兩角差的余弦公式教學(xué)設(shè)計(jì)

1、教學(xué)基本信息課題新課標(biāo)人教A版必修4第三章3.1.1兩角差的余弦公式指導(dǎo)思想與理論依據(jù) 三角變換是數(shù)學(xué)的重要工具，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要要對象之一，位于三角函數(shù)與數(shù)學(xué)變換的結(jié)合點(diǎn)上，由于角的和、差、倍之間有內(nèi)在聯(lián)系并可以相互轉(zhuǎn)化，我們可以利用這種聯(lián)系，在獲得一個(gè)公式的基礎(chǔ)上，通過角的形式的變換和邏輯推理的方法得到其他公式。選擇兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，基本出發(fā)點(diǎn)是努力使公式的證明過程盡量簡明易通。且在前一章中，教科書已經(jīng)明確指出，向量的數(shù)量積是解決距離與夾問題的好工具，這樣處理使兩角差的弦公式的推導(dǎo)成為一個(gè)純粹的代數(shù)運(yùn)過程，大大降低了思考難度，也能夠?qū)崿F(xiàn)向量的力量。教材分析本節(jié)課的主要內(nèi)容是兩角差的

2、余弦公式的推導(dǎo)和簡單應(yīng)用。這節(jié)課所推導(dǎo)的公式是本單元的開篇公式，是后續(xù)公式推導(dǎo)的基礎(chǔ)，地位十分重要。推導(dǎo)的過程綜合運(yùn)用了向量、三角函數(shù)等知識，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造、遷移的數(shù)學(xué)思想方法，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的良好題材。學(xué)情分析在本節(jié)課之前，已學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和向量的數(shù)量積運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上，向?qū)W生介紹兩角和與差的余弦公式。從理論上講，不存在什么理解上的問題的。而且，應(yīng)用向量知識來推導(dǎo)該公式 ，更加易于理解接受。相比較而言，本節(jié)內(nèi)容對于三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的熟練應(yīng)用有較高的要求。 教學(xué)目標(biāo)(1) 知識目標(biāo)：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程，兩角差的余弦公式的簡單應(yīng)用。(2) 能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維

3、和數(shù)形結(jié)合的意識和習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、邏輯推理、合作學(xué)習(xí)的能力。(3) 情感目標(biāo)：通過觀察讓學(xué)生體會公式的線形美和對稱美，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)和思考能力，使學(xué)生對新知識產(chǎn)生良好的情感態(tài)度。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：兩角差的余弦公式的理解與靈活應(yīng)用。難點(diǎn)：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程及公式的靈活應(yīng)用教學(xué)流程示意教學(xué)流程：提出問題引出課題 明確探索目標(biāo)及途徑 學(xué)生自主探索 使用公式解決問題 歸納小結(jié) 教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動預(yù)設(shè)學(xué)生行為設(shè)計(jì)意圖一、提出問題引出課題問題1:：觀察誘導(dǎo)公式sin（p+a）=-sina，cos（p+a）=-cosa，sin（p/2+a）=cosa，cos（p/2+a）=-sina

4、，可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)角a變成a+p/2或a+p時(shí)，其正弦、余弦的三角函數(shù)值都與a的正弦、余弦有關(guān)，請思考，如果當(dāng)角a變成a+p/4或a±b時(shí)，其正弦、余弦的三角函數(shù)值又會有怎樣的變化？用怎樣的思路和方法進(jìn)行探究？思路：探求結(jié)果，然后對結(jié)果的正確性加以證明。猜想 sin（a±b）=sina±sinb，cos（a±b）=cosa±cosb， 驗(yàn)證：取特殊值，發(fā)現(xiàn)猜想錯(cuò)誤。由學(xué)生已有知識出發(fā)，從聯(lián)系與變換的角度自然提出接近研究水平的問題，增強(qiáng)學(xué)生的問題意識。不用課本上的問題情境改為開門見山直奔主題，能為學(xué)生在情境理解上節(jié)省時(shí)間，更貼近教學(xué)主題。二、明確探索目

5、標(biāo)及途徑問題2：cos（a-b）該是怎樣的結(jié)果呢？若a、b、a+b都是銳角的話，同學(xué)們能否用學(xué)過的知識得出其結(jié)果？（本節(jié)課只引導(dǎo)學(xué)生研究 cos（a-b）的結(jié)果）引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造圖中的直角三角形，用三角函數(shù)線證明問題3：上述公式是否對任意角a、b都成立？問題4：:仔細(xì)觀察上面式子的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征，看看從中會產(chǎn)生怎樣的聯(lián)想？或有什么新的發(fā)現(xiàn)？設(shè)XOQ=a，POQ=b，作PAOQ，PCAB，ABOX，PMOX，則有PAC=QOX=a，故cos（a-b）=OM=OB+BM=OB+CP=OA cosa+AP sina= cosa cosb+ sina sinbcos（a-b）= cosa cosb+

6、sina sinb用非銳角的特殊角或任意角進(jìn)行驗(yàn)證cosa cosb+ sina sinb等于兩向量OA與OB的數(shù)量積進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究意識，讓學(xué)生學(xué)會以退為進(jìn)，思維受阻時(shí)怎樣轉(zhuǎn)化為直角三角形或單位圓中構(gòu)造角進(jìn)行討論的方法。讓學(xué)生感受化陌生問題為熟悉問題的過程，通過作輔助線，用“割補(bǔ)法”尋找量與量之間的聯(lián)系讓學(xué)生通過觀察聯(lián)想到兩角差的公式與向量的關(guān)系，為下一步用向量證明公式打下基礎(chǔ)。三、學(xué)生自主探究如何證明 cos（a-b）= cosa cosb+ sina sinb？a、b終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A(cosa,sina),B(cosb,sinb),向量OA·OB= cosa cosb+ sina sinbcos（a-b）=OA·OB所以 cos（a-b）= cosa cosb+ sina sinb讓學(xué)生回顧指數(shù)函數(shù)的研究方法，鞏固就知識，同時(shí)讓學(xué)生學(xué)會通過類比的方法研究函數(shù)。四、使用公式解決問題課本例題1，練習(xí)1、2課本例題2，練習(xí)3講解例題，強(qiáng)調(diào)角的變換講解例題，強(qiáng)調(diào)分類思想讓學(xué)生學(xué)會兩角差的余弦公式的應(yīng)用，同時(shí)讓學(xué)生注意角的變換。引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用分類討論的思想，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性和邏輯的條理性.強(qiáng)調(diào)分類時(shí)要不重不漏五、歸納小結(jié)請同學(xué)們自己總結(jié)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容。本小