數(shù)值分析第二次程序題

1、數(shù)值分析第二次程序題插值法1.對Runge函數(shù) 在區(qū)間-1,1作下列插值逼近，并和R(x的圖像進(jìn)行比較，并對結(jié)果進(jìn)行分析。(1 以為節(jié)點，Newton插值圖1 -0.7,0.7上的Newton插值 圖2 -1,1上的Newton插值由上圖可以看出，在區(qū)間-0.7,0.7上，插值多項式可以比較好地逼近被插值函數(shù)。而當(dāng)區(qū)間改為-1,1時，邊界附近插值多項式與被插值函數(shù)的差別很大。即出現(xiàn)了Runge現(xiàn)象。由于邊界接近60的誤差，圖像中間部分的變化幾乎不可見。主要原因是被插值函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)不能達(dá)到一致有界。其插值余項不趨近零。插值多項式不能收斂到被插值函數(shù)。牛頓差值函數(shù)function f=niud

2、un(z,N,nf=N(1,1;x=-1:0.1:1;for k=2:n a=1; for r=1:(k-1 a=a*(z-x(r; end f=f+N(k,k*a; end主程序x=-1:0.1:1;n=length(x;for i=1:ny(i=1/(1+25*x(i*x(i;endN=zeros(n,n; N(:,1=y' for j=2:n for k=j:n N(k,j=(N(k,j-1-N(k-1,j-1/(x(k-x(k-j+1; end end for t=1:nc(t=N(t,t;endz=-1:0.001:1;m=size(z,2;for i=1:mRunge(i=

3、1/(1+25*z(i*z(i;f(i=niudun(z(i,N,n;endplot(z,Runge,'k',z,f,'r'(2以 為節(jié)點，Lagrange插值圖3 以Chebyshev多項式零點為插值點 圖4 以等距節(jié)點為插值點如圖所示，使用Chebyshev多項式零點構(gòu)造的Lagrange插值多項式比較接近原函數(shù)，沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，圖4為第一小問中的等距節(jié)點插值，可以明顯的看出以Chebyshev多項式零點為插值點的優(yōu)勢。主要原因是其多項式誤差為，在區(qū)間內(nèi)一致收斂。Lagrange函數(shù)function lag=lagrange(z,x,yfor i=1

4、:21l(i=1;for j=1:21if j=il(i=l(i*(z-x(j/(x(i-x(j; endendendl=l'lag=y*l;主程序for i=1:21x(22-i=cos(2*i-1*pi/42;endfor i=1:21y(i=1/(1+25*x(i*x(i;endz=-1:0.001:1;m=length(z;for i=1:mf(i=1/(1+25*z(i*z(i;lag(i=lagrange(z(i,x,y;endplot(z,f,'k',z,lag,'r'(3以為節(jié)點，分段線性插值如下圖所示，分段線性插值多項式比較接近原函數(shù)，

5、沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。但是可以明顯地看到在區(qū)間-0.1,0.1中，線性插值的擬合度較低，因為這一部分的函數(shù)的曲率較大，也就是二階導(dǎo)數(shù)較大。由誤差估計公式可知這一部分的誤差較大。圖5 線性插值(4以為節(jié)點，三次自然樣條插值圖6 三次自然樣條插值函數(shù)圖像由上圖可以看出，三次樣條插值函數(shù)的曲線及其光滑，圖中并沒有將插值函數(shù)連起來，否則基本無法分辨出原函數(shù)和插值函數(shù)的圖像，說明得到的函數(shù)十分接近被插值函數(shù)。另外，題目要求自然樣條插值，也就是再兩端的二階導(dǎo)數(shù)為0，需在變成過程中加以注意。x=-1:0.1:1;n=length(x;for i=1:ny(i=1/(1+25*x(i*x(i;endfor

6、i=1:n-1h(i=x(i+1-x(i;endfor i=1:n-2u(i=h(i/(h(i+1+h(i;r(i=1-u(i;endG=zeros(n-2,n-2;for i=1:n-2G(i,i=2;endfor i=2:n-2G(i,i-1=u(i-1;G(i,i+1=r(i-1;endd=zeros(1,n-2;for i=1:n-2d(i=6*(y(i+2-y(i+1/h(i+1-(y(i+1-y(i/h(i/(h(i+1+h(i;endd=d'M=Gd;M=0;M;0;for i=1:n-1z=x(i:0.01:x(i+1;m=length(z;for j=1:ms(j=M

7、(i*(x(i+1-z(j3/0.6+M(i+1*(z(j-x(i3/0.6+(y(i-M(i*0.01/6*(x(i+1-z(j/0.1+(y(i+1-M(i+1*0.01/6*(z(j-x(i/0.1;endplot(z,s,'* r','MarkerSize',3hold onendhold onz=-1:0.01:1;for i=1:201f(i=1/(1+25*z(i*z(i;endplot(z,f,'b'2.對函數(shù)：在區(qū)間-1,1作下列插值逼近，并和被插值函數(shù)的圖像進(jìn)行比較，并對結(jié)果進(jìn)行分析。(1 以為節(jié)點，Newton插值首先對函數(shù)

8、進(jìn)行簡要分析，函數(shù)f(x是分段函數(shù)，并且在x=0處不連續(xù)，對于插值計算，只需要函數(shù)值，所以除了函數(shù)作圖和計算函數(shù)值有所不同以外，程序的主體部分沒有明顯改動，所以將本題程序統(tǒng)一放在最后。本小題中圖7 -1,1上的Newton插值 圖8 -0.7,0.7上的Newton插值由上圖可以看出，在區(qū)間-0.7,0.7上，插值多項式可以已經(jīng)無法較好地逼近被插值函數(shù)了，而當(dāng)區(qū)間改為-1,1時，邊界附近插值多項式與被插值函數(shù)的差別迅速擴(kuò)大。即出現(xiàn)了Runge現(xiàn)象。由于邊界接近1000的誤差，圖像中間部分的變化幾乎不可見。相比于第一題Runge現(xiàn)象更為明顯。主要原因是被插值函數(shù)不連續(xù)，導(dǎo)致其插值余項可能無窮大。

9、插值多項式不能收斂到被插值函數(shù)。(2以 為節(jié)點，Lagrange插值圖9 以Chebyshev多項式零點為插值點如圖所示，使用Chebyshev多項式零點構(gòu)造的Lagrange插值多項式比較接近原函數(shù)，沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象，并且可以看出，在不連續(xù)點位置插值效果一般，但是在函數(shù)兩端的擬合效果明顯要好，說明使用Chebyshev多項式零點構(gòu)造的Lagrange插值多項式在連續(xù)函數(shù)上的應(yīng)用效果更佳。(3以為節(jié)點，分段線性插值圖10 21個插值點線性插值 圖11 201個插值點線性插值如下圖所示，分段線性插值多項式比較接近原函數(shù)，沒有出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。此例中我們看到了線性插值的強(qiáng)大優(yōu)勢，當(dāng)原函數(shù)較

10、為光滑，曲率較小，即使是分段函數(shù)對線性插值的影響也極為有限，當(dāng)插值點個數(shù)擴(kuò)大10倍達(dá)到201個時，可以明顯的看出線性插值的優(yōu)勢所在。(4以為節(jié)點，三次自然樣條插值圖12 三次自然樣條插值函數(shù)圖像由上圖可以看出，三次樣條插值函數(shù)的曲線及其光滑，但是與其他多項式擬合一樣在不連續(xù)點處存在較大的誤差，但是與第一二小問中的Lagrange插值多項式相比，三次樣條插值可以更快的脫離不連續(xù)點的影響，并在其他位置上表現(xiàn)出很好的擬合效果。綜合以上2題我們可以初步得出這樣的結(jié)論：當(dāng)函數(shù)連續(xù)光滑，使用Chebyshev多項式零點構(gòu)造的Lagrange插值多項式可以有效地避免Runge現(xiàn)象，但三次樣條插值函數(shù)的曲線更

11、為優(yōu)秀。但是當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)不連續(xù)點時，分段線性插值的優(yōu)勢明顯，可以在不連續(xù)段處達(dá)到很好的擬合效果，并且可以迅速脫離不連續(xù)點的影響，所以在做函數(shù)插值時在斜率很大的部分可以考慮使用分段線性插值，其他部分采用三次樣條效果最好。牛頓插值x=-1:0.1:1;n=length(x;for i=1:10y(i=sin(pi*x(i;endfor i=11:15y(i=cos(pi*x(i;endfor i=15:ny(i=0;endN=zeros(n,n; N(:,1=y' for j=2:n for k=j:n N(k,j=(N(k,j-1-N(k-1,j-1/(x(k-x(k-j+1; end e

12、nd for t=1:nc(t=N(t,t;endz=-0.1:0.01:0.1;m=length(z;for i=1:mnd(i=niudun(z(i,N,n;endv=linspace(-1,0,100;u=sin(pi*v;plot(v,u,'k'hold onv=linspace(0,0.5,50;u=cos(pi*v;plot(v,u,'k'hold onv=linspace(0.5,1,50;u=0;plot(v,u,'k'hold onplot(z,nd,'r'以Chebyshev多項式零點為插值點for i=1:2

13、1x(22-i=cos(2*i-1*pi/42;endfor i=1:21if x(i<0y(i=sin(pi*x(i;elseif x(i>0.5y(i=0;else y(i=cos(pi*x(i;endendz=-1:0.001:1;m=length(z;for i=1:mlag(i=lagrange(z(i,x,y;endv=linspace(-1,0,100;u=sin(pi*v;plot(v,u,'k'hold onv=linspace(0,0.5,50;u=cos(pi*v;plot(v,u,'k'hold onv=linspace(0.

14、5,1,50;u=0;plot(v,u,'k'hold onplot(z,lag,'r'線性插值x=-1:0.01:1;for i=1:201if x(i<0y(i=sin(pi*x(i;elseif x(i>0.5y(i=0;else y(i=cos(pi*x(i;endendz=-1:0.001:1;n=length(z;m=floor(z+1/0.01+1;for i=1:n-1l(i=y(m(i+(y(m(i+1-y(m(i/(x(m(i+1-x(m(i*(z(i-x(m(i;endl(2001=y(201;f(2001=y(201;v=li

15、nspace(-1,0,100;u=sin(pi*v;plot(v,u,'k'hold onv=linspace(0,0.5,50;u=cos(pi*v;plot(v,u,'k'hold onv=linspace(0.5,1,50;u=0;plot(v,u,'k'hold onplot(z,l,'r'三次樣條插值x=-1:0.1:1;n=length(x;for i=1:21if x(i<0y(i=sin(pi*x(i;elseif x(i>0.5y(i=0;else y(i=cos(pi*x(i;endendfor

16、i=1:n-1h(i=x(i+1-x(i;endfor i=1:n-2u(i=h(i/(h(i+1+h(i;r(i=1-u(i;endG=zeros(n-2,n-2;for i=1:n-2G(i,i=2;endfor i=2:n-2G(i,i-1=u(i-1;G(i,i+1=r(i-1;endd=zeros(1,n-2;for i=1:n-2d(i=6*(y(i+2-y(i+1/h(i+1-(y(i+1-y(i/h(i/(h(i+1+h(i;endd=d'M=Gd;M=0;M;0;for i=1:n-1z=x(i:0.01:x(i+1;m=length(z;for j=1:ms(j=M(i*(x(i+1-z(j3/0.6+M(i+1*(z(j-x(i3/0.6+(y(i-M(i*0.01/6*(x(i+1-z(j/0.1+(y