費馬點的兩證明方法_第1頁
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費馬點的兩證明方法_第3頁
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文檔簡介

1、費馬點 的兩證明方法費馬點，就是平面上到三角形三頂點距離之和最小的點。當三角形有一個內(nèi)角大于或等于一百二十度的時候，費馬點就是這個內(nèi)角的頂點；如果三 個內(nèi)角都在 120 度以內(nèi)，那么，費馬點就是使得費馬點與三角形三頂點的連線兩兩夾角為 120 度的點。1、費馬點不在三角形外，這個就不用證了，很顯然。但為了嚴謹，還是說一下2、當有一個內(nèi)角大于等于 120 度時候?qū)θ切蝺?nèi)任一點 P延長BA至C使得AC=AC做/ CAP= / CAP并且使得 AP=AP, PC=PC,（說了這么多,其實就是把三角形APC以 A為中心做了個旋轉(zhuǎn)）則厶 APCA APCvZ BAO 120/PAP=180 - Z B

2、AP-Z CAP=180 - Z BAP-Z CAP=180 - Z BACC 60等腰三角形 PAP中，AP PP PA+PB+P3CPP+PB+PCBC=AB+AC所以A是費馬點3、當所有內(nèi)角都小于 120時做出 ABC內(nèi)一點P,使得/ APCM BPCM CPA=120 ,分別作PA,PB,PC的垂線，交于D,E,F三點，如圖，再作任一異于 P的點P，連結(jié)PA,PB,PC，過P作PH垂直EF于H易知/ D=Z E=Z F=60,即厶DEF為等邊三角形，計邊長為d,面積為S則有 2S=d(PA+PB+PC) PA PH所以 2SA EPFW PA*d同理有2SA DPFW PB*d2SA EPDW PC*d相加得 2SPA+PC+P,C與假設矛盾，所以圓與橢圓必相切(不可能沒有公共點吧, 因為都過P)做他們的公切線，并作直線 BP,顯然BP與公切線垂直由橢圓的幾何性質(zhì)易知，BP平分角APC所以/ APB=/ CPB同理有

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