量子力學(xué)答案(第二版)蘇汝鏗第六章課后答案613-6#1

1、 但 m=0, ± 1,±2 k=任何值。 的本征方程式： 將（3）代入 H 2 2 2 ì ü 1 ï- 2 ¶ y - 2 ¶ y - 2 ¶ y - 2 1 dy ï + i qB ¶y + ( eB 2 r 2y = Ej í 2u ï r dr ý c ¶j 2c ¶r 2 r 2 ¶j 2 ¶z 2 ï î þ (4 在消去與 j 和 z 有關(guān)系的公因式后得 d 2R dr 2 1 +

2、r dR dr qB 2 2 2 mE 2 m + ( mBq hc + h 2 - k - ( 2 ch r - r 2 R = 0 2 （5） 令 gº qB 2c (5)' 作自變量變換 x º gr 2 ，則有： dR dx dR dR dR = = 2gr = 2 gx dr dr dx dx dx d 2 R dx d dR d 2R dR = ( 2 gx = 4 xg + 2g 2 2 dr dr dx dx dx dx 代入（5）得 x d 2 R dR ìx m2 ü + - + l + í ýR = 0

3、dx 2 dx î 4 4x þ （6） 式中 lº k 2 m mE k 2ch m mEc - - = - - 4g 2 2gh 2 2qB 2 qbh （7） 其次求（6）的關(guān)于奇點(diǎn)上的近似解 （6）成為： x x ® 0 時(shí)， 漸近解 R = x m 2 d 2 R dR m 2 + - R=0 dx 2 dx 4x （6）成為： x x ® ¥ 時(shí)， 漸近解 R = x -2 x d 2R x - R=0 dx 2 4 ，所以方程式（6）的特解可假設(shè)為： m -x R(x = x 2 e 2 F (x （8） 將（8）代入（

4、6）后得關(guān)于 F (x 的微分方程： x 1+ m d 2F dF + (1 + m - x + (l + F = 0 （9） dx 2 dx 2 這屬于合流超幾級(jí)數(shù)，后者的一般形式 是： x d 2F dF + (g ' - x - aF = 0 2 dx dx （ 10 ） 后者的解是合流超幾級(jí)數(shù)；它表示為： F (a , g ' ; x = å a (a + 1 × (a + n - 1 x n ' ' ' m =0 g (g + 1 × ×(g + n - 1 n! （11） 由于對(duì)比系數(shù)知道（9）的解是

5、1+ m F (x = F ( + l ,1 + m ; x 2 （12） 但從收斂的性質(zhì)說(shuō)，合流超幾何級(jí)數(shù)的鄰項(xiàng)比是（取極限） x ，這和已知函數(shù) ex 鄰項(xiàng)比極限相同。 n ex 不適宜作為波函數(shù)，因此，若?。?2 ）作為滿(mǎn)足標(biāo)準(zhǔn)條件的解，級(jí)數(shù)需要中斷，若（12）作 為多項(xiàng)式最高冪 n，則 x n +1 項(xiàng)的系數(shù)為零， 要求 a +n=0 即 1+ m 2 +l +n = 0 （13） 從（7）知道，這條件是： - k2 4r + m mE 1 + m + = +n 2 2rh 2 2 解出 E，得到 E= 2h 2 r k 2 1 + m m h 2k 2 qhB 1 m -m + - +