曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究

1、1 / 3例題(山東預(yù)賽)假設(shè)實數(shù)，滿足b2c2=1，且 f(x) =ax bsinx ccosx 的圖象上存在兩條切線互相垂直，則的取值范圍是.解析 f (x)二 ax bsinx ccosx 二 axb2c2sin(x )=ax sin(x：；K)；設(shè)圖象上兩條切線在曲線上的切點分別為 A(N, yj B(X2,y2)，則有席2二 f Xifx2=_1 .即:a cos(x 亠) .Ha cos(X2亠巧-1 在中，令 t =cos(x ),(i =1,2)，展開后有 a2a(t1t2)址21，由a R可知厶_0,又2 2曲線上存在兩條互相垂直的切線問題模型探究園丁 2例題(天津預(yù)賽)如果

2、曲線y =2sinZ 的兩條互相垂直的切線交于點，則點的坐標不可能是()2():, :()3 二，-二()5 二，-二()7 二，V；解析 設(shè)曲線 y =2s“蘭在點 A(xi,2sin 仝),B(X2,2sin2 2的切線交于點，那么由題意可知:kA?= -1，其中ki=cos 竺,k2=cosX2; 即有 cos 竺 cos =_12 2 2 2又 _1 _cos _1,-1 COS _1，則有 _1 COSCOS _1，當且僅當2 2 2 2X1X2coscos22=1 時，等號成立因此，當 cos 養(yǎng)_噸=J 時，噸/，即可知 k . 1)二32 / 3 =魚 t2)-4(臨 1)=(

3、t1弋)- 4 在中，由于 ti -1,1，那么“2-2，即/ =化1-上2) - 4 _ 0，因此由可知= 0 , b= “2二 1 , 代入到中解得a=0.綜上可知：的取值范圍是a=0 . 評注此題可溯源到如下例題：3 / 3例題已知函數(shù) f(x) =X3,)記 (x) =f (x) f(x)(t R)，求 (X)的極小值; 3()若函數(shù) h(x) = f (x)亠 sinx 的圖象上存在互相垂直的兩條切線，求實數(shù).的值及相應(yīng)的切點坐標()解析 h(x)二 3 x si，那么 h (x) =3 :. cosx，設(shè)切點分別為t ,h t 打 i =1,2.由題意知 ht1ht = -1，即有

4、-cost13,；,-cost2=-1，展開得到293(costicost2)(cost cost21)=0，在中，由；.ER 可知，： =9(costrCOSt2)236(COStrCOSt21)亠 0，即(costr-COSt2)2亠 4 .又 cost1-cost2三 2，則厶=0,cost1二-cost2二 1,代入得，=0.并且切點坐標為(2 m：,0)，(2n 恵:加,0), 其中(m, nZ).例題(年南京市、鹽城市高三二模第題)設(shè)函數(shù)()=+ + .若函數(shù)()的圖象上存在不同的兩點，使得曲線=()在點，處的切線互相垂直，則實數(shù)的取值范圍為.矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴賃軔。解析 f(x

5、)=a- s i nxco=x坦廠2si 舸(壬_)打+施 L;那么 2 要使得函數(shù)()的圖象上存在兩個不同點使得 f % f X2=1，必有 a 2 a 2：0= - 2：. a：、2 .a 1,1.評注此題解法類似于如下兩道例題: 例題已知函數(shù) f(x) x3-2x23x( R)的圖象為曲線C.3()求過曲線C上任意一點的切線的斜率的取值范圍；()若在曲線C上存在兩條互相垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍;()略解析()f (x) =x2-4x 3 =(x -2)2-1 - -1 ；31例題 設(shè)函數(shù) f(x)二 ax -2bx cx 4d(a,b, c,R)的圖象關(guān)

6、于原點對稱，且x=1時，f (x)取極小值- ()求a,b,c,d 的值；()當 x-1,1時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論()由()可知:-1_-1，解得k -1或-1 _k：0 ;代入解得- ,- 2 U(1,3)U 22,；.()()，那么得到:34 / 3解析()不存在這樣的兩點由()得 f(x) =X2-1，假設(shè)圖象上存在兩點A(Xi,yJ, B(XI2)，使得過此兩點處的切線互相垂直，則 f 人 f X2訐-1，即皆-1 X221 = -1 .因為人兇-1,1，那么 皆-1 乞 0 必2-1 M，得到 好-1X22-1_0,故不成立小值是()聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈禍測。例題已知函數(shù) f(x)=x2X的圖象在A(X1, f (X1), B(X2, f (X2) ( X1 X2)的圖象在它們的一個交點處互相垂直，則14-的最a b18()516()5()24() 解析設(shè)兩個函數(shù)交與(Xo,y)，則有 k*2=(2xo-2)( -2XQ a) - -1，即 4 冷2-2(2 - a)Xg- 2a -1 =0.又=+與=+ +