元次不等式與簡單的線性規(guī)劃問題教師用

1、二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題一、知識歸納：1二元一次不等式表示的平面區(qū)域：二元一次不等式 Ax亠By亠C 0在平面直角坐標系中表示直線Ax亠By亠C = 0某一側所有點組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）對于在直線Ax By C =0同一側的所有點（x, y），實數(shù)Ax By C的符號相同，所以只需在此直線的某一側取一特殊點（X。，yo）,從Ax0 By0 C的正負即可判斷Ax By C 0表示直線哪一側的平面區(qū)域 （特殊地，當C工0時，常把原點作為此特殊點） 2 線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題滿足線性約束條件的解（x,y）叫

2、做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。分別使目標函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解。3 線性規(guī)劃問題應用題的求解步驟：（1 ）先設出決策變量，找出約束條件和線性目標函數(shù)；（2 ）作出相應的圖象（注意特殊點與邊界）（3 ）利用圖象，在線性約束條件下找出決策變量，使線性目標函數(shù)達到最大（?。┲?二、例題分析： 例1畫出不等式2 x+y-6 v 0表示的平面區(qū)域.解：先畫直線 2 x +y-6=0 （畫成虛線）取原點（0, 0）,代入 2x+y-6, v 2X 0+0-6=-6 v 0,原點在2 x + y-6v 0表示的平面區(qū)域內，不等式2 x +y-6v 0表示的區(qū)域如圖:點（-2,

3、t）在直線2x-3y+6=0的上方，則t的取值范圍是 _（t>2/3）.y/hx - y 5 _0畫出不等式組x亠y _0表示的平面區(qū)域.x乞3解：不等式x-y+5>0表示直線x-y+5=0上及右下方的點的集 合，x+y>0表示直線x+y=0上及右上方的點的集合，xw 3表示直線x=3上及左方的點的集合.不等式組表示平面區(qū)域即為圖示的三角 形區(qū)域：例2 .設x, y滿足約束條件:|x _4y _ _3*3x+5y 蘭25 ,x >1分別求:(1) z =6x 10y ; (2) z = 2x 一 y ; ( 3) . - . x2 y2 ；(4) . = 的最大x十1值

4、與最小值。22解：(1)先作可行域，如下圖所示中UABC的區(qū)域，且求得 A(5,2)、B(1,1)、C(1,二)5作出直線lo：6x 100 ,再將直線I。平移，當I。的平行線h過點B時，可使z = 6x 10y達到最小值；當Io的平行線*過點A時，可使z = 6x，10y達到最大值。故 zmin =6 1 10 1=16, zmax =6 5 10 2 =50(2)同上，作出直線|° :2x-y =0，再將直線1°平移，當1°的平行線h過點C時，可使z=2x-y達到最小值；當I0的平行線I2過點A時，可使z =2x-y達到最大值。12 o則 ZminZmax =

5、85(3)表示區(qū)域內的點(x,y)到原點的距離。貝U (x, y)落在點B(1,1)時，最小，(x, y)落在點A(5,2)時，最大，故-min, - .maX則(x, y)落在點A(5,2)時，最小,(4)表示區(qū)域內的點(x, y)與點D(-1,0)連線的斜率。22 1(x,y)落在點C(1,T)時最大，故"mi3，11''max :5例3.某企業(yè)生產甲、乙兩種產品，已知生產每噸甲產品要用A原料3噸，B原料2噸;生產每噸乙產品要用 A原料1噸，B原料3噸，銷售每噸甲產品可獲得利潤 5萬元，每噸 乙產品可獲得利潤 3萬元。該企業(yè)在一個生產周期內消耗 A原料不超過13噸

6、，B原料不超 過18噸.求該企業(yè)可獲得最大利潤。例3.解析 設生產甲產品x噸，生產乙產品y噸，則有關系：A原料B原料甲產品x噸3x2x乙產品y噸y3yx >013(0, 6Oy >0則有：，目標函數(shù)5x 3y|3x +y 蘭 132x 3y 乞 18作出可行域后求出可行域邊界上各端點的坐標，經(jīng)驗證知:當x = 3, y = 4時可獲得最大利潤為 27萬元。3 / 63三、練習題：1.不等式X-'2y_0表示的平面區(qū)域是2.D.8 / 6x y _ 4I3.已知點P(x, y)的坐標滿足條件 yAx ，點0為坐標原點，那么|P0|的最小值等于x知J2_,最大值等于_jrox

7、- y 1_04.如果實數(shù)x、y滿足條件 y+10 ，那么2x-y的最大值為x + y +1 蘭 0C. -2表示的平面區(qū)域上運動，則z二x - y的取值范x-20,5.已知點P (x, y)在不等式組y -1蘭0,(X +2y 2 狂0圍是A . 2, - 1 B . 2, 1C. 1, 2 D. 1 , 2x - y 5 一 06.已知滿足約束條件x y 一0 ，則z =2x 4y的最小值是x乞3A . 5B . 6C. 10D . 107.在平面直角坐標系中，不等式組x y - 2 _0,x - y 2 _ 0,表示的平面區(qū)域的面積是x _2C. 2、2D . 28.已知函數(shù)f x的定義

8、域為I - 2,：；心！，部分對應值如下表，f' x為f x的導函數(shù)，函數(shù)y = f' x的圖像如圖所示若兩正x-204f(x)1-11數(shù)a,b滿足f 2a b : 1，則的取值范圍是(根據(jù)題意可以a 3畫出函數(shù)的圖像，然后畫出可行域)A .' B.37 C.7 33 33 39.點P(a,4)到直線x-2y，2 = 0的距離為2 3，且P在3x y-30表示的區(qū)域內，則a =_16_x乞010.若A為不等式組y _0表示的平面區(qū)域，則當a從2連續(xù)變化到1時，動直線y -X _2x y =a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為 _811.設變量x、y滿足約束條件 x + y2，

9、則目標函數(shù)z=2x+y的最小值為_3屮 3x - 63x_y _6 冬012 .設x, y滿足約束條件 x-y，2_0,X _ 0, y _ 02323若目標函數(shù)z=ax+by(a >0,b>0)的是最大值為12,則2+3的最小值為勻a b 6解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當直線ax+by= z (a>0, b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時，目標函數(shù)z=ax+by (a>0, b>0 )取得最大12,即4a+6b=12,236即 2a+3b=6,而-3=(2aba13.某廠生產 A與B兩種產品，每公斤的產值分別

10、為 600 元與400元.又知每生產1公斤A產品需要電力2千瓦、煤4 噸；而生產1公斤B產品需要電力3千瓦、煤2噸.但該廠 的電力供應不得超過 100千瓦，煤最多只有 120噸.問如何 安排生產計劃以取得最大產值 ？解:設生產A與B兩種產品分別為 x公斤，y公斤，總產值2x 3y00為Z元。貝y4x +2y蘭120x_y+2=平0, y A0且 z = 600x 400y作可行域：作直線1: 600x+400y=0,即直線1: 3x+2y=0，把直線I向右上方平移至I1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點A,且與原點距離最大，此時z=600x+400y取最大值.解方程組'2x+3y=100一

11、：2x + y=60，得 A 的坐標為 x=20, y=20答：生產A產品20公斤、B產品20公斤才能才能使產值最大。14某公司準備進行兩種組合投資，穩(wěn)健型組合投資是由每份金融投資20萬元，房地產投資30萬元組成；進取型組合投資是由每份金融投資40萬元，房地產投資 30萬元組成。已知每份穩(wěn)健型組合投資每年可獲利10萬元，每份進取型組合投資每年可獲利15萬元。若可作投資用的資金中，金融投資不超過160萬元，房地產投資不超過180萬元，那么這兩種組合投資應注入多少份，才能使一年獲利總額最多？解：設穩(wěn)健型投資x份，進取型投資 y份，利潤總額為z （X 10萬元），則目標函數(shù)為z=（x，1.5y） （

12、x 10萬元），20x40y 空 160 x 2y 乞8線性約束條件為：30x 30180，即卩x 6X0, y 0x0, y0"x +2y =8作出可行域（圖略），解方程組丿 '，得交點M（4,2）X + y = 6作直線x 1.50，平移丨，當丨過點M時，z取最大值：Zmax = （4 3） 10萬元=70萬元。15.某公司計劃2009年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元.問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？解：設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為X分鐘和y分鐘，總收益為 z元，由題意得 500x 200y 乞 90000 即 5x 2y 乞 900目標函數(shù)為z =3000x 200（或y .x y w 300,線性約束條件為5x 2y< 900,x > 0, y > 0.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如