高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí)學(xué)案14講第9講直線

1、第9講 直 線一、知識(shí)要點(diǎn)1、直線的傾斜角的范圍是，傾斜角為時(shí)，斜率不存在，討論直線問題時(shí)，不可忽視斜率不存在的情形。經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率為2、直線方程的各種形式：（1）點(diǎn)斜式： （2）斜截式：（3）兩點(diǎn)式：（4）截距式：（5）一般式：，其中A，B不全為零。 3、關(guān)于兩直線平行與垂直的判斷：（1） 設(shè)直線的斜率存在，分別為 若不重合，則（2） 設(shè)直線，則與相交；，且或4、夾角與距離設(shè)直線的斜率存在，分別為且夾角不是若的夾角是，則點(diǎn)到直線的距離為兩平行線間的距離為5、直線系與直線平行的直線系方程為與直線垂直的直線系方程為經(jīng)過直線的交點(diǎn)的直線系方程為，其中不包括直線二、例題精析例1、若點(diǎn)和都在直線

2、上，則（ ）（A）點(diǎn)和點(diǎn)都在上； （B）點(diǎn)和點(diǎn)都不在上；（C）點(diǎn)在上，點(diǎn)不在上；（D）點(diǎn)不在上，點(diǎn)在上；訓(xùn)練1、已知直線和的交點(diǎn)為P（3，5），求經(jīng)過兩點(diǎn)的直線方程。訓(xùn)練2、不論為何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn) 。例2、過點(diǎn)P（0，1）作一直線，使它被兩條已知直線和所截得的線段恰好以P為中點(diǎn)，求直線的方程。訓(xùn)練3、直線過點(diǎn)P（1，2），且A（2，3）、B（4，-5）到的距離相等，則直線的方程是 。訓(xùn)練4、求與直線3x+4y+12=0平行，且與坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程。例3、已知ABC的頂點(diǎn)A(3, -1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0，B的平分線所在直線的方程為

3、：x-4y+10=0，求邊BC所在直線的方程。訓(xùn)練5、在中，BC邊上的高所在直線的方程為，的平分線所在的直線方程為，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)。例4、已知線段PQ，P（-1，1），Q（2，2），直線與PQ的延長(zhǎng)線相交，則的取值范圍是什么？訓(xùn)練6、 若直線mx+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，其中A(-2, 3)，B(3,2)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。例5、已知直線和點(diǎn)P（6，4），在直線上求一點(diǎn)Q，使過PQ的直線與以及軸在第一象限內(nèi)圍成的三角形的面積最小。訓(xùn)練7、經(jīng)過點(diǎn)作直線，分別交軸、軸的正向于A、B，（1）、求取得最小值時(shí)直線的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求直線的方程（O為原點(diǎn)）

4、。例6、平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線的距離中的最小值是（ ）（A） （B） （C） （D）訓(xùn)練8、已知 x+y-4=0，則的最小值是 。訓(xùn)練9、函數(shù)的最小值是 。例7、已知平面上兩點(diǎn)A（4，1），B（0，4），在直線上找一點(diǎn)M，使|MA|-|MB|最大，求M的坐標(biāo)及最大值。訓(xùn)練10、有一條光線從點(diǎn)A（-3，5）射到以后，再反射到一點(diǎn)B（2，15），求這條光線從A到B的長(zhǎng)度。訓(xùn)練11、直線y=x關(guān)于直線x1對(duì)稱的直線方程是_ _。例8、求方程表示的圖形所圍成的區(qū)域的面積。訓(xùn)練12、由方程確定的曲線所圍成的圖形的面積是（ ）（A）1 （B）2 （C） （D）4例9、已知函數(shù)，求集合有

5、四個(gè)不相等的實(shí)根。訓(xùn)練13、已知函數(shù)，若方程恰有兩相異實(shí)根，求的取值范圍。例10、已知平面內(nèi)點(diǎn)滿足不等式，求的最小值。訓(xùn)練14、若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，求函數(shù)的最大值。三、鞏固練習(xí)（一）、選擇題1、設(shè)全集，則等于（ ）（A） （B） （C）（2，3） （D）2、若直線(m2-1)x-y+1-2m=0不過第一象限，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（ ）（A）-1<m （B）m1 （C）<m<1 （D）m13、過點(diǎn)（1，3）且垂直于直線的直線方程為（ ）（A）（B）（C）（D）4、點(diǎn)P在直線x+y-4=0上，O為原點(diǎn)，則|OP|的最小值是（ ）（A）2 （B） （C） （D）5、已知兩定點(diǎn)A（2，

6、-3）、B（-3，-2），過點(diǎn)P（1，1）且斜率存在的直線與線段AB相交，則直線的斜率的取值范圍是（ ）（A）或 （B） （C） （D）6、若直線經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為2，則直線的條數(shù)為（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4（二）、填空題7、過點(diǎn)A（2，-3），且在坐標(biāo)軸截距相等的直線方程是_。8、若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值有正也有負(fù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。9、不論取何實(shí)數(shù)，直線恒過定點(diǎn) 。10、直線的傾斜角的取值范圍是 。（三）、解答題11、在菱形ABCD中，A（-4，7），C（6，-5），又BC邊所在直線過點(diǎn)P（8，17），求：（1）AD邊所在直線的方程；（2）對(duì)角

7、線BD所在直線的方程。12、已知ABC中，頂點(diǎn)A（2，1），B（-1，-1），C平分線所在直線方程是，求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)。13、一光線從軸正向上一點(diǎn)P發(fā)出，被直線反射到達(dá)點(diǎn)后又被軸反射，反射光線與直線平行，求的周長(zhǎng)和面積（Q為上的反射點(diǎn)）。14、預(yù)算用2000元購買單價(jià)為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問桌、椅各買多少才行？第9講 直 線 參考答案例1、解：選A。由N在上，得，即，所以在上，又M在上，則，于是又，所以上式化為，即，可知點(diǎn)也在上。訓(xùn)練1、解法1、由得，因，否則，與兩直線的題設(shè)矛盾，故，于是直線方程為，即，即解法2

8、、由P（3，5）在兩直線上，得，即均滿足方程故A，B都在直線上，而經(jīng)過A，B的直線是惟一的，于是直線AB的方程為訓(xùn)練2、答案：（-4，3）例2、解法1：由題設(shè)易知直線的斜率存在，可設(shè)，設(shè)其與的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為， ； 因?yàn)镻（0，1）是的中點(diǎn)，所以 解得，故解法2：設(shè)與的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則可知直線經(jīng)過兩點(diǎn)（0，1）和（-4，2）。可求出其方程為。訓(xùn)練3、或訓(xùn)練4、解法一：先用“平行”這個(gè)條件設(shè)出l 的方程為3x+4y+m=0再用“面積”條件去求m，直線l交x軸于，交y軸于由，得，代入得所求直線的方程為：解法二：先用面積這個(gè)條件列出l的方程，設(shè)l在x軸上截距離a，在y軸上截距b，則有，因?yàn)閘的傾角為

9、鈍角，所以a、b同號(hào)，|ab|=ab，l的截距式為，即48x+a2y-48a=0又該直線與3x+4y+2=0平行，代入得所求直線l 的方程為例3、解法1：設(shè)B(a, b)，B在直線BT上，a-4b+10=0 又AB中點(diǎn)在直線CM上，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程6x+10y-59=0 解、組成的方程組可得a=10，b=5 B(10, 5)，又由角平分線的定義可知，直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角，又 ，BC所在直線的方程為即2x+9y-65=0解法2：如上求出B（10，5），設(shè)A關(guān)于BT對(duì)稱的點(diǎn)為，可知在直線BC上，由解得，進(jìn)而可求出BC所在直線的方程為2x+9y-65=0。訓(xùn)練5、解：由題意

10、知，A是BC邊上的高與的平分線的交點(diǎn)。由，得，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）。又的平分線為軸，故，于是AC的方程為。又BC邊上的高所在直線的斜率為，故，于是BC的方程為由，解得，故點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5，-6）。例4、解法1：直線的方程，即經(jīng)過點(diǎn)M（0，-1），過點(diǎn)M作直線，顯然，的斜率為。過M、Q作直線，則的斜率為，如圖所示，與PQ的延長(zhǎng)線相交的直線應(yīng)夾在與之間，即（為的斜率）。于是解法2：直線PQ的方程為，即，解方程組，當(dāng)時(shí)，得，即直線與直線PQ的交點(diǎn)的坐標(biāo)。欲使交點(diǎn)位于線段PQ的延長(zhǎng)線上，必須且只需，或者，解這兩個(gè)不等式，均有又時(shí)，方程組無解，故的取值范圍是訓(xùn)練6、解：直線mx+y+2=0過一定點(diǎn)

11、C(0, -2)，直線mx+y+2=0實(shí)際上表示的是過定點(diǎn)(0, -2)的直線系，因?yàn)橹本€與線段AB有交點(diǎn)，則直線只能落在ABC的內(nèi)部，設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2，則由斜率的定義可知，直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足kk1或kk2， A(-2, 3) B(3, 2) -m或-m 即m或m例5、解：設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為，則PQ的方程為又直線PQ交軸于，則有即點(diǎn)M的坐標(biāo)為從而即時(shí)，S有最小值。故所求點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2，8）訓(xùn)練7、（1）設(shè)直線的方程為：，顯然k不存在時(shí)的直線不符合題意?？傻?，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所求直線的方程為（2）解法一：設(shè)所求直線方程為由題意知，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)

12、取得最小值，從而，所以直線的方程為。解法2：過M點(diǎn)分別作軸、軸的垂線MD、ME，設(shè)，則當(dāng)，即時(shí)，的面積取最小值4，此時(shí)OA=4，OB=2，直線的方程為。例6、解：選B。設(shè)整點(diǎn)為，則它到直線的距離為。由于，故是5的倍數(shù)，于是有當(dāng)時(shí)，所以所求最小值為訓(xùn)練8、； 訓(xùn)練9、例7、解：設(shè)點(diǎn)B（0，4）關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，則由，得，故延長(zhǎng)AC與直線相交，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，此時(shí)|MA|-|MB|=|MA|-|MC|=|AC|=。設(shè)N為上任一點(diǎn)，則|NA|-|NB|=|NA|-|NC|，當(dāng)且僅當(dāng)N與M重合時(shí)取等號(hào)。直線AC的方程為，即由解得故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，5）時(shí)，|MA|-|MB|最大，最大值為。訓(xùn)練10、解

13、：由于直線的斜率是，過A作直線，則的方程是。由直線的方程解得這兩條直線的交點(diǎn)為C（0，1）。設(shè)與A關(guān)于對(duì)稱，則C為的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得的坐標(biāo)為（3，-3）。如果光線在上的反射點(diǎn)是P，則P在直線上，那么光線從A到B的長(zhǎng)為訓(xùn)練11、例8、解：把代入已知方程仍得，因此，已知方程的圖形關(guān)于軸對(duì)稱，為此，只需求其一半，即求所圍成的面積即可。作圖可求出其面積為240，故原方程所圍成的面積為480。訓(xùn)練12、答案：B例9、解：作出的圖象，方程有四個(gè)不相等的實(shí)根，就是直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)不同的交點(diǎn)。設(shè)直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，令它的斜率為，則。由方程組令得或，當(dāng)時(shí)，方程兩根，不符合題意；當(dāng)時(shí)，方程兩根，符合題意。故訓(xùn)練13、答案：例10、解：由有或滿足不等式組的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的區(qū)域是如圖所示的陰影部分，的幾何含義是區(qū)域內(nèi)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離。取最小值時(shí)，可能是O到的距離，也可能是O到的距離，加以比較即可。O到的距離為；O到的距離為。所以的最小值為故的最小值為訓(xùn)練14、解：的最大值即通過區(qū)域的直線的縱截距的最大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。鞏固練習(xí)一、選擇題1、B；2、D；3、A；4、C；5、A；6、C二、填