí)變性驗(yàn)證1-10 利用MATLAB驗(yàn)證例題1-27（1）中的系統(tǒng)是否為線(xiàn)性時(shí)不

11、變系統(tǒng)。解：令輸入為，則輸出為，而，所以，系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)?而，所以系統(tǒng)為非線(xiàn)性系統(tǒng)。MATLAB驗(yàn)證：: 時(shí)變性驗(yàn)證：令，程序如下：a=1;b=2;p=2;q=3;n0=1;x=1 2 3;y=a*x+b;for i=1:size(x,2)x_(1,i+n0)=x(1,i);y_2(1,i+n0)=y(1,i);endx_=zeros(1:n0),x_(n0+1:end);y_1=a*x_+b;y_1=zeros(1:n0),y_1(n0+1:end);subplot(3,2,1);n=0:2;stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n

12、)');title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,2);n=0:3;stem(n,x_);xlabel('n');ylabel('x(n-n0)');title('輸入');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,3);n=0:2;stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,4);n=0:3;stem(n,y_1);xlabe

13、l('n');ylabel('Y(n)');title('輸出');axis(0,4,0,6);subplot(3,2,5);n=0:3;stem(n,y_2);xlabel('n');ylabel('y(n-n0)');title('輸出');axis(0,4,0,6);題1-10圖(a) 時(shí)變性驗(yàn)證: 線(xiàn)性驗(yàn)證：令，,程序如下：x1=1 2 3 2;x2=3 2 1 1;a=1;b=2;p=2;q=1;n=0:3;y1=a*x1+b;y2=a*x2+b;Y1=a*(x1*p+q*x2)+b;Y2

14、=p*y1+q*y2;subplot(1,2,1);stem(n,Y1);xlabel('n');ylabel('Y1(n)');axis(0,3,0,14);subplot(1,2,2);stem(n,Y2);xlabel('n');ylabel('Y2(n)');題1-10圖(b) 線(xiàn)性性驗(yàn)證111 已知系統(tǒng)函數(shù)，試用MATLAB畫(huà)出該系統(tǒng)的幅頻特性。解： 利用MATLAB中的freqz()函數(shù)可以畫(huà)出該系統(tǒng)的幅頻特性曲線(xiàn)，如題1-11圖所示。 取10。MATLAB程序如下：N=10;b=1 zeros(1,N-1) 1;a=

15、1 zeros(1,N);OMEGA=0:pi/150:2*pi;H=freqz(b,a,OMEGA);plot(OMEGA,abs(H);題1-11圖 幅頻響應(yīng)特性1-12 一般的滑動(dòng)平均由下列方程定義 該系統(tǒng)計(jì)算輸出序列的第個(gè)樣本時(shí)是將其作為輸入序列第個(gè)樣本前后的個(gè)樣本的平均。求：（1）該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)； （2）求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)； （3）對(duì)，求和，并用MATLAB畫(huà)出其圖形。解： （1）（2）因?yàn)?因此頻率響應(yīng)就是利用等比級(jí)數(shù)求和公式 可以得到：（3）當(dāng)，時(shí)，利用MATLAB畫(huà)出其頻率響應(yīng)圖：由 得 所以MATLAB程序如下：M1=0;M2=4;X=1/(M1+M2+1);b=X zer

16、os(1,M2) -X;a=1 -1;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H);運(yùn)行結(jié)果如題1-12圖所示：題1-12圖 頻率響應(yīng)曲線(xiàn)圖1-13 設(shè)某線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)的差分方程為，試求它的單位脈沖響應(yīng)。并討論其因果性和穩(wěn)定性，并用MATLAB計(jì)算，與理論值進(jìn)行比較。解：對(duì)上式兩邊取變換，得到：極點(diǎn)：，當(dāng)ROC：時(shí)，系統(tǒng)因果不穩(wěn)定，；當(dāng)ROC：時(shí)，系統(tǒng)非因果穩(wěn)定，；當(dāng)ROC：時(shí)，系統(tǒng)非因果不穩(wěn)定，。1-1

17、4 給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判定系統(tǒng)是否是因果、穩(wěn)定系統(tǒng)，并說(shuō)明理由，如果是穩(wěn)定系統(tǒng)，通過(guò)MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)圖。（1）（2）（3）解： （1）只要，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌c時(shí)刻的和時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。如果，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn),如題1-14圖(a)所示：N0=100;X=N0-1;b=1 zeros(1,X-1) -X;a=1 -1;zplane(b,a);題1-14圖(a) 零極點(diǎn)示意圖（2）該系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因?yàn)闀r(shí)刻的輸出還和時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。如果，則，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn)圖如下：b=1 1;a=1 0;zplane(b,a)

18、;題1-14圖(b) 零極點(diǎn)示意圖（3）系統(tǒng)是非因果系統(tǒng)，因?yàn)闀r(shí)刻輸出和時(shí)刻以后的輸入有關(guān)。如果，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1-15 求下列單位脈沖響應(yīng)的變換及收斂域，用MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn)分布圖。 （1）、 （2）、 （3）、解：（1）由變換的公式可得其變換為：=，。利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)，程序及運(yùn)行結(jié)果如題1-15圖(a)所示：b=1 0;a=1 -0.2;zplane(b,a);題1-15圖(a) 零極點(diǎn)示意圖（2）利用變換公式可得：其變換為, MATLAB畫(huà)出零極點(diǎn)如下題1-15圖(b)所示：w0=2*pi;x=exp(j*w0);b=1;a=1 -x;zplane(b,a);題1-1

19、5圖(b) 零極點(diǎn)示意圖（3） 因?yàn)?，由?）知的變換為 的變換為所以得出的變換經(jīng)化簡(jiǎn)得： , 利用MATLAB畫(huà)出其零極點(diǎn)如下題1-15圖(c)所示: w0=pi/4;b=1 -cos(w0);a=1 -2*cos(w0) 1;zplane(b,a);題1-15圖(c) 零極點(diǎn)示意圖1-16 已知系統(tǒng)函數(shù)如下：，用MATLAB編程判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定.解： MATLAB程序如下：A=2 -2.9 0.1 2.3 -1.5P=roots(A);M=max(abs(P);if(M<1) disp('系統(tǒng)穩(wěn)定')else disp('系統(tǒng)不穩(wěn)定')end運(yùn)行結(jié)果如

20、下：A = 2.0000 -2.9000 0.1000 2.3000 -1.5000系統(tǒng)穩(wěn)定1-17 設(shè)一因果LTI系統(tǒng)的差分方程為 并且已知初始條件為，輸入，利用MATLAB求系統(tǒng)的輸出。解：%用迭代法求取10點(diǎn)數(shù)據(jù)y=zeros(1,10);i=1:10;y(1)=-2-3+1;y(2)=2*y(1)+3+1+4;y(3)=2*y(2)-3*y(1)+1+5+4*0.2;y(4)=2*y(3)-3*y(2)+4*0.22;for n=5:10 y(n)=2*y(n-1)-3*y(n-2)+4*0.2(n-2);endstem(i-1,y);xlabel('n');ylabe

21、l('y(n)');結(jié)果如題1-17圖所示：題1-17圖 輸出響應(yīng)1-18 一系統(tǒng)的差分方程描述如下：試確定該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，并求出輸入序列為的穩(wěn)態(tài)輸出。解：由差分方程可得出， 其特征根為，所以該系統(tǒng)為一穩(wěn)定系統(tǒng)。當(dāng)輸入序列為時(shí)，由穩(wěn)態(tài)輸出的定義，我們可以計(jì)算出：，。所以其穩(wěn)態(tài)輸出為 用MATLAB畫(huà)出其頻率響應(yīng):程序如下：b=1 0 -1;a=1 0 0.81;OMEG=-pi:pi/100:pi;H=freqz(b,a,OMEG);subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H);subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(a

22、ngle(H);運(yùn)行結(jié)果:題1-18圖 頻率響應(yīng)曲線(xiàn)1-19 考慮一個(gè)三階系統(tǒng)輸入，初始狀態(tài)，和，利用狀態(tài)方程方法求出。解： 定義，差分方程可以寫(xiě)為如下?tīng)顟B(tài)方程的形式：可計(jì)算出，。其MATLAB程序如下：%狀態(tài)方程求解系統(tǒng)響應(yīng)演示程序A=0 1 0;0 0 1;-0.8 0.2 0.4;B=0;0;5;C=-0.8 0.2 0.4;D=5;q0=5;4;2;n=0:1:25;X=ones(size(n)'Y, s=dlsim(A,B,C,D,X,q0);stem(n,y);xlabel('n');ylabel('y(n)');grid;題1-19圖 輸出

23、響應(yīng)第二章21 試求如下序列的傅里葉變換：（1）（2）（3）（4）（5）（6）解： （1） （2） （3）， （4）= （5） （6） 22 設(shè)信號(hào)，它的傅里葉變換為，試計(jì)算(1)（）（）。解： （）（），（）23 已知求的逆傅里葉變換。解：24 設(shè)和分別是和的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換。（1）（2）（3）（4）解：(1) ， 令則：(2)(3)，令，則： (4) 由，得所以 25 已知序列，求其傅里葉變換DTFT。解：26 設(shè)，試求的共軛對(duì)稱(chēng)序列和共軛反對(duì)稱(chēng)序列；并分別用圖表示。解： 圖形如下題2-6圖所示：題2-6圖 與序列圖27 設(shè)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，輸入序列為完成下面各題：（

24、1） 求出系統(tǒng)輸出序列；（2） 分別求出、和的傅里葉變換。解：（1）（2） 28 若序列是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式： 求序列及其傅里葉變換。解：29 試用定義計(jì)算周期為5，且一個(gè)周期內(nèi)的序列的DFS。解：210 求出周期序列的DFS。 解：由題知周期為4 211 已知周期為的信號(hào)，其DFS為，證明DFS的調(diào)制特性。證明： 命題得證。212 設(shè)將以4為周期進(jìn)行周期延拓，形成周期序列，畫(huà)出和的波形，求出的離散傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換。解： 以4為周期。 和波形圖如下題2-12圖所示：題2-12圖 和波形圖213 如果是一個(gè)周期為的周期序列，其DFS為，將看作周期為2的周期序列，其DFS為。

25、試?yán)么_定。解： 按照題意，可以寫(xiě)出： = + 令，則 + 所以 214 根據(jù)下列離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換，確定各對(duì)應(yīng)的信號(hào)。（1）（2）解： （1） 因此（2）因?yàn)楹袥_激函數(shù)，因此，對(duì)應(yīng)的信號(hào)為周期信號(hào)，設(shè)為，其周期為，DFS為，則有：的DTFT，有 即 而已知可見(jiàn)即所以，得是以為周期的周期函數(shù)。215 計(jì)算以下諸序列的點(diǎn)DFT，在變換區(qū)間內(nèi)，序列定義為（1） （2），（3） （4）,其中（5） ，其中解： （1）（2）（3）， （4） 由DFT的定義直接計(jì)算序列的DFT，對(duì)變換采樣。由于，對(duì) 在， 上采樣，求得: （5） =,216 已知，求其點(diǎn)DFT。解: ，217 設(shè)，求其原序列。解

26、： 218 已知下列，求，其中。解：219 已知序列的4點(diǎn)離散傅里葉變換為，求其復(fù)共軛序列的離散傅里葉變換。解：220 證明DFT的對(duì)稱(chēng)定理，即假設(shè)證明： 證明： 221 如果，證明DFT的初值定理證明：由IDFT定義式知222 證明離散帕斯維爾定理。若，則證明： 223 令表示點(diǎn)序列的點(diǎn)離散傅里葉變換。本身也是個(gè)點(diǎn)序列。如果計(jì)算的離散傅里葉變換得一序列，試用求。解：按照題意，可以寫(xiě)成 因?yàn)?所以 224 一個(gè)長(zhǎng)度為8的有限時(shí)寬序列的8點(diǎn)離散傅里葉變換，如題2-24圖所示。 令題2-24圖 求的16點(diǎn)DFT，并畫(huà)出其圖形。解：按照題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)為零，故可寫(xiě)出而 所以 即所以的圖形如題2-26

27、（a）圖所示：題2-26（a）圖225 已知序列是的6點(diǎn)DFT。（1） 若有限長(zhǎng)序列的6點(diǎn)DFT 是,求。 （2） 若有限長(zhǎng)序列的3點(diǎn)DFT 滿(mǎn)足，求。解： （1）序列的DFT由的DFT與復(fù)指數(shù)相乘組成，這相當(dāng)于是將圓周移位了4點(diǎn)：，所以：（2）序列長(zhǎng)度為3，DFT變換為，其中是 的6點(diǎn)DFT。由于系數(shù)是對(duì)在單位圓上等間隔采樣6點(diǎn)的結(jié)果，所以，相當(dāng)于是對(duì)在單位圓上等間隔采樣3點(diǎn)，所以在區(qū)間外,因而;就得到。226 在很多實(shí)際應(yīng)用中都需要將一個(gè)序列與窗函數(shù)相乘。設(shè)是一個(gè)點(diǎn)的序列，是漢明窗：試用的DFT求加窗序列的DFT。解：首先用復(fù)指數(shù)表示漢明窗因此如果則所以加窗序列的DFT為227 已知求和；

28、欲使兩卷積相同，則循環(huán)卷積的長(zhǎng)度的最小值應(yīng)為多少？解： ， L=4+2-1=5 228 已知序列，若是與它本身的4點(diǎn)循環(huán)卷積，求及其4點(diǎn)的。解：的4點(diǎn)： 229 和都是長(zhǎng)度為6點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列，和分別是和的8點(diǎn)DFT。若組成乘積，對(duì)作8點(diǎn)IDFT得到序列，問(wèn)在哪些點(diǎn)上等于以下線(xiàn)性卷積：解： 和都是長(zhǎng)度為6點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為11點(diǎn)，而為 與的8點(diǎn)循環(huán)卷積。根據(jù)線(xiàn)性卷積與循環(huán)卷積的關(guān)系，8點(diǎn)的循環(huán)卷積中，前3個(gè)點(diǎn)將由線(xiàn)性卷積的疊加，而后5個(gè)點(diǎn)等于線(xiàn)性卷積。230 序列 （1） 求的4點(diǎn)DFT；（2） 若是與它本身的4點(diǎn)循環(huán)卷積，求及其4點(diǎn)DFT；（3） ，求與的4點(diǎn)循環(huán)卷積。解： 由題可知：（1） （2

29、） 得到 即 （3）由題知 得 231 序列為 計(jì)算的5點(diǎn)DFT，然后對(duì)得到的序列求平方：求的5點(diǎn)DFT反變換。解：序列的5點(diǎn)DFT等于乘積，所以是與本身5點(diǎn)圓周卷積的結(jié)果： 一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算圓周卷積的方法是先進(jìn)行線(xiàn)性卷積，然后將結(jié)果疊加： 與本身的線(xiàn)性卷積的結(jié)果為 用表格法計(jì)算圓周卷積，就會(huì)得到 題2-31表0 1 2 3 45 6 74 4 1 4 20 1 00 1 0 0 0 0 0 04 5 1 4 2 所以232 考慮兩個(gè)序列：若組成，其中、分別是和的5點(diǎn)DFT，對(duì)作DFT反變換得到序列，求序列。解： 因?yàn)槭莾蓚€(gè)5點(diǎn)DFT和的乘積，所以是和的5點(diǎn)圓周卷積?？梢杂脠D解法計(jì)算圓周卷積，也

30、可以用先線(xiàn)性卷積再重疊的方法，還可以用先將DFT相乘再對(duì)乘積作DFT反變換的方法。本題中，是一個(gè)簡(jiǎn)單序列，我們可以用分析法。和的5點(diǎn)圓周卷積是： ，因?yàn)?，且?點(diǎn)圓周卷積是： ，圓周卷積等于圓周移位序列的值從到求和的結(jié)果，因?yàn)槭牵梢钥醋魇情L(zhǎng)度為5 的序列）可以通過(guò)反向讀取序列得到，從開(kāi)始：是的前5個(gè) 值相加的結(jié)果，得到。將此序列圓周右移1后，就有前4個(gè)值相加后得到。繼續(xù)求解，求得：,。233 兩個(gè)有限長(zhǎng)序列和的零值區(qū)間為;。對(duì)每個(gè)序列作20點(diǎn)DFT，得和，如果，。，。試問(wèn)在哪些點(diǎn)上？為什么？解： 設(shè)，而，的長(zhǎng)度為27，的長(zhǎng)度為20，且 當(dāng)上述周期延拓序列中無(wú)混疊的點(diǎn)上有：，234 兩個(gè)有限長(zhǎng)

31、序列和，在區(qū)間以外的值為，兩個(gè)序列圓周卷積后得到的新序列為其中。若僅在時(shí)有非零值，確定為哪些值時(shí)，一定等于和的線(xiàn)性卷積？解： 由于，等于和的線(xiàn)性卷積的點(diǎn)是在區(qū)間內(nèi)，圓周移位等于線(xiàn)性移位的那些點(diǎn)。由于僅僅在區(qū)間內(nèi)有非零值，我們可以看到雜區(qū)間內(nèi)。所以當(dāng)時(shí)線(xiàn)性卷積與圓周卷積相等。235 求證循環(huán)卷積定理。設(shè)有限長(zhǎng)序列和的長(zhǎng)度分別為和，取，且和分別是兩個(gè)序列的點(diǎn)DFT。（1） 若，求證；（2） 若，求證：。證明：（1）點(diǎn)DFT等于的序列為:, ,需要用和來(lái)表示，由于， 將代入到的表達(dá)式中，有：，, ,交換求和順序，則，, ,括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)等于，有：，, , =（2） 由定義， 。若想用和 來(lái)表示，將下面的

32、表達(dá)式代入上式得：，交換求和順序，上式變成： 第二個(gè)求和就是，有： 所以，是和圓周卷積的倍： 問(wèn)題得證。236 若和都是長(zhǎng)為點(diǎn)的序列，和分別是兩個(gè)序列的點(diǎn)DFT。證明： 證明：令和分別是和的點(diǎn)DFT ，是的點(diǎn)DFT，則的DFT是，由性質(zhì)有 ，讓計(jì)算，就可以得到結(jié)論：237 已知實(shí)序列的點(diǎn)DFT前個(gè)值為求其余三點(diǎn)的值。解：為實(shí)序列，滿(mǎn)足共軛對(duì)稱(chēng)性，得其余三點(diǎn)： , 0 238 已知、是長(zhǎng)度為4的實(shí)序列， ，求序列，。解：由，得：， 所以由上知 綜上可得：，239 已知序列是的6點(diǎn)DFT， 若有限長(zhǎng)序列的6點(diǎn)DFT等于的實(shí)部，即，求。 解： 的實(shí)部是，為了計(jì)算的DFT反變換，我們需要計(jì)算的DFT反

33、變換。由于是的DFT，所以的DFT反變換是：，所以為：240 如何用一個(gè)點(diǎn)DFT變換計(jì)算兩個(gè)實(shí)序列和的點(diǎn)DFT變換？解： 兩個(gè)實(shí)序列的DFT可以由一個(gè)點(diǎn)DFT求得：首先，我們組成一個(gè)點(diǎn)復(fù)序列計(jì)算的點(diǎn)DFT后，利用DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性質(zhì)從中提取出和。實(shí)序列的DFT有共軛對(duì)稱(chēng)性： 虛序列的DFT有共軛反對(duì)稱(chēng)性：由于 是實(shí)序列的DFT：這是的共軛對(duì)稱(chēng)部分。同樣，是虛序列的DFT： 這是的共軛反對(duì)稱(chēng)性。241 一個(gè)有限長(zhǎng)序列，設(shè)其變換是。如果在，點(diǎn)上對(duì)采樣，就得到一組DFT系數(shù)。求4點(diǎn)DFT等于這些采樣值的序列。解：對(duì)在單位圓上等間隔采樣4點(diǎn)將造成的混疊： 利用表格法計(jì)算上式中的求和，注意只有序列和在時(shí)

34、有非零值，所以有題2-41表0 1 2 34 5 6 7 1 1 1 11 1 0 0 1 1 0 00 0 0 0 2 2 1 1 242 設(shè)，試畫(huà)出時(shí)域基2FFT流圖，并根據(jù)流圖計(jì)算每個(gè)碟形運(yùn)算的結(jié)果，最后寫(xiě)出的序列值。解： 2FFT流圖如題2-42圖所示：題2-42圖 時(shí)域基2FFT流圖 243 已知序列=，用FFT蝶形運(yùn)算方法計(jì)算其8點(diǎn)的DFT。畫(huà)出計(jì)算流圖，標(biāo)出各節(jié)點(diǎn)數(shù)值。解： 用點(diǎn)DFT計(jì)算點(diǎn)的DFT 計(jì)算8點(diǎn)的DFT所以其計(jì)算流圖如題2-43圖所示：題2-43圖 FFT蝶形運(yùn)算流圖244 設(shè)序列的長(zhǎng)度為200，對(duì)其用時(shí)域基2FFT來(lái)計(jì)算DFT，請(qǐng)寫(xiě)出第三級(jí)蝶形中不同的旋轉(zhuǎn)因子。解

35、: 由于序列的長(zhǎng)度為200，所以取,得。又因?yàn)?，?級(jí)蝶形運(yùn)算中不同的旋轉(zhuǎn)因子為： ， ， ，245 如果通用計(jì)算機(jī)的速度為平均每次復(fù)數(shù)乘需要，每次復(fù)數(shù)加需要，用來(lái)計(jì)算點(diǎn)DFT，問(wèn)直接計(jì)算需要多少時(shí)間。用FFT計(jì)算呢？照這樣計(jì)算，用FFT進(jìn)行快速卷積對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理時(shí)，估算可實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率。解： 當(dāng)時(shí)，直接計(jì)算DFT的復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次數(shù)為次直接計(jì)算1024點(diǎn)DFT需要時(shí)間為s用FFT計(jì)算1024點(diǎn)DFT所需計(jì)算時(shí)間為 快速卷積時(shí)，要計(jì)算一次點(diǎn)FFT（考慮到已計(jì)算好存入內(nèi)存），一次點(diǎn)IFFT和次頻域復(fù)數(shù)乘法。所以，計(jì)算1024點(diǎn)快速卷積的計(jì)算時(shí)間約為 所以，每秒鐘處理的采樣點(diǎn)數(shù)（即采樣速

36、率）次/秒。由采樣定理知，可實(shí)時(shí)處理的信號(hào)最高頻率為 應(yīng)當(dāng)說(shuō)明，實(shí)際實(shí)現(xiàn)時(shí)， 還要小一些。這是由于實(shí)際采樣頻率高于奈奎斯特速率，而且在采用重疊相加法時(shí)，重疊部分要計(jì)算兩次。重疊部分長(zhǎng)度與長(zhǎng)度有關(guān)，而且還有存取數(shù)據(jù)指令周期等。246 序列長(zhǎng)240點(diǎn)，長(zhǎng)10點(diǎn)。當(dāng)采用直接計(jì)算法和快速卷積法（用基2FFT）求它們的線(xiàn)性卷積時(shí)，各需要多少次乘法？解： （1）已知直接線(xiàn)性卷積復(fù)乘的次數(shù)為 （次）（2）因?yàn)槿??？焖倬矸e中復(fù)乘的次數(shù)： 1），需次復(fù)乘； 2），需次復(fù)乘； 3），需次復(fù)乘； 總的復(fù)乘的次數(shù)為：(次)247 設(shè)有限長(zhǎng)序列的DFT為，我們可使用FFT來(lái)完成該運(yùn)算.現(xiàn)假設(shè)已知，,如何利用FFT求原序

37、列。解： ， 因此，利用FFT求的步驟為：(1) 對(duì)求共軛(2) 對(duì)進(jìn)行FFT變換(3) 對(duì)變換后的序列取共軛，并乘以即得到。248 已知和是兩個(gè)點(diǎn)實(shí)序列和的DFT，若要從和求和，為提高運(yùn)算效率，試設(shè)計(jì)用一次點(diǎn)IFFT來(lái)完成。解： 為實(shí)序列。為共軛對(duì)稱(chēng)序列，為共軛反對(duì)稱(chēng)序列。將，作為序列的共軛對(duì)稱(chēng)分量和共軛反對(duì)稱(chēng)分量計(jì)算一次點(diǎn)IFFT得到由DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性，249 設(shè)是長(zhǎng)度為的有限長(zhǎng)實(shí)序列，為的點(diǎn)DFT。（1） 試設(shè)計(jì)用一次點(diǎn)DFT完成計(jì)算的高效算法。（2） 若已知，試設(shè)計(jì)用一次點(diǎn)IDFT實(shí)現(xiàn)求的點(diǎn)IDFT運(yùn)算。解： 本題的解題思路就是DIF-FFT思想（1） 在時(shí)域分別抽取偶數(shù)點(diǎn)和奇數(shù)點(diǎn)得

38、到兩個(gè)點(diǎn)實(shí)序列和根據(jù)DIT-FFT思想，只要求得和的點(diǎn)DFT，再經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的一級(jí)碟形運(yùn)算就可以得到的2點(diǎn)DFT。又為實(shí)，所以根據(jù)DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性，可用一次點(diǎn)DFT求得和，方法如下：令則2點(diǎn)可由、得到 這樣通過(guò)一次點(diǎn)DFT計(jì)算完成2點(diǎn)DFT（2） 設(shè),則過(guò)程如下由計(jì)算出，由，構(gòu)成點(diǎn)頻域序列其中，進(jìn)行點(diǎn)IDFT得到由DFT的共軛對(duì)稱(chēng)性由和定義得。250 一個(gè)3000點(diǎn)的序列輸入一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)長(zhǎng)度為60。為了利用快速傅里葉變換算法的計(jì)算效率，該系統(tǒng)用128點(diǎn)的離散傅里葉變換和離散傅里葉反變換實(shí)現(xiàn)。如果采用重疊相加法，為了完成濾波器運(yùn)算，需要多少DFT？解： 采用重疊相加法，

39、將分成若干個(gè)長(zhǎng)度為的不重疊的序列。若的長(zhǎng)度為，則的長(zhǎng)度為，所以DFT變換的長(zhǎng)度。由題設(shè)，必須分成長(zhǎng)度為的序列： 的長(zhǎng)度為3600點(diǎn)，所以共有44個(gè)序列（其中最后一個(gè)序列僅有33個(gè)非零值）。為了計(jì)算卷積共需要：1 一個(gè)DFT用于計(jì)算。2 44個(gè)DFT用于的計(jì)算。3 44個(gè)用于 IDFT變換的計(jì)算。一共需要45個(gè)DFT變換和44個(gè)IDFT變換。2-51 已知信號(hào)，用DFT分析信號(hào)的頻譜。解：利用MATLAB分析信號(hào)的頻譜畫(huà)出頻譜圖如題2-51圖所示：N1=128;N2=512;ws=100;w1=10;w2=12;fs=ws/(2*pi);n1=0:N1-1;n2=0:N2-1;xn1=exp(-

40、n1/10).*(cos(w1/ws*n1)+cos(w2/ws*n1);%128點(diǎn)有效x(n)數(shù)據(jù)%在128點(diǎn)有效數(shù)據(jù)不補(bǔ)零情況下的分辨率演示xk11=fft(xn1,N1);mxk11=abs(xk11(1:N1/2);figure(1);subplot(211);plot(n1,xn1);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=127');axis(0,128,-3,3);k1=(0:N1/2-1)*fs/N1;subplot(212);plot(k1,mxk11);xlabel('頻率 單位rad/s');

41、title('X1(k)的幅度譜');%在128點(diǎn)有效數(shù)據(jù)且補(bǔ)零至512點(diǎn)情況下分辨率演示xn2=xn1,zeros(1,N2-N1);xk12=fft(xn2,N2);mxk12=abs(xk12(1:N2/2);figure(2);subplot(211);plot(n2,xn2);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis(0,512,-3,3);k2=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k2,mxk12);xlabel('頻率 單位Hz')

42、;title('X1(k)補(bǔ)零后的幅度譜');%在512點(diǎn)有效數(shù)據(jù)下分辨率演示xn3=exp(-n2/10).*(cos(w1/ws*n2)+cos(w2/ws*n2);%512點(diǎn)有效x(n)數(shù)據(jù)xk2=fft(xn3,N2);mxk3=abs(xk2(1:N2/2);figure(3);subplot(211);plot(n2,xn3);xlabel('n');title('x(n) 0<=n<=511');axis(0,512,-3,3);k3=(0:N2/2-1)*fs/N2;subplot(212);plot(k3,mxk3)

43、;xlabel('頻率 單位rad/s');title('512點(diǎn)有效數(shù)據(jù)的幅度譜');運(yùn)行結(jié)果如題2-51圖：題2-51圖 頻譜圖252 設(shè)模擬信號(hào)，以時(shí)間間隔進(jìn)行均勻采樣，假設(shè)從開(kāi)始采樣，共采樣點(diǎn)。（1）求采樣后序列的表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率。（2）在此采樣下值是否對(duì)采樣失真有影響？（3）對(duì)進(jìn)行點(diǎn)DFT，說(shuō)明取哪些值時(shí)，DFT的結(jié)果能精確地反映 的頻譜。（4）若要求DFT的分辨率達(dá)到1，應(yīng)該采樣多長(zhǎng)時(shí)間的數(shù)據(jù)？解： （1）采樣后序列的表達(dá)式為其對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率。（2）因?yàn)椴蓸宇l率因此保證在一個(gè)周期內(nèi)抽樣四點(diǎn)（三點(diǎn)以上），無(wú)論取何值，根據(jù)抽樣定理，都可以由準(zhǔn)確重建

44、。（3）對(duì)進(jìn)行DFT，要DFT的結(jié)果能精確地反映的頻譜，根據(jù)，所以當(dāng)時(shí)，就可以保證DFT結(jié)果的精確。（4）因?yàn)榉直媛蕿橐虼巳粢驞FT的分辨率達(dá)到1，應(yīng)該采樣多的數(shù)據(jù)。253 用微處理機(jī)對(duì)實(shí)數(shù)序列做譜分析，要求譜分辨率，信號(hào)最高頻率為，試確定以下各參數(shù)：（1） 最小記錄時(shí)間；（2） 最大取樣間隔；（3） 最少采樣點(diǎn)數(shù)；（4） 在頻帶寬度不變的情況下，將頻率分辨率提高一倍的值。解： （1）已知 （2）（3）（4）頻帶寬度不變意味著采樣間隔不變，應(yīng)該使記錄時(shí)間擴(kuò)大一倍為0.04s實(shí)現(xiàn)頻帶分辨率提高1倍。254 以的采樣率對(duì)最高頻率為的帶限信號(hào)采樣，然后計(jì)算的個(gè)采樣點(diǎn)的DFT，即，（1）對(duì)應(yīng)的模擬頻

45、率是多少？ 呢？（2）頻譜采樣點(diǎn)之間的間隔是多少？解： （1）采樣率，離散頻率與模擬頻率的關(guān)系是：，或。點(diǎn)DFT是對(duì)DTFT在個(gè)頻率點(diǎn)上的采樣： 所以，對(duì)應(yīng)的模擬頻率為 ， 或 時(shí)，序號(hào)對(duì)應(yīng)。對(duì)于要特別注意，因?yàn)榫哂兄芷谛裕?對(duì)應(yīng)的頻率為，。對(duì)應(yīng)的模擬頻率為 或 （2）頻譜采樣點(diǎn)之間的間隔為 第三章31 畫(huà)出級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：32 畫(huà)出級(jí)聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：33 已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，試畫(huà)出其并聯(lián)型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。解：將系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)為實(shí)系數(shù)一階，二階子系統(tǒng)之和，即：由上式可以畫(huà)出并聯(lián)型結(jié)構(gòu)如題3-3圖所示：題3-3圖34 已知一FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為，畫(huà)出該FIR濾波器的線(xiàn)性相位結(jié)構(gòu)。

46、解： 因?yàn)?，所以由第二?lèi)線(xiàn)性相位結(jié)構(gòu)畫(huà)出該濾波器的線(xiàn)性相位結(jié)構(gòu)，如題3-4圖所示：題3-4圖35 已知一個(gè)FIR系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)為：求用級(jí)聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)流圖并用MATLAB畫(huà)出其零點(diǎn)分布及其頻率響應(yīng)曲線(xiàn)。解： 由轉(zhuǎn)移函數(shù)可知，且偶對(duì)稱(chēng)，故為線(xiàn)性相位系統(tǒng)，共有5個(gè)零點(diǎn)，為5階系統(tǒng)，因而必存在一個(gè)一階系統(tǒng)，即為系統(tǒng)的零點(diǎn)。而最高階的系數(shù)為+1，所以為其零點(diǎn)。中包含項(xiàng)。所以：。 為一四階子系統(tǒng)，設(shè)，代入等式，兩邊相等求得，得出系統(tǒng)全部零點(diǎn)，如圖3-5（b）所示。 系統(tǒng)流圖如題3-5（a）圖所示。題3-5（a）圖MATLAB程序如下，結(jié)果如題3-5（b）圖所示： b=1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1; a=1; figure(1) zplane(b,a); figure(2); OMEGA=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OM