向量的回路與回路法的教學(xué)思考

1、向量的回路與回路法的教學(xué)思考上虞中學(xué)（312300）謝全苗向量是高中教材的新內(nèi)容，也是近年高考命題的熱點(diǎn)與重點(diǎn)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)重要標(biāo)志之一的向量引入中學(xué)數(shù)學(xué)后，不僅給中學(xué)數(shù)學(xué)的教、學(xué)帶來(lái)了無(wú)限的生機(jī)，而且大大拓寬了解題的思路與方法，是提高學(xué)生解題能力、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的一個(gè)亮點(diǎn)但由于向量是新增內(nèi)容，教師自己也與學(xué)生一樣，剛剛接觸這一內(nèi)容，缺少的不僅僅是經(jīng)驗(yàn)，而且還有怎樣有效地去指導(dǎo)學(xué)生解題的思想方法，因此，探索、總結(jié)、提練一些行之有效的解題方法，是當(dāng)前指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)、掌握、運(yùn)用好向量這一新增內(nèi)容的重要的課題特別當(dāng)幾何問(wèn)題不能或較難建立坐標(biāo)系來(lái)解決的情況下，學(xué)生常常感到困難重重，盡管心理學(xué)家認(rèn)為：“耐

2、挫力在克服困難中表現(xiàn)，也在經(jīng)受挫折、克服困難中發(fā)展，困難是培養(yǎng)學(xué)生耐挫力的的磨刀石”，但避免使他們?cè)馐苓^(guò)重的精神打擊和接連的挫折，并恰到好處地去啟發(fā)他們，始終是一個(gè)教師的能力與水平的體現(xiàn)下面通過(guò)具體的例子，來(lái)介紹“回路法”在向量解題中的應(yīng)用所謂“回路”就是向量從一點(diǎn)出發(fā)，通過(guò)一條封閉的路徑又回到原點(diǎn)的那條通路就是這個(gè)直觀和簡(jiǎn)單的“回路”，常常關(guān)系到問(wèn)題解決的成敗抓住“回路”和選好“回路”往往是解不能或較難建立坐標(biāo)系來(lái)解決幾何問(wèn)題的向量解法的關(guān)鍵與契機(jī)，有時(shí)因未從“回路”著手去思考或由于沒(méi)有在眾多的“回路”中選好“回路”使問(wèn)題的解決陷入困境，相反，由于從“回路”著手去尋找思維的突破口或從眾多的“

3、回路”中選好“回路”，從而使問(wèn)題解決的簡(jiǎn)捷明快例1已知一個(gè)的二面角的棱上有兩點(diǎn)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于的線(xiàn)段，若，則解：選作為“回路”，則例直角三角形中，=，=，= 4，取的平分線(xiàn)，交于，交于，將圖形沿折起，使=，求折起后線(xiàn)段的長(zhǎng)（）（）解：如圖（）是未折前的平面圖形，由題意知是正，且為的中點(diǎn)由，得，作，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，則，圖（）是折后的圖形，,故=×××解析：本題中為何要新選作為“回路”呢？這正是本題的巧妙與成功和值得大家的借鑒之處事實(shí)上，本題關(guān)于向量的“回路”有許多，如： ， ， ， ， ， 等等 ，由于要求，就要先求，即求而在其向量平方中必有數(shù)量積，這就要知道

4、相應(yīng)向量的模和相應(yīng)向量間的角，但上述“回路”中和向量不是相應(yīng)向量的模未知，就是相應(yīng)向量間的角未知或難求，而新選的“回路”：中，不但相應(yīng)向量的模已知或易求，而且相應(yīng)向量間的角既有已知可求，又有相互垂直，從而為問(wèn)題的解決創(chuàng)造生機(jī)例已知四邊形中，a2c，5a + 6b8c ,對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)為，則 解：選“回路”： ）.由于為中點(diǎn)，所以， （a2c ）+（ 5a + 6b8c）a + bc例 已知P是正方形平面外一點(diǎn)，分別是上的點(diǎn)，且求證：直線(xiàn)平面證明：選“回路”：,，則在上取一點(diǎn)，使，于是 ， 平面例已知平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，側(cè)棱的長(zhǎng)為，且和、的夾角都等于求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)及直線(xiàn)和所成角的余弦值解：選“回路”：, 則=同理，而，直線(xiàn)和所成角的余弦值為例（2002年全國(guó)卷18題）如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直點(diǎn)在AC上移動(dòng), 點(diǎn)在BF上移動(dòng)，若（<<）求的長(zhǎng)；當(dāng)為值時(shí)，的長(zhǎng)為最小；當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的大小解：作交于點(diǎn)，連結(jié)，則平面ABEF，由，選“回路”：，則 . （<<） 當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)最小值為；取的中點(diǎn)，易證為二面角的平面角，選“回路”：，于是，求得，二面角的大小為 例 已知P是正方形ABCD平面外一點(diǎn)，、分別為PA，B