高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 4 簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題知識(shí)導(dǎo)航 北師大

1、§4 簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題自主整理_._._._._._._.8.“至多”“至少”問題常用_.高手筆記1.捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.它主要用于解決“元素相鄰問題”.例如，一般地，n個(gè)不同元素排成一列，要求其中某m(mn）個(gè)元素必相鄰的排列有A·A是一個(gè)“整體排列”，而A則是“局部排列”.2.插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.運(yùn)用插空法解決“元素不相鄰問題”時(shí)，要同時(shí)借助框圖和數(shù)數(shù)法求解.3.占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)

2、優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.4.調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有A種，m(m<n)個(gè)元素的全排列有A種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.記憶規(guī)律是：順序一定作除法.名師解惑1.解排列、組合應(yīng)用題應(yīng)注意哪些問題？剖析：做排列、組合的應(yīng)用題，一般來(lái)講要解決好三大難題：一是確定問題的屬性，即所給問題是排列還是組合；二是確定解題策略，即

3、是要分類求解還是分步求解；三是選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，即是用直接法還是間接法.而這三大難題的關(guān)鍵則是真正弄清“三對(duì)關(guān)系”的深刻含義.（1）“分類與分步”的關(guān)系分類復(fù)雜事件A的排列與組合問題，需要對(duì)A在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下分類討論，把A分解為n類簡(jiǎn)單事件A1，A2，An.分類的原則是：A=A1A2An,AiAj=(ij,i、j=1,2,n).在這樣的原則下對(duì)事件A分類，能夠確保分類的不漏不重.把A分為A1，A2，An的同時(shí)，對(duì)應(yīng)的辦法S也隨之被分為n類辦法S1，S2，Sn，且S=S1S2Sn,SiSj=(ij;i、j=1,2,n).其結(jié)果用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.分步1分為n步B1，B2，Bn，則對(duì)應(yīng)的有S1被

4、分為n種方法S11，S12，S1n.其結(jié)果用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.由此可見，我們可以得到兩點(diǎn)結(jié)論：其一，分類與分步是區(qū)別選用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，即分類相加，分步相乘；其二，若把事件A分為n類簡(jiǎn)單事件A1,A2,An，并且完成事件Ak又需分作Sk步（k=1,2,3,n)，對(duì)應(yīng)每一步又可有Ski(i=1,2,3,n)種不同方法，這樣完成事件A就共有N=(S11·S12·S13S1n)+(S21·S22·S23S2n)+(Sn1·Sn2·Sn3Snn)種不同方法.（2）“有序與無(wú)序”的關(guān)系界定排列與組合問題的唯一標(biāo)

5、準(zhǔn)是“順序”，“有序”是排列問題，“無(wú)序”是組合問題.排列與組合問題并存的時(shí)候，解答排列與組合問題，一般采用先組合后排列的方法解答.（3）“元素與位置”的關(guān)系解答排列與組合問題，界定哪些事物是元素，哪些事物是位置至關(guān)重要，又沒有唯一的定勢(shì)標(biāo)準(zhǔn)，所以要辯證地去看待元素與位置.解題過(guò)程中，要優(yōu)先安排有限制條件的特殊元素和特殊位置，并靈活運(yùn)用“捆綁法”和“插空法”，“直接法”和“間接法”.2.排列、組合應(yīng)用題的基本題型與解題策略是什么？剖析：排列、組合應(yīng)用題的常見類型及解題策略如下表：類型特征常見題型解題策略組合排列指定元素型從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含

6、在內(nèi)先C后A策略分類求解策略CC從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每一個(gè)排列（或組合），都至少包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素分類求解策略從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每一個(gè)排列（或組合），都至多包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素定位型從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列，規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置分步求解策略相鄰型把n個(gè)不同元素作全排列，規(guī)定

7、某r個(gè)元素連排在一起捆綁策略相離型把n個(gè)不同元素作全排列，規(guī)定某r個(gè)元素中的任意兩個(gè)元素都不相鄰（r)插空策略平均分組型把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有幾種分法排異除重策略環(huán)狀型把n個(gè)不同元素圍繞一個(gè)圓進(jìn)行排列，共有幾種不同的排列順序一定型把n個(gè)不同元素作全排列，規(guī)定某r個(gè)元素必須按一定順序排列，共有幾種不同排列講練互動(dòng)【例1】7個(gè)人按下列要求并排站成一排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站在正中間，也不站在兩端；（2）甲、乙兩人相鄰；（3）甲、乙之間相隔2人；（4）甲站在乙的右邊；（5）甲、乙都與丙不相鄰.（6）若7個(gè)人站成兩排，第一排3人，第二排4人，共有多少種站法？（7）若

8、7個(gè)人站成一個(gè)圓環(huán)，有多少種站法？分析：（1）的限制條件甲不站在正中間與兩端，意思是說(shuō)甲只能站在余下的4個(gè)位置，因此可以先在這4個(gè)位置上排上甲而后再排其他人員，或者先從其余六人中選出三人排在正中間和兩端.（2）由于甲、乙兩人相鄰，因此可把甲、乙兩人合看作一個(gè)元素（捆綁法）參加全排列，但不要忘記甲、乙兩人的局部排列問題.（3）可以先從其余五人中選兩人站在甲、乙之間，然后將此二人連同甲、乙四人看作一個(gè)元素（捆綁法）參加全排列，同樣甲、乙之間也要進(jìn)行全排列；還可以運(yùn)用“數(shù)數(shù)法”將甲、乙站的位置確定出來(lái)，即甲、乙只能在1與4，2與5，3與6，4與7這四種位置上.（4）甲不是站在乙的右邊，就是站在乙的左

9、邊，兩者必居其一，因此可以用“調(diào)序法”求解，或先按題目的要求從七個(gè)位置中選兩個(gè)將甲、乙排好，然后再排其余人員.（5）本題可分成甲、乙相鄰但不與丙相鄰及甲、乙不相鄰且都不與丙相鄰兩類進(jìn)行研究.（6）把元素排成幾排的問題，可化歸為一排考慮，再在一排中分段處理.（7）7人站成一個(gè)圓環(huán)，剪開排成一排，對(duì)應(yīng)7個(gè)排列.故環(huán)狀排列問題用剪斷直排法處理.（1）解法一：先讓甲站在余下的四個(gè)位置中的任一位置上，有C種，再讓余下的6人站在其他位置上，有A種不同站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有N=C·A=2 880種不同站法.解法二：甲不站正中間也不站在兩端，可先從其余6人中任選3人站在這3個(gè)位置上（占位法），

10、有A種站法，再讓剩下的4人（含甲）站在其他4個(gè)位置上，有A種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有N=A·A=2 880種不同站法.解法三：先讓甲以外的6人站成一排，有A種站法，再讓甲插入這6個(gè)人之間的4個(gè)空檔位置（不插在正中間），有A種方法.故共有N=A·A=2 880種不同的站法.解法四：整體排異法.無(wú)限制條件的7人并排站成一排，有A種站法，去掉甲站在正中間及兩端的情況，共有AA種，故共有N=A-AA=2 880種不同站法.（2）解法一：捆綁法.先把甲、乙兩人合在一起看作一個(gè)元素，參加全排列共有A種站法，然后甲、乙兩人局部排列，共有A種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N=A

11、·A=1 440種不同站法.解法二：插空法.先讓甲、乙以外的5個(gè)人站隊(duì)，有A種站法，再把甲、乙兩人合在一起作為一個(gè)元素插入5個(gè)人形成的6個(gè)空檔中，有A種站法，最后甲、乙兩人局部排列，有A種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有N=AAA=1 440種不同站法.（3）解法一：捆綁法.先從甲、乙以外的5人中任選2人站在甲、乙之間，有A種站法，再將甲、乙及中間二人共4人看作一個(gè)整體參加全排列，有A種站法，最后甲、乙進(jìn)行局部排列，有A種站法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有N=A·A·A=960種不同站法.解法二：數(shù)數(shù)法與插空法相結(jié)合.先讓甲、乙以外的5人站隊(duì)，有A種站法，再在5人

12、形成的6個(gè)空檔中的1與4，2與5，3與6，4與7的位置上排上甲、乙，共有4A種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，有N=A·4A=960種不同站法.（4）解法一：組合法順序一定用組合.先在7個(gè)位置中選2個(gè)位置排上甲、乙（甲在乙的右邊順序一定問題），有C種站法，再在余下的5個(gè)位置上站其余5人，有A種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，知共有N=C·A=2 520種.解法二：調(diào)序法.甲在乙的右邊與甲在乙的左邊的情況是一一對(duì)應(yīng)的，因此，甲在乙的右邊的站法是7人任意站法的一半.故共有N=A=2 520種.（5）解法一：直接法.分類求解.將問題分成甲與乙相鄰但不與丙相鄰及甲、乙、丙互不相鄰兩類研究.

13、第一類情況可先讓其余4人站隊(duì)，有A種站法，他們之間形成5個(gè)空檔，再把甲、乙兩人看作一個(gè)整體與丙共兩個(gè)元素插入5個(gè)空檔，有A種站法，最后甲、乙兩人進(jìn)行局部排列，有A種站法，故這類情況有A·A·A種不同站法；第二類情況也可先讓其余4人站隊(duì)，有A種方法，再把甲、乙、丙3人插入5個(gè)空檔，共有A種方法，因此這類情況有A·A種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，知共有N=A·A·A+A·A=2 400種不同站法.解法二：間接法.整體排異，7個(gè)人排成一排，有A種方法.甲、乙都與丙相鄰的站法，即丙站在甲、乙中間的站法共有A·A種；甲與丙相鄰或乙與丙相鄰

14、的站法均為A·A種.但甲、丙相鄰與乙、丙相鄰的站法中都包括了丙站在甲、乙中間，故根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理和整體排異策略知，共有N=A-2A·A+A·A=2 400種不同方法.（6）A=5 040種不同站法.（7）=720種不同的站法.綠色通道:“在”與“不在”，“相鄰”與“不相鄰”或“相間”，是常見的有限制條件的排列問題.“在”一般用“直接法”求解，“不在”可用“間接法”；“相鄰”問題一般用“捆綁法”，“不相鄰”問題用“插空法”；“順序一定”可用“調(diào)序法”或“組合法”.一般來(lái)說(shuō)，解排列、組合應(yīng)用題除了上述方法外，有時(shí)還用“占位法”或“數(shù)數(shù)法”，更多情況下需要對(duì)問題進(jìn)行恰當(dāng)

15、的分類或分步.分類時(shí)要注意“類與類”之間的并列性和獨(dú)立性、完整性；分步時(shí)要注意“步與步”之間的連續(xù)性和獨(dú)立性、依賴性，做到不重不漏.變式訓(xùn)練10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日_種.（用數(shù)字作答）解析：因?yàn)榧?、乙二人都不安排?0月1日和2日，可安排在其余5日值班，有A種方法；再安排其余5人，有A種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的安排方法共有A·A=2 400種.答案：2 400【例2】由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的共有_個(gè).解析：沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)共有CA=600個(gè)，其中個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)的與十

16、位數(shù)小于個(gè)位數(shù)的各占一半.符合題意的共有300個(gè).答案：300變式訓(xùn)練2.(2006高考北京卷，3)在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（ ）A.36個(gè) C.18個(gè) 解析：由各位數(shù)字之和為奇數(shù)，分兩類：三位數(shù)都是奇數(shù)或兩個(gè)偶數(shù)一個(gè)奇數(shù)，滿足條件的三位數(shù)共有A+CA=24個(gè).答案：B【例3】現(xiàn)有10個(gè)完全相同的小球分配到三個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少分得1個(gè)小球，問有多少種不同分法？分析：對(duì)于相同元素的分組分配問題，常規(guī)解法煩瑣而易錯(cuò)，若掌握隔板法，則操作方便且易懂.將10個(gè)完全相同的小球排成一行，10個(gè)球之間出現(xiàn)9個(gè)空檔，用“隔板”把10個(gè)小球隔成有序的

17、三份，每個(gè)班級(jí)依次按班級(jí)序號(hào)分到對(duì)應(yīng)位置的幾個(gè)球.解：根據(jù)以上分析，分球的方法實(shí)際上為隔板的隔法：即9個(gè)空插入2個(gè)隔板，其方法數(shù)為：N=C=36種.綠色通道:n個(gè)相同的元素分配到m個(gè)不同的單元中（nm)，不能有空放，常用隔板法，有C種不同的分配方法.變式訓(xùn)練3.8個(gè)相同的球放入標(biāo)號(hào)為1、2、3的三個(gè)盒子中，問有多少種不同的放法？解法一：與例3不同的是，此題中的盒子可以為空.還是利用隔板原理將8個(gè)球分為三堆，只不過(guò)有的堆的球數(shù)為零，即在8個(gè)球之間及兩端插入兩塊隔板.首先將8個(gè)球排成一排，就有9個(gè)空，任取一個(gè)空插入一塊隔板，有C種；然后再將第二塊隔板插入前面8個(gè)球和第一塊隔板形成的10個(gè)空中，有C

18、CC=C=45種.解法二：分三類：第一類，把8個(gè)小球放入一個(gè)盒內(nèi)，有C種放法.第二類，把8個(gè)小球放入兩個(gè)盒內(nèi)，先去掉一個(gè)空盒有C種方法，然后在8個(gè)小球的7個(gè)空隙中插入一個(gè)隔板分成兩份，分別放入兩個(gè)盒內(nèi)有C種方法，故第二類共有C·C種方法.第三類，三個(gè)盒子都不空，利用隔板法將8個(gè)小球分成三份，分別放入3個(gè)盒中，共有C種方法，故共有C+C·C+C=45種方法.【例4】有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需由2人承擔(dān)，乙、丙各需由1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有多少種？分析：有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，常采用逐步分組法求解.解：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再?gòu)氖Ｏ?人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，最后從另外7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，根據(jù)乘法原理可知不同的方法種數(shù)共計(jì)C·C·C=2 520種.綠色通道:有序分配問題通常是根據(jù)需要選出人員分配給各個(gè)任務(wù)或項(xiàng)目.變式訓(xùn)練4.(2006高考重慶